Procedimento de segurança, em auto-estradas, recomenda que o motorista mantenha uma “distância” de 2 segundos do carro que está à sua frente, para que, se necessário, tenha espaço para frear (“Regra dos dois segundos”). Por essa regra, a distância $D$ que o carro percorre, em $2\,\text{s}$, com velocidade constante $V_0$, deve ser igual à distância necessária para que o carro pare completamente após frear. Tal procedimento, porém, depende da velocidade $V_0$ em que o carro trafega e da desaceleração máxima $\alpha$ fornecida pelos freios.
a) Determine o intervalo de tempo $T_0$, em segundos, necessário para que o carro pare completamente, percorrendo a distância $D$ referida.
b) Represente, no sistema de eixos da folha de resposta, a variação da desaceleração $\alpha$ em função da velocidade $V_0$, para situações em que o carro pára completamente em um intervalo $T_0$ (determinado no item anterior).
c) Considerando que a desaceleração $\alpha$ depende principalmente do coeficiente de atrito $\mu$ entre os pneus e o asfalto, sendo $0{,}6$ o valor de $\mu$, determine, a partir do gráfico, o valor máximo de velocidade $V_M$, em m/s, para o qual a Regra dos dois segundos permanece válida.
a) Pela regra, $D=2V_0$. Na frenagem uniformemente variada, a velocidade média é $V_0/2$, logo
$D=\dfrac{V_0}{2}T_0$.
Igualando: $2V_0=\dfrac{V_0}{2}T_0\Rightarrow T_0=4\,\text{s}$.
b) Como $0=V_0-\alpha T_0$,
$\alpha=\dfrac{V_0}{4}$.
c) A desaceleração máxima fornecida pelo atrito é $\alpha_{\max}=\mu g=0{,}6\cdot10=6\,\text{m/s}^2$. Pela reta, $6=V_M/4$, portanto $V_M=24\,\text{m/s}$.
Num espetáculo de fogos de artifício, um rojão, de massa $M_0=0{,}5\,\text{kg}$, após seu lançamento, descreve no céu a trajetória indicada na figura. No ponto mais alto de sua trajetória (ponto P), o rojão explode, dividindo-se em dois fragmentos, A e B, de massas iguais a $M_0/2$. Logo após a explosão, a velocidade horizontal de A, $V_A$, é nula, bem como sua velocidade vertical.
a) Determine o intervalo de tempo $T_0$, em segundos, transcorrido entre o lançamento do rojão e a explosão no ponto P.
b) Determine a velocidade horizontal $V_B$, do fragmento B, logo após a explosão, em m/s.
c) Considerando apenas o que ocorre no momento da explosão, determine a energia $E_0$ fornecida pelo explosivo aos dois fragmentos A e B, em joules.
Do gráfico, o ponto P está em $x\approx60\,\text{m}$ e $y\approx45\,\text{m}$.
a) No ponto mais alto, $V_y=0$. Como $45=V_{0y}^2/(2g)$, resulta $V_{0y}=30\,\text{m/s}$ e
$T_0=V_{0y}/g=3\,\text{s}$.
b) O movimento horizontal antes da explosão é uniforme: $V_x=60/3=20\,\text{m/s}$. Conservando a quantidade de movimento horizontal durante a explosão,
$M_0(20)=\dfrac{M_0}{2}V_B\Rightarrow V_B=40\,\text{m/s}$.
c) Imediatamente antes da explosão, $K_i=\dfrac12(0{,}5)(20)^2=100\,\text{J}$. Depois, apenas B se move: $K_f=\dfrac12(0{,}25)(40)^2=200\,\text{J}$. Logo, $E_0=K_f-K_i=100\,\text{J}$.
Um sistema mecânico faz com que um corpo de massa $M_0$, após um certo tempo em queda, atinja uma velocidade descendente constante $V_0$, devido ao efeito do movimento de outra massa $m$, que age como freio. A massa $m$ é vinculada a uma haste H, presa ao eixo E de um cilindro C, de raio $R_0$, conforme mostrado na figura. Quando a massa $M_0$ cai, desenrola-se um fio que movimenta o cilindro e o eixo, fazendo com que a massa $m$ descreva um movimento circular de raio $R_0$. A velocidade $V_0$ é mantida constante, pela força de atrito, entre a massa $m$ e a parede A, devido ao coeficiente de atrito $\mu$ entre elas e à força centrípeta que age sobre essa massa.
Para tal situação, em função dos parâmetros $m$, $M_0$, $R_0$, $V_0$, $\mu$ e $g$, determine:
a) o trabalho $T_g$, realizado pela força da gravidade, quando a massa $M_0$ percorre uma distância vertical correspondente a uma volta completa do cilindro C.
b) o trabalho $T_A$, dissipado pela força de atrito, quando a massa $m$ realiza uma volta completa.
c) a velocidade $V_0$, em função das demais variáveis.
a) Em uma volta, o fio desenrola $2\pi R_0$. Assim, $T_g=2\pi M_0gR_0$.
b) A parede fornece a força centrípeta $N=mV_0^2/R_0$. O atrito vale $f=\mu N$, e seu trabalho dissipado em uma volta é
$T_A=f(2\pi R_0)=2\pi\mu mV_0^2$.
c) Em regime de velocidade constante, $T_A=T_g$:
$2\pi\mu mV_0^2=2\pi M_0gR_0$
$V_0=\sqrt{\dfrac{M_0gR_0}{\mu m}}$.
Um satélite artificial, em órbita circular em torno da Terra, mantém um período que depende de sua altura em relação à superfície da Terra. Determine:
a) o período $T_0$ do satélite, em minutos, quando sua órbita está muito próxima da superfície. (Ou seja, está a uma distância do centro da Terra praticamente igual ao raio da Terra).
b) o período $T_4$ do satélite, em minutos, quando sua órbita está a uma distância do centro da Terra aproximadamente igual a quatro vezes o raio da Terra.
Na superfície da Terra, $F=mg$, em que $g=GM_T/R_T^2$; $g=10\,\text{m/s}^2$ e $R_T=6{,}4\times10^6\,\text{m}$.
(Para resolver essa questão, não é necessário conhecer nem $G$ nem $M_T$). Considere $\pi\approx3$.
Para órbita circular, $GM_Tm/r^2=mv^2/r$. Usando $GM_T=gR_T^2$:
a) Para $r=R_T$, $v=\sqrt{gR_T}$. Logo
$T_0=\dfrac{2\pi R_T}{\sqrt{gR_T}}=2\pi\sqrt{\dfrac{R_T}{g}}\approx6\sqrt{6{,}4\times10^5}=4800\,\text{s}=80\,\text{min}$.
b) Como $T\propto r^{3/2}$,
$T_4=T_0(4)^{3/2}=8T_0=640\,\text{min}$.
Um tanque industrial, cilíndrico, com altura total $H_0=6{,}0\,\text{m}$, contém em seu interior água até uma altura $h_0$, a uma temperatura de $27\,^{\circ}\text{C}$ ($300\,\text{K}$). O tanque possui um pequeno orifício A e, portanto, está à pressão atmosférica $P_0$, como esquematizado em I. No procedimento seguinte, o orifício é fechado, sendo o tanque invertido e aquecido até $87\,^{\circ}\text{C}$ ($360\,\text{K}$). Quando o orifício é reaberto, e mantida a temperatura do tanque, parte da água escoa, até que as pressões no orifício se equilibrem, restando no interior do tanque uma altura $h_1=2{,}0\,\text{m}$ de água, como em II.
Determine:
a) a pressão $P_1$, em $\text{N/m}^2$, no interior do tanque, na situação II.
b) a altura inicial $h_0$ da água no tanque, em metros, na situação I.
a) Na situação II, no nível do orifício, a pressão interna deve igualar a atmosférica:
$P_1+\rho gh_1=P_0$.
$P_1=10^5-10^3\cdot10\cdot2=8{,}0\times10^4\,\text{Pa}$.
b) A quantidade de ar aprisionado permanece a mesma. Se $S$ é a área da seção do tanque,
$\dfrac{P_0S(H_0-h_0)}{300}=\dfrac{P_1S(H_0-h_1)}{360}$.
$H_0-h_0=\dfrac{8\times10^4}{10^5}\cdot\dfrac{300}{360}\cdot4=\dfrac{8}{3}\,\text{m}$.
Logo, $h_0=6-8/3=10/3\approx3{,}3\,\text{m}$.
Uma fonte de luz intensa L, praticamente pontual, é utilizada para projetar sombras em um grande telão T, a 150 cm de distância. Para isso, uma lente convergente, de distância focal igual a 20 cm, é encaixada em um suporte opaco a 60 cm de L, entre a fonte e o telão, como indicado na figura A, em vista lateral. Um objeto, cuja região opaca está representada pela cor escura na figura B, é, então, colocado a 40 cm da fonte, para que sua sombra apareça no telão. Para analisar o efeito obtido, indique, no esquema da folha de resposta:
a) a posição da imagem da fonte, representando-a por L’.
b) a região do telão, na ausência do objeto, que não é iluminada pela fonte, escurecendo-a a lápis. (Faça, a lápis, as construções dos raios auxiliares, indicando por A1 e A2 os raios que permitem definir os limites de tal região).
c) a região do telão, na presença do objeto, que não é iluminada pela fonte, escurecendo-a a lápis. (Faça, a lápis, as construções dos raios auxiliares necessários para tal determinação).
a) Para a fonte L, $p=60\,\text{cm}$ e $f=20\,\text{cm}$. Pela equação da lente,
$\dfrac1{20}=\dfrac1{60}+\dfrac1{p'}\Rightarrow p'=30\,\text{cm}$.
Portanto, L’ está 30 cm à direita da lente, isto é, a 90 cm da fonte.
b) Os raios extremos saem de L, passam pelas bordas da lente e, após a refração, passam por L’. Prolongados até o telão, delimitam a região iluminada; a região externa a esse contorno não recebe luz.
c) A projeção do objeto sobre o telão é invertida e ampliada. Da fonte ao objeto e à lente, o fator geométrico é $60/40=1{,}5$; da lente ao telão, depois do cruzamento em L’, o fator é $60/30=2$. Assim, a sombra da parte opaca aparece invertida, com escala linear total 3.
O ano de 2005 foi declarado o Ano Internacional da Física, em comemoração aos 100 anos da Teoria da Relatividade, cujos resultados incluem a famosa relação $E=\Delta m\,c^2$. Num reator nuclear, a energia provém da fissão do Urânio. Cada núcleo de Urânio, ao sofrer fissão, divide-se em núcleos mais leves, e uma pequena parte, $\Delta m$, de sua massa inicial transforma-se em energia. A Usina de Angra II tem uma potência elétrica de cerca 1350 MW, que é obtida a partir da fissão de Urânio-235. Para produzir tal potência, devem ser gerados 4000 MW na forma de calor $Q$. Em relação à Usina de Angra II, estime:
a) a quantidade de calor $Q$, em joules, produzida em um dia.
b) a quantidade de massa $\Delta m$ que se transforma em energia na forma de calor, a cada dia.
c) a massa $M_U$ de Urânio-235, em kg, que sofre fissão em um dia, supondo que a massa $\Delta m$, que se transforma em energia, seja aproximadamente $0{,}0008$ ($8\times10^{-4}$) da massa $M_U$.
$1\,\text{MW}=10^6\,\text{W}$.
$c=3\times10^8\,\text{m/s}$.
a) $Q=Pt=4{,}0\times10^9\cdot9\times10^4=3{,}6\times10^{14}\,\text{J}$.
b) Pela relação $E=\Delta mc^2$,
$\Delta m=\dfrac{3{,}6\times10^{14}}{(3\times10^8)^2}=4{,}0\times10^{-3}\,\text{kg}$.
c) $\Delta m=8\times10^{-4}M_U$, então
$M_U=\dfrac{4\times10^{-3}}{8\times10^{-4}}=5\,\text{kg}$.
O som produzido por um determinado instrumento musical, longe da fonte, pode ser representado por uma onda complexa S, descrita como uma sobreposição de ondas senoidais de pressão, conforme a figura. Nela, está representada a variação da pressão P em função da posição, num determinado instante, estando as três componentes de S identificadas por A, B e C.
a) Determine os comprimentos de onda, em metros, de cada uma das componentes A, B e C, preenchendo o quadro da folha de respostas.
b) Determine o comprimento de onda $\lambda_0$, em metros, da onda S.
c) Represente, no gráfico apresentado na folha de respostas, as intensidades das componentes A e C. Nesse mesmo gráfico, a intensidade da componente B já está representada, em unidades arbitrárias.
A intensidade $I$ de uma onda senoidal é proporcional ao quadrado da amplitude de sua onda de pressão.
A freqüência $f_0$ corresponde à componente que tem menor freqüência.
a) Pela leitura do gráfico: A repete-se a cada $1{,}5\,\text{m}$; B, a cada $0{,}50\,\text{m}$; C, a cada $0{,}30\,\text{m}$. Assim,
$\lambda_A=1{,}5\,\text{m}$, $\lambda_B=0{,}50\,\text{m}$ e $\lambda_C=0{,}30\,\text{m}$.
b) As três componentes voltam simultaneamente à mesma fase após $1{,}5\,\text{m}$, logo $\lambda_0=1{,}5\,\text{m}$.
c) As amplitudes de pressão são $A_A=4$, $A_B=2$ e $A_C=1$. Como $I\propto A^2$ e o gráfico já mostra $I_B=4$ u.a., seguem $I_A=16$ u.a. e $I_C=1$ u.a. Além disso, $f_B=3f_0$ e $f_C=5f_0$.
Um determinado aquecedor elétrico, com resistência $R$ constante, é projetado para operar a 110 V. Pode-se ligar o aparelho a uma rede de 220 V, obtendo os mesmos aquecimento e consumo de energia médios, desde que haja um dispositivo que o ligue e desligue, em ciclos sucessivos, como indicado no gráfico. Nesse caso, a cada ciclo, o aparelho permanece ligado por $0{,}2\,\text{s}$ e desligado por um intervalo de tempo $\Delta t$.
Determine:
a) a relação $Z_1$ entre as potências $P_{220}$ e $P_{110}$, dissipadas por esse aparelho em 220 V e 110 V, respectivamente, quando está continuamente ligado, sem interrupção.
b) o valor do intervalo $\Delta t$, em segundos, em que o aparelho deve permanecer desligado a 220 V, para que a potência média dissipada pelo resistor nessa tensão seja a mesma que quando ligado continuamente em 110 V.
c) a relação $Z_2$ entre as correntes médias $I_{220}$ e $I_{110}$, que percorrem o resistor quando em redes de 220 V e 110 V, respectivamente, para a situação do item anterior.
a) Como $P=V^2/R$,
$Z_1=P_{220}/P_{110}=(220/110)^2=4$.
b) Para igualar a potência média, o aquecedor em 220 V deve ficar ligado durante $1/4$ do ciclo. Portanto,
$\dfrac{0{,}2}{0{,}2+\Delta t}=\dfrac14\Rightarrow\Delta t=0{,}6\,\text{s}$.
c) Durante o tempo ligado, $I_{220}=2I_{110}$. Como a corrente em 220 V existe apenas durante $1/4$ do tempo,
$I_{220,\text{méd}}=2I_{110}\cdot\dfrac14=\dfrac12I_{110}$.
Assim, $Z_2=1/2$.
Uma espira condutora ideal, com $1{,}5\,\text{m}$ por $5{,}0\,\text{m}$, é deslocada com velocidade constante, de tal forma que um de seus lados atravessa uma região onde existe um campo magnético $B$, uniforme, criado por um grande eletroímã. Esse lado da espira leva $0{,}5\,\text{s}$ para atravessar a região do campo. Na espira está inserida uma resistência $R$ com as características descritas. Em conseqüência do movimento da espira, durante esse intervalo de tempo, observa-se uma variação de temperatura, em R, de $40\,^{\circ}\text{C}$. Essa medida de temperatura pode, então, ser utilizada como uma forma indireta para estimar o valor do campo magnético B.
Assim determine:
a) a energia $E$, em joules, dissipada no resistor sob a forma de calor.
b) a corrente $I$, em ampères, que percorre o resistor durante o aquecimento.
c) o valor do campo magnético $B$, em teslas.
$F=IBL$ é a força que age sobre um fio de comprimento $L$, percorrido por uma corrente $I$, em um campo magnético $B$.
$|\text{fem}|=\Delta\phi/\Delta t$, ou seja, o módulo da força eletromotriz induzida é igual à variação de fluxo magnético $\phi$ por unidade de tempo.
$\phi=BS$, onde $B$ é a intensidade do campo através de uma superfície de área $S$, perpendicular ao campo.
a) O calor absorvido pelo resistor é
$E=mc\Delta T=1{,}5\cdot0{,}33\cdot40=19{,}8\,\text{cal}\approx79{,}2\,\text{J}\approx80\,\text{J}$.
b) Durante $0{,}5\,\text{s}$,
$E=I^2R\Delta t$.
$79{,}2=I^2(0{,}40)(0{,}5)\Rightarrow I\approx20\,\text{A}$.
c) A fem induzida é $\varepsilon=IR\approx8\,\text{V}$. O lado da espira atravessa os $2\,\text{m}$ de largura da região em $0{,}5\,\text{s}$, portanto $v=4\,\text{m/s}$. O comprimento efetivo do fio imerso no campo é $1{,}25\,\text{m}$, indicado na figura. Assim,
$\varepsilon=BLv\Rightarrow 8=B(1{,}25)(4)$,
$B\approx1{,}6\,\text{T}$.