Uma pista de skate, para esporte radical, é montada a partir de duas rampas $R_1$ e $R_2$, separadas entre A e B por uma distância $D$, com as alturas e ângulos indicados na figura. A pista foi projetada de tal forma que um skatista, ao descer a rampa $R_1$, salta no ar, atingindo sua altura máxima no ponto médio entre A e B, antes de alcançar a rampa $R_2$.
a) Determine o módulo da velocidade $V_A$, em m/s, com que o skatista atinge a extremidade A da rampa $R_1$.
b) Determine a altura máxima $H$, em metros, a partir do solo, que o skatista atinge, no ar, entre os pontos A e B.
c) Calcule qual deve ser a distância $D$, em metros, entre os pontos A e B, para que o skatista atinja a rampa $R_2$ em B, com segurança.
$\sen30^\circ=0{,}5$; $\cos30^\circ\cong0{,}87$.
a) Entre o topo de $R_1$ e A não há dissipação. Como $H_0=8{,}0\,\text{m}$ e A está a $h=3{,}0\,\text{m}$ do solo,
$MgH_0=Mgh+\dfrac12MV_A^2$.
$V_A=\sqrt{2g(H_0-h)}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\,\text{m/s}$.
b) Ao deixar A, $V_{Ay}=V_A\sen30^\circ=5\,\text{m/s}$. A elevação adicional é
$\Delta H=\dfrac{V_{Ay}^2}{2g}=\dfrac{25}{20}=1{,}25\,\text{m}$.
Logo, $H=3{,}0+1{,}25=4{,}25\,\text{m}$.
c) Como A e B estão à mesma altura, $t=2V_{Ay}/g=1{,}0\,\text{s}$. A componente horizontal é $V_{Ax}=10\cdot0{,}87=8{,}7\,\text{m/s}$. Portanto,
$D=V_{Ax}t=8{,}7\,\text{m}$.
Um gaveteiro, cujas dimensões estão indicadas no corte transversal, em escala, representado nas figuras, possui três gavetas iguais, onde foram colocadas massas de $1\,\text{kg}$, $8\,\text{kg}$ e $3\,\text{kg}$, distribuídas de modo uniforme, respectivamente no fundo das gavetas $G_1$, $G_2$ e $G_3$. Quando a gaveta $G_2$ é puxada, permanecendo aberta, existe o risco de o gaveteiro ficar desequilibrado e inclinar-se para frente.
a) Indique, no esquema da folha de resposta, a posição do centro de massa de cada uma das gavetas quando fechadas, identificando esses pontos com o símbolo ×.
b) Determine a distância máxima $D$, em cm, de abertura da gaveta $G_2$, nas condições da figura 2, de modo que o gaveteiro não tombe para frente.
c) Determine a maior massa $M_{\max}$, em kg, que pode ser colocada em $G_2$, sem que haja risco de desequilibrar o gaveteiro quando essa gaveta for aberta completamente, mantendo as demais condições.
a) Como as massas estão distribuídas uniformemente no fundo de cada gaveta, o centro de massa de cada conjunto fica no ponto médio do fundo correspondente.
b) Tome como eixo de tombamento a borda dianteira inferior. Quando fechadas, as massas têm braço horizontal de $24\,\text{cm}$. Ao abrir $G_2$ de uma distância $D$, seu centro passa a ter coordenada $24-D$. No limite de tombamento:
$1\cdot24+8(24-D)+3\cdot24=0$.
$288-8D=0\Rightarrow D=36\,\text{cm}$.
c) Com $G_2$ totalmente aberta, $D=48\,\text{cm}$ e seu centro fica a $24\,\text{cm}$ para fora da borda. No limite:
$(1+3)\cdot24=M_{\max}\cdot24$.
$M_{\max}=4\,\text{kg}$.
Um elevador de carga, com massa $M=5000\,\text{kg}$, é suspenso por um cabo na parte externa de um edifício em construção. Nas condições das questões abaixo, considere que o motor fornece a potência $P=150\,\text{kW}$.
a) Determine a força $F_1$, em N, que o cabo exerce sobre o elevador, quando ele é puxado com velocidade constante.
b) Determine a força $F_2$, em N, que o cabo exerce sobre o elevador, no instante em que ele está subindo com uma aceleração para cima de módulo $a=5\,\text{m/s}^2$.
c) Levando em conta a potência $P$ do motor, determine a velocidade $V_2$, em m/s, com que o elevador estará subindo, nas condições do item (b).
d) Determine a velocidade máxima $V_L$, em m/s, com que o elevador pode subir quando puxado pelo motor.
a) Em velocidade constante, $F_1=Mg=5000\cdot10=5{,}0\times10^4\,\text{N}$.
b) $F_2-Mg=Ma$, portanto $F_2=M(g+a)=5000(10+5)=7{,}5\times10^4\,\text{N}$.
c) $P=F_2V_2\Rightarrow V_2=150000/75000=2{,}0\,\text{m/s}$.
d) A velocidade máxima, com potência fixa, ocorre quando a aceleração tende a zero: $F=Mg$. Assim, $V_L=P/(Mg)=150000/50000=3{,}0\,\text{m/s}$.
Uma figura gravada em uma folha de plástico (transparência) foi projetada sobre uma parede branca, usando-se uma fonte de luz e uma única lente, colocada entre a folha e a parede, conforme esquema ao lado. A transparência e a imagem projetada, nas condições de tamanho e distância usadas, estão representadas, em escala, na folha de respostas. As figuras 1 e 2 correspondem a vistas de frente e a figura 3, a vista lateral.
a) Determine, no esquema da folha de resposta, traçando as linhas de construção apropriadas, a posição onde foi colocada a lente, indicando essa posição por uma linha vertical e a letra L. Marque o centro óptico da lente e indique sua posição pela letra C.
b) Determine graficamente, no esquema da folha de resposta, traçando as linhas de construção apropriadas, a posição de cada um dos focos da lente, indicando suas posições pela letra F.
c) Represente, indicando por $B_{\text{nova}}$, na figura 2, a posição da linha B, quando o centro óptico da lente for rebaixado em $10\,\text{cm}$ (1 quadradinho).
a) Usam-se dois pares de pontos correspondentes da transparência e da imagem projetada. Os raios que unem cada par devem atravessar o centro óptico sem desvio; a interseção dessas retas determina $C$. A reta vertical que passa por $C$ determina a posição da lente $L$.
b) Depois de localizada a lente, traça-se um raio incidente paralelo ao eixo óptico e seu raio emergente até o ponto-imagem correspondente. O cruzamento com o eixo fornece um foco; o outro fica simetricamente no lado oposto da lente.
c) Rebaixando o centro óptico em um quadradinho e repetindo a construção do raio central, a linha $B_{\text{nova}}$ aparece abaixo da posição original de B, conforme a construção.
Dois tanques cilíndricos verticais, A e B, de $1{,}6\,\text{m}$ de altura e interligados, estão parcialmente cheios de água e possuem válvulas que estão abertas, como representado na figura para a situação inicial. Os tanques estão a uma temperatura $T_0=280\,\text{K}$ e à pressão atmosférica $P_0$. Em uma etapa de um processo industrial, apenas a válvula A é fechada e, em seguida, os tanques são aquecidos a uma temperatura $T_1$, resultando na configuração indicada na figura para a situação final.
a) Determine a razão $R_1=P_1/P_0$, entre a pressão final $P_1$ e a pressão inicial $P_0$ do ar no tanque A.
b) Determine a razão $R_2=T_1/T_0$, entre a temperatura final $T_1$ e a temperatura inicial $T_0$ dentro dos tanques.
c) Para o tanque B, determine a razão $R_3=m_0/m_1$ entre a massa de ar $m_0$ contida inicialmente no tanque B e a massa de ar final $m_1$, à temperatura $T_1$, contida nesse mesmo tanque.
$P_{\text{atmosférica}}\approx1{,}00\times10^5\,\text{N/m}^2$.
a) No estado final, a coluna de água em B tem $1{,}0\,\text{m}$ e em A $0{,}6\,\text{m}$. Igualando as pressões no fundo:
$P_1+\rho g(0{,}6)=P_0+\rho g(1{,}0)$.
$P_1=P_0+1000\cdot10\cdot0{,}4=1{,}04\times10^5\,\text{Pa}$, então $R_1=1{,}04$.
b) O ar do tanque A fica aprisionado. Como os volumes são proporcionais às alturas de ar, $V_0\propto0{,}8$ e $V_1\propto1{,}0$:
$\dfrac{P_0V_0}{T_0}=\dfrac{P_1V_1}{T_1}$.
$R_2=\dfrac{T_1}{T_0}=\dfrac{P_1}{P_0}\dfrac{V_1}{V_0}=1{,}04\cdot\dfrac{1{,}0}{0{,}8}=1{,}30$.
c) O tanque B permanece aberto, portanto sua pressão é $P_0$. Para o gás ideal, $m\propto PV/T$:
$R_3=\dfrac{m_0}{m_1}=\dfrac{0{,}8/T_0}{0{,}6/T_1}=\dfrac{0{,}8}{0{,}6}\cdot1{,}30=\dfrac{26}{15}\cong1{,}73$.
Imagens por ultra-som podem ser obtidas a partir da comparação entre o pulso de um sinal emitido e o pulso proveniente da reflexão em uma superfície do objeto que se quer analisar. Em um teste de controle de qualidade, para conferir a espessura de uma placa de plástico, são usados pulsos de ondas com freqüência $f=1{,}5\,\text{MHz}$. Os gráficos I e II representam, respectivamente, as intensidades em função do tempo dos pulsos emitidos e dos pulsos captados no receptor, em uma certa parte da placa.
a) Determine o intervalo de tempo $\Delta t$, em $\mu\text{s}$, entre os pulsos emitidos e os pulsos captados.
b) Estime a espessura $D$, em mm, da placa.
c) Determine o comprimento de onda $\lambda$, em mm, das ondas de ultra-som utilizadas.
Velocidade do ultra-som no plástico = $1200\,\text{m/s}$.
Os gráficos representam a intensidade $I$ em uma escala arbitrária.
Cada pulso é composto por inúmeros ciclos da onda de ultra-som.
Cada pulso só é emitido depois da recepção do pulso anterior.
a) Comparando picos correspondentes dos gráficos, o pulso captado está atrasado de aproximadamente $40\,\mu\text{s}$:
$\Delta t=40\,\mu\text{s}=4{,}0\times10^{-5}\,\text{s}$.
b) O pulso percorre a espessura duas vezes, ida e volta:
$2D=v\Delta t$.
$D=\dfrac{1200\cdot4{,}0\times10^{-5}}{2}=2{,}4\times10^{-2}\,\text{m}=24\,\text{mm}$.
c) $\lambda=v/f=1200/(1{,}5\times10^6)=8{,}0\times10^{-4}\,\text{m}=0{,}80\,\text{mm}$.
Na época da formação da Terra, estimada como tendo ocorrido há cerca de $4{,}2$ bilhões de anos, os isótopos de Urânio radioativo $^{235}\mathrm{U}$ e $^{238}\mathrm{U}$ existiam em maior quantidade, pois, ao longo do tempo, parte deles desintegrou-se, deixando de existir como elemento Urânio. Além disso, eram encontrados em proporções diferentes das de hoje, já que possuem meias-vidas diferentes. Atualmente, em uma amostra de $1{,}000\,\text{kg}$ de Urânio, há $0{,}993\,\text{kg}$ de $^{238}\mathrm{U}$ e $0{,}007\,\text{kg}$ de $^{235}\mathrm{U}$, de modo que o $^{235}\mathrm{U}$ corresponde a $0{,}7\%$ da massa total e tem importância estratégica muito grande, pela sua utilização em reatores nucleares.
a) Estime a massa $M_{238}$, em kg, de uma amostra de $^{238}\mathrm{U}$, na época da formação da Terra, a partir da qual restaram hoje $0{,}993\,\text{kg}$ de $^{238}\mathrm{U}$.
b) Estime, levando em conta o número de meias-vidas do $^{235}\mathrm{U}$, a massa $M_{235}$, em kg, de uma amostra de $^{235}\mathrm{U}$, na época da formação da Terra, a partir da qual restaram hoje $0{,}007\,\text{kg}$ de $^{235}\mathrm{U}$.
c) Estime a porcentagem $P$ em massa de $^{235}\mathrm{U}$ em relação à massa total de Urânio em uma amostra na época da formação da Terra.
Meia-vida do $^{238}\mathrm{U}\cong4{,}2\times10^9$ anos.
Meia-vida do $^{235}\mathrm{U}\cong0{,}7\times10^9$ anos.
(Os valores acima foram aproximados, para facilitar os cálculos).
a) Para $^{238}\mathrm{U}$ transcorrreu uma meia-vida. Logo, a massa inicial era o dobro:
$M_{238}=2(0{,}993)=1{,}986\,\text{kg}$.
b) Para $^{235}\mathrm{U}$, $4{,}2/0{,}7=6$ meias-vidas. Portanto,
$M_{235}=0{,}007\cdot2^6=0{,}448\,\text{kg}$.
c) A massa total inicial de urânio era $1{,}986+0{,}448=2{,}434\,\text{kg}$. Assim,
$P=100\dfrac{0{,}448}{2{,}434}\cong18{,}4\%$.
Uma pequena esfera, com carga elétrica positiva $Q=1{,}5\times10^{-9}\,\text{C}$, está a uma altura $D=0{,}05\,\text{m}$ acima da superfície de uma grande placa condutora, ligada à Terra, induzindo sobre essa superfície cargas negativas, como na figura 1. O conjunto dessas cargas estabelece um campo elétrico que é idêntico, apenas na parte do espaço acima da placa, ao campo gerado por uma carga $+Q$ e uma carga $-Q$, como se fosse uma “imagem” de $Q$ que estivesse colocada na posição representada na figura 2.
a) Determine a intensidade da força $F$, em N, que age sobre a carga $+Q$, devida às cargas induzidas na placa.
b) Determine a intensidade do campo elétrico $E_0$, em V/m, que as cargas negativas induzidas na placa criam no ponto onde se encontra a carga $+Q$.
c) Represente, no diagrama da folha de resposta, no ponto A, os vetores campo elétrico $\vec E_+$ e $\vec E_-$, causados, respectivamente, pela carga $+Q$ e pelas cargas induzidas na placa, bem como o campo resultante, $\vec E_A$. O ponto A está a uma distância $D$ do ponto O da figura e muito próximo à placa, mas acima dela.
d) Determine a intensidade do campo elétrico resultante $E_A$, em V/m, no ponto A.
$1\,\text{V/m}=1\,\text{N/C}$.
a) Pelo método das imagens, a força sobre $+Q$ é a mesma que seria exercida por uma carga $-Q$ situada a $2D$ dela:
$F=k\dfrac{Q^2}{(2D)^2}=9\times10^9\dfrac{(1{,}5\times10^{-9})^2}{(0{,}10)^2}\cong2{,}0\times10^{-6}\,\text{N}$.
b) $E_0=F/Q\cong(2{,}025\times10^{-6})/(1{,}5\times10^{-9})=1{,}35\times10^3\,\text{V/m}$.
c) Em A, $\vec E_+$ aponta para baixo e para a direita; $\vec E_-$, para baixo e para a esquerda. Os módulos são iguais e as componentes horizontais se cancelam, deixando o campo resultante perpendicular à placa e dirigido para ela.
d) A distância de A a cada uma das cargas do modelo é $r=\sqrt2D$. Cada campo tem módulo $E=kQ/(2D^2)=2700\,\text{V/m}$. Assim,
$E_A=2E\cos45^\circ=\sqrt2\,E\cong3{,}8\times10^3\,\text{V/m}$.
A relação entre tensão e corrente de uma lâmpada L, como a usada em automóveis, foi obtida por meio do circuito esquematizado na figura 1, onde G representa um gerador de tensão variável. Foi medido o valor da corrente indicado pelo amperímetro A, para diferentes valores da tensão medida pelo voltímetro V, conforme representado pela curva L no Gráfico 1, da folha de resposta. O circuito da figura 1 é, então, modificado, acrescentando-se um resistor R de resistência $6{,}0\,\Omega$ em série com a lâmpada L, conforme esquematizado na figura 2.
a) Construa, no Gráfico 2 da folha de resposta, o gráfico da potência dissipada na lâmpada, em função da tensão $U$ entre seus terminais, para $U$ variando desde 0 até 12 V.
b) Construa, no Gráfico 1 da folha de resposta, o gráfico da corrente no resistor R em função da tensão $U$ aplicada em seus terminais, para $U$ variando desde 0 até 12 V.
c) Considerando o circuito da figura 2, construa, no Gráfico 3 da folha de resposta, o gráfico da corrente indicada pelo amperímetro em função da tensão $U$ indicada pelo voltímetro, quando a corrente varia desde 0 até 2 A.
Na construção dos gráficos, marque os pontos usados para traçar as curvas.
a) Para cada ponto da curva da lâmpada, calcula-se $P=UI$. Por exemplo, em $U=6\,\text{V}$, o gráfico fornece $I\cong1{,}5\,\text{A}$ e, portanto, $P\cong9\,\text{W}$; em $12\,\text{V}$, $I\cong2\,\text{A}$ e $P\cong24\,\text{W}$.
b) Para o resistor ôhmico, $I=U/R=U/6$. O gráfico é uma reta passando pela origem e pelo ponto $(12\,\text{V},2\,\text{A})$.
c) Em série, a corrente é a mesma nos dois elementos e a tensão total é a soma:
$U_{\text{total}}=U_L+U_R=U_L+6I$.
Tomando valores de $I$ na curva característica da lâmpada e somando a queda $6I$ do resistor, obtém-se a curva abaixo. Para $I\cong2\,\text{A}$, por exemplo, $U_L\cong12\,\text{V}$ e $U_R\cong12\,\text{V}$, logo $U_{\text{total}}\cong24\,\text{V}$.
Um procedimento para estimar o campo magnético de um ímã baseia-se no movimento de uma grande espira condutora E através desse campo. A espira retangular E é abandonada à ação da gravidade entre os pólos do ímã de modo que, enquanto a espira cai, um de seus lados horizontais (apenas um) corta perpendicularmente as linhas de campo. A corrente elétrica induzida na espira gera uma força eletromagnética que se opõe a seu movimento de queda, de tal forma que a espira termina atingindo uma velocidade $V$ constante. Essa velocidade é mantida enquanto esse lado da espira estiver passando entre os pólos do ímã.
A figura representa a configuração usada para medir o campo magnético, uniforme e horizontal, criado entre os pólos do ímã. As características da espira e do ímã estão apresentadas na tabela. Para a situação em que um dos lados da espira alcança a velocidade constante $V=0{,}40\,\text{m/s}$ entre os pólos do ímã, determine:
a) A intensidade da força eletromagnética $F$, em N, que age sobre a espira, de massa $M$, opondo-se à gravidade no seu movimento de queda a velocidade constante.
b) O trabalho realizado pela força de gravidade por unidade de tempo (potência), que é igual à potência $P$ dissipada na espira, em watts.
c) A intensidade da corrente elétrica $i$, em amperes, que percorre a espira, de resistência $R$.
d) O campo magnético $B$, em tesla, existente entre os pólos do ímã.
(Desconsidere o campo magnético da Terra).
a) Como a velocidade é constante, a força eletromagnética equilibra o peso:
$F=Mg=0{,}016\cdot10=0{,}16\,\text{N}$.
b) A potência mecânica convertida em calor é
$P=FV=0{,}16\cdot0{,}40=6{,}4\times10^{-2}\,\text{W}$.
c) Pela dissipação Joule,
$P=i^2R\Rightarrow i=\sqrt{0{,}064/0{,}10}=0{,}80\,\text{A}$.
d) O trecho horizontal da espira imerso no campo tem comprimento $\ell=a=0{,}20\,\text{m}$. Logo,
$F=Bi\ell\Rightarrow B=\dfrac{0{,}16}{0{,}80\cdot0{,}20}=1{,}0\,\text{T}$.