Para carregar um pesado pacote, de massa $M=90\,\text{kg}$, ladeira acima, com velocidade constante, duas pessoas exercem forças diferentes. O Carregador 1, mais abaixo, exerce uma força $F_1$ sobre o pacote, enquanto o Carregador 2, mais acima, exerce uma força $F_2$. No esquema da página de respostas estão representados, em escala, o pacote e os pontos $C_1$ e $C_2$, de aplicação das forças, assim como suas direções de ação.
a) Determine, a partir de medições a serem realizadas no esquema da página de respostas, a razão $R=F_1/F_2$, entre os módulos das forças exercidas pelos dois carregadores.
b) Determine os valores dos módulos de $F_1$ e $F_2$, em newtons.
c) Indique, no esquema da página de respostas, com a letra V, a posição em que o Carregador 2 deveria sustentar o pacote para que as forças exercidas pelos dois carregadores fossem iguais.
a) Como o pacote sobe com velocidade constante, está em equilíbrio translacional e rotacional. Tomando momentos em torno do centro de massa, o peso não produz torque. No desenho em escala, a distância horizontal da linha de ação de $F_1$ ao CM é de 4 quadradinhos, enquanto a de $F_2$ ao CM é de 8 quadradinhos.
$F_1\cdot4=F_2\cdot8\Rightarrow \dfrac{F_1}{F_2}=2$.
b) No eixo vertical, $F_1+F_2=Mg=90\cdot10=900\,\text{N}$. Com $F_1=2F_2$, resulta $3F_2=900$.
$F_2=300\,\text{N}$ e $F_1=600\,\text{N}$.
c) Para que $F_1=F_2$, as linhas de ação devem ficar à mesma distância horizontal do CM. Como a linha de $F_1$ está 4 quadradinhos à esquerda, a nova posição V deve ter linha de ação 4 quadradinhos à direita do CM.
Duas pequenas esferas iguais, A e B, de mesma massa, estão em repouso em uma superfície horizontal, como representado no esquema ao lado. No instante $t=0\,\text{s}$, a esfera A é lançada, com velocidade $V_0=2{,}0\,\text{m/s}$, contra a esfera B, fazendo com que B suba a rampa à frente, atingindo sua altura máxima, H, em $t=2{,}0\,\text{s}$. Ao descer, a esfera B volta a colidir com A, que bate na parede e, em seguida, colide novamente com B. Assim, as duas esferas passam a fazer um movimento de vai e vem, que se repete.
a) Determine o instante $t_A$, em s, no qual ocorre a primeira colisão entre A e B.
b) Represente, no gráfico da página de respostas, a velocidade da esfera B em função do tempo, de forma a incluir na representação um período completo de seu movimento.
c) Determine o período $T$, em s, de um ciclo do movimento das esferas.
Considere positivas as velocidades para a direita e negativas as velocidades para a esquerda.
a) A separação inicial é $1{,}6\,\text{m}$ e A se move a $2{,}0\,\text{m/s}$:
$t_A=\dfrac{1{,}6}{2{,}0}=0{,}8\,\text{s}$.
Na colisão elástica entre massas iguais, as velocidades são trocadas: A para e B passa a mover-se a $+2{,}0\,\text{m/s}$.
b) De $0$ a $0{,}8\,\text{s}$, $v_B=0$. De $0{,}8$ a $1{,}6\,\text{s}$, $v_B=+2\,\text{m/s}$. B sobe a rampa de $1{,}6$ a $2{,}0\,\text{s}$, quando sua velocidade cai linearmente até zero, e desce até $2{,}4\,\text{s}$, chegando à base com $-2\,\text{m/s}$. Segue para a esquerda até colidir com A em $t=3{,}2\,\text{s}$ e então fica em repouso.
c) Após a colisão em $3{,}2\,\text{s}$, A segue até a parede em $0{,}8\,\text{s}$. Em $t=4{,}0\,\text{s}$, após refletir elasticamente na parede, o sistema volta à mesma configuração dinâmica do instante inicial: A parte para a direita e B está parada. Portanto, $T=4{,}0\,\text{s}$.
A usina hidrelétrica de Itaipu possui 20 turbinas, cada uma fornecendo uma potência elétrica útil de $680\,\text{MW}$, a partir de um desnível de água de $120\,\text{m}$. No complexo, construído no Rio Paraná, as águas da represa passam em cada turbina com vazão de $600\,\text{m}^3/\text{s}$.
a) Estime o número de domicílios, $N$, que deixariam de ser atendidos se, pela queda de um raio, uma dessas turbinas interrompesse sua operação entre 17h30min e 20h30min, considerando que o consumo médio de energia, por domicílio, nesse período, seja de $4\,\text{kWh}$.
b) Estime a massa $M$, em kg, de água do rio que entra em cada turbina, a cada segundo.
c) Estime a potência mecânica da água $P$, em MW, em cada turbina.
$1\,\text{MW}=10^6\,\text{W}$.
$1\,\text{kWh}=1000\,\text{W}\times3600\,\text{s}=3{,}6\times10^6\,\text{J}$.
Os valores mencionados foram aproximados para facilitar os cálculos.
a) Uma turbina fora de operação durante 3 h deixa de fornecer
$E=680\,\text{MW}\cdot3\,\text{h}=2{,}04\times10^6\,\text{kWh}$.
Como cada domicílio consumiria $4\,\text{kWh}$,
$N=\dfrac{2{,}04\times10^6}{4}=5{,}1\times10^5$ domicílios.
b) A massa de água por segundo é $\dot m=\rho Q=10^3\cdot600=6{,}0\times10^5\,\text{kg/s}$.
c) A potência mecânica associada à queda é
$P=\dot mgh=6{,}0\times10^5\cdot10\cdot120=7{,}2\times10^8\,\text{W}=720\,\text{MW}$.
Para se estimar o valor da pressão atmosférica, $P_{atm}$, pode ser utilizado um tubo comprido, transparente, fechado em uma extremidade e com um pequeno gargalo na outra. O tubo, aberto e parcialmente cheio de água, deve ser invertido, segurando-se um cartão que feche a abertura do gargalo (Situação I). Em seguida, deve-se mover lentamente o cartão de forma que a água possa escoar, sem que entre ar, coletando-se a água que sai em um recipiente (Situação II). A água pára de escoar quando a pressão no ponto A, na abertura, for igual à pressão atmosférica externa, devendo-se, então, medir a altura $h$ da água no tubo (Situação III). Em uma experiência desse tipo, foram obtidos os valores, indicados na tabela, para $V_0$, volume inicial do ar no tubo, $\Delta V$, volume da água coletada no recipiente e $h$, altura final da água no tubo. Em relação a essa experiência, e considerando a Situação III,
a) determine a razão $R=P/P_{atm}$, entre a pressão final $P$ do ar no tubo e a pressão atmosférica;
b) escreva a expressão matemática que relaciona, no ponto A, a $P_{atm}$ com a pressão $P$ do ar e a altura $h$ da água dentro do tubo;
c) estime, utilizando as expressões obtidas nos itens anteriores, o valor numérico da pressão atmosférica $P_{atm}$, em $\text{N/m}^2$.
a) O ar aprisionado sofre transformação isotérmica:
$P_{atm}V_0=P(V_0+\Delta V)$.
Logo,
$R=\dfrac{P}{P_{atm}}=\dfrac{500}{525}=\dfrac{20}{21}\approx0{,}95$.
b) Na Situação III, a pressão no ponto A é a pressão do ar acrescida da coluna de água:
$P_{atm}=P+\rho gh$.
c) Como $P=(20/21)P_{atm}$,
$P_{atm}-\dfrac{20}{21}P_{atm}=\rho gh$.
$\dfrac{P_{atm}}{21}=10^3\cdot10\cdot0{,}50=5{,}0\times10^3\,\text{Pa}$.
$P_{atm}=1{,}05\times10^5\,\text{Pa}$.
Um roqueiro iniciante improvisa efeitos especiais, utilizando gelo seco ($\text{CO}_2$ sólido) adquirido em uma fábrica de sorvetes. Embora o início do show seja à meia-noite (24 h), ele o compra às 18 h, mantendo-o em uma “geladeira” de isopor, que absorve calor a uma taxa de aproximadamente $60\,\text{W}$, provocando a sublimação de parte do gelo seco. Para produzir os efeitos desejados, $2\,\text{kg}$ de gelo seco devem ser jogados em um tonel com água, a temperatura ambiente, provocando a sublimação do $\text{CO}_2$ e a produção de uma “névoa”. A parte visível da “névoa”, na verdade, é constituída por gotículas de água, em suspensão, que são carregadas pelo $\text{CO}_2$ gasoso para a atmosfera, à medida que ele passa pela água do tonel. Estime:
a) A massa de gelo seco, $M_{gelo}$, em kg, que o roqueiro tem de comprar, para que, no início do show, ainda restem os $2\,\text{kg}$ necessários em sua “geladeira”.
b) A massa de água, $M_{água}$, em kg, que se transforma em “névoa” com a sublimação de todo o $\text{CO}_2$, supondo que o gás, ao deixar a água, esteja em CNTP, incorporando $0{,}01\,\text{g}$ de água por $\text{cm}^3$ de gás formado.
Temperatura de sublimação do gelo seco $=-80^{\circ}\text{C}$.
Calor latente de sublimação do gelo seco $=648\,\text{J/g}$.
Para um gás ideal, $PV=nRT$.
Volume de 1 mol de um gás em CNTP $=22{,}4\,\text{L}$.
Massa de 1 mol de $\text{CO}_2=44\,\text{g}$.
Suponha que o gelo seco seja adquirido a $-80^{\circ}\text{C}$.
a) Entre 18 h e 24 h decorrem 6 h:
$Q=P\Delta t=60\cdot(6\cdot3600)=1{,}296\times10^6\,\text{J}$.
A massa sublimada é
$m=\dfrac{Q}{L}=\dfrac{1{,}296\times10^6}{648}=2000\,\text{g}=2{,}0\,\text{kg}$.
Para ainda restarem 2 kg no início do show, ele deve comprar $M_{gelo}=4{,}0\,\text{kg}$.
b) No tonel são utilizados os $2\,\text{kg}$ restantes. O número de mols de $\text{CO}_2$ é
$n=\dfrac{2000}{44}\approx45{,}5\,\text{mol}$.
Em CNTP,
$V=n\cdot22{,}4\approx1{,}018\times10^3\,\text{L}=1{,}018\times10^6\,\text{cm}^3$.
Como são incorporados $0{,}01\,\text{g}$ de água por $\text{cm}^3$,
$M_{água}\approx1{,}018\times10^4\,\text{g}\approx10{,}2\,\text{kg}$.
Em um museu, um sistema ótico permite que o visitante observe detalhes de um quadro sem se aproximar dele. Nesse sistema, uma lente convergente, de distância focal fixa, projeta a imagem do quadro (ou parte dela) sobre uma tela de receptores, que reproduzem essa imagem em um monitor (do mesmo tamanho da tela). O sistema pode ser aproximado ou afastado do quadro, pelo visitante, que deve ainda ajustar a distância entre a lente e a tela, para focalizar a imagem na tela. A Figura 1, da página de respostas, esquematiza a situação em que um quadro é projetado na tela/monitor. A Figura 2 esquematiza a situação em que o visitante aproxima a lente do quadro e ajusta a distância lente-tela, obtendo uma imagem nítida na tela/monitor. Para verificar o que é observado, nesse caso, pelo visitante,
a) assinale, na Figura 1 da página de respostas, traçando as linhas de construção necessárias, a posição do foco da lente, indicando-a pela letra F.
b) assinale, na Figura 2 da página de respostas, traçando as linhas de construção necessárias, a nova posição da tela para que a imagem seja projetada com nitidez, indicando-a pela letra T.
c) desenhe, na Figura 2, a imagem formada sobre a tela, tal como vista no monitor.
Pela escala da figura, 5 quadradinhos correspondem a $50\,\text{cm}$, portanto cada quadradinho representa $10\,\text{cm}$.
a) Na Figura 1, a distância objeto-lente é aproximadamente $p_1=240\,\text{cm}$ e a distância lente-tela é $q_1=80\,\text{cm}$. Pela equação de Gauss,
$\dfrac1f=\dfrac1{p_1}+\dfrac1{q_1}=\dfrac1{240}+\dfrac1{80}=\dfrac1{60}$,
logo $f=60\,\text{cm}$: o foco fica 6 quadradinhos de cada lado da lente.
b) Na Figura 2, a lente está a cerca de $p_2=180\,\text{cm}$ do quadro. Assim,
$\dfrac1{60}=\dfrac1{180}+\dfrac1{q_2}\Rightarrow q_2=90\,\text{cm}$.
A tela T deve, portanto, ficar 9 quadradinhos à direita da lente.
c) A ampliação linear é $|m|=q_2/p_2=90/180=1/2$. A imagem é real e invertida. Como o desenho do quadro possui simetria de rotação de $180^\circ$, sua aparência no monitor permanece equivalente, agora com dimensões lineares correspondentes à metade das do objeto.
A propagação de ondas na água é estudada em grandes tanques, com detectores e softwares apropriados. Em uma das extremidades de um tanque, de $200\,\text{m}$ de comprimento, um dispositivo D produz ondas na água, sendo que o perfil da superfície da água, ao longo de toda a extensão do tanque, é registrado por detectores em instantes subseqüentes. Um conjunto de ondas, produzidas com freqüência constante, tem seu deslocamento $y$, em função do tempo, representado ao lado, tal como registrado por detectores fixos na posição $x=15\,\text{m}$. Para esse mesmo conjunto de ondas, os resultados das medidas de sua propagação ao longo do tanque são apresentados na página de respostas. Esses resultados correspondem aos deslocamentos $y$ do nível da água em relação ao nível de equilíbrio $(y=0\,\text{m})$, medidos no instante $t=25\,\text{s}$ para diversos valores de $x$. A partir desses resultados:
a) Estime a freqüência $f$, em Hz, com que as ondas foram produzidas.
b) Estime o comprimento de onda $L$, em metros, das ondas formadas.
c) Estime a velocidade $V$, em m/s, de propagação das ondas no tanque.
d) Identifique, no gráfico da página de respostas $(t=25\,\text{s})$, as posições das ondas A, B, C, D e E, assinaladas na figura acima, ainda que, como pode ser observado, as amplitudes dessas ondas diminuam com sua propagação.
a) No gráfico temporal, cristas sucessivas passam pelo detector a cada aproximadamente $5\,\text{s}$, logo $T\approx5\,\text{s}$ e
$f=1/T\approx0{,}20\,\text{Hz}$.
b) No perfil espacial de $t=25\,\text{s}$, a distância entre cristas sucessivas é aproximadamente $25\,\text{m}$. Assim, $L\approx25\,\text{m}$.
c) $V=fL=0{,}20\cdot25=5{,}0\,\text{m/s}$.
d) A onda E passa por $x=15\,\text{m}$ em torno de $t=25\,\text{s}$; D, C, B e A passaram respectivamente cerca de 5, 10, 15 e 20 s antes. Em $t=25\,\text{s}$, suas posições são aproximadamente: E em 15 m, D em 40 m, C em 65 m, B em 90 m e A em 115 m.
Duas pequenas esferas iguais, A e B, carregadas, cada uma, com uma carga elétrica $Q$ igual a $-4{,}8\times10^{-9}\,\text{C}$, estão fixas e com seus centros separados por uma distância de $12\,\text{cm}$. Deseja-se fornecer energia cinética a um elétron, inicialmente muito distante das esferas, de tal maneira que ele possa atravessar a região onde se situam essas esferas, ao longo da direção $x$, indicada na figura, mantendo-se eqüidistante das cargas.
a) Esquematize, na figura da página de respostas, a direção e o sentido das forças resultantes $F_1$ e $F_2$, que agem sobre o elétron quando ele está nas posições indicadas por $P_1$ e $P_2$.
b) Calcule o potencial elétrico $V$, em volts, criado pelas duas esferas no ponto $P_0$.
c) Estime a menor energia cinética $E$, em eV, que deve ser fornecida ao elétron, para que ele ultrapasse o ponto $P_0$ e atinja a região à direita de $P_0$ na figura.
Num ponto P, $V=KQ/r$, onde $r$ é a distância da carga Q ao ponto P.
$K=9\times10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$.
$q_e=-1{,}6\times10^{-19}\,\text{C}$.
$1\,\text{eV}=1{,}6\times10^{-19}\,\text{J}$.
a) O elétron e as duas esferas possuem cargas negativas, portanto há repulsão. Por simetria, as componentes verticais das forças se cancelam. Em $P_1$, a resultante aponta para a esquerda; em $P_2$, para a direita.
b) Em $P_0$, cada esfera está a $r=6\,\text{cm}=0{,}06\,\text{m}$. O potencial é escalar:
$V=2\dfrac{KQ}{r}=2\dfrac{9\times10^9(-4{,}8\times10^{-9})}{0{,}06}=-1{,}44\times10^3\,\text{V}$.
c) A energia potencial do elétron em $P_0$ é $U=q_eV$. Como ambos são negativos, $U$ é positiva:
$U=(-1{,}6\times10^{-19})(-1440)=2{,}304\times10^{-16}\,\text{J}$.
Em elétron-volts, isso corresponde diretamente a $1440\,\text{eV}$. Assim, a menor energia cinética para vencer a barreira é aproximadamente $1{,}44\times10^3\,\text{eV}$.
Utilizando-se um gerador, que produz uma tensão $V_0$, deseja-se carregar duas baterias, B-1 e B-2, que geram respectivamente $15\,\text{V}$ e $10\,\text{V}$, de tal forma que as correntes que alimentam as duas baterias durante o processo de carga mantenham-se iguais $(i_1=i_2=i)$. Para isso, é utilizada a montagem do circuito elétrico representada ao lado, que inclui três resistores $R_1$, $R_2$ e $R_3$, com respectivamente $25\,\Omega$, $30\,\Omega$ e $6\,\Omega$, nas posições indicadas. Um voltímetro é inserido no circuito para medir a tensão no ponto A.
a) Determine a intensidade da corrente $i$, em ampères, com que cada bateria é alimentada.
b) Determine a tensão $V_A$, em volts, indicada pelo voltímetro, quando o sistema opera da forma desejada.
c) Determine a tensão $V_0$, em volts, do gerador, para que o sistema opere da forma desejada.
a) Como as baterias estão sendo carregadas, a corrente entra em seus terminais positivos. Para os dois ramos ligados ao ponto A:
$V_A=15+25i$
e
$V_A=10+30i$.
Igualando:
$15+25i=10+30i\Rightarrow i=1{,}0\,\text{A}$.
b) $V_A=15+25\cdot1=40\,\text{V}$.
c) Pelo resistor $R_3$ passa a corrente total $i_1+i_2=2\,\text{A}$. A queda de tensão em $R_3$ é $2\cdot6=12\,\text{V}$. Portanto,
$V_0=V_A+12=52\,\text{V}$.
É possível acender um LED, movimentando-se uma barra com as mãos? Para verificar essa possibilidade, um jovem utiliza um condutor elétrico em forma de U, sobre o qual pode ser movimentada uma barra M, também condutora, entre as posições $X_1$ e $X_2$. Essa disposição delimita uma espira condutora, na qual é inserido o LED, cujas características são indicadas na tabela ao lado. Todo o conjunto é colocado em um campo magnético B (perpendicular ao plano dessa folha e entrando nela), com intensidade de $1{,}1\,\text{T}$. O jovem, segurando em um puxador isolante, deve fazer a barra deslizar entre $X_1$ e $X_2$. Para verificar em que condições o LED acenderia durante o movimento, estime:
a) A tensão $V$, em volts, que deve ser produzida nos terminais do LED, para que ele acenda de acordo com suas especificações.
b) A variação $\Delta\phi$ do fluxo do campo magnético através da espira, no movimento entre $X_1$ e $X_2$.
c) O intervalo de tempo $\Delta t$, em s, durante o qual a barra deve ser deslocada entre as duas posições, com velocidade constante, para que o LED acenda.
a) Pelas especificações do LED,
$V=\dfrac{P}{I}=\dfrac{24\times10^{-3}}{20\times10^{-3}}=1{,}2\,\text{V}$.
b) A barra se desloca $0{,}40\,\text{m}$ e seu comprimento dentro do campo é $0{,}60\,\text{m}$. Logo, a variação de área da espira é
$\Delta A=0{,}40\cdot0{,}60=0{,}24\,\text{m}^2$.
Assim, em módulo,
$|\Delta\phi|=B\Delta A=1{,}1\cdot0{,}24=0{,}264\,\text{Wb}$.
c) Para que o LED receba $1{,}2\,\text{V}$, o módulo da fem deve ser $1{,}2\,\text{V}$:
$1{,}2=\dfrac{0{,}264}{\Delta t}\Rightarrow\Delta t=0{,}22\,\text{s}$.