O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM).
Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de $7{,}04\,\text{m}$, é possível estimar que o centro de massa da atleta atingiu uma altura máxima de $1{,}25\,\text{m}$ (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma distância de $3{,}0\,\text{m}$, na horizontal, a partir do início do salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime:
a) O intervalo de tempo $t_1$, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da atleta atingiu sua altura máxima.
b) A velocidade horizontal média, $V_H$, em m/s, da atleta durante o salto.
c) O intervalo de tempo $t_2$, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto.
a) Do início do salto até o ponto mais alto, a componente vertical da velocidade diminui até zero. Usando a descida equivalente de $1{,}25\,\text{m}$ a partir do repouso vertical:
$1{,}25=\dfrac{10\,t_1^2}{2}\Rightarrow t_1=0{,}50\,\text{s}$.
b) Na horizontal o movimento é uniforme. Até o ponto de altura máxima:
$V_H=\dfrac{3{,}0}{0{,}50}=6{,}0\,\text{m/s}$.
c) O tempo total do salto é
$T=\dfrac{7{,}04}{6{,}0}\approx1{,}17\,\text{s}$.
Logo, $t_2=T-t_1\approx1{,}17-0{,}50=0{,}67\,\text{s}$.
Para testar a elasticidade de uma bola de basquete, ela é solta, a partir de uma altura $H_0$, em um equipamento no qual seu movimento é monitorado por um sensor. Esse equipamento registra a altura do centro de massa da bola, a cada instante, acompanhando seus sucessivos choques com o chão. A partir da análise dos registros, é possível, então, estimar a elasticidade da bola, caracterizada pelo coeficiente de restituição $C_R$.
O gráfico apresenta os registros de alturas, em função do tempo, para uma bola de massa $M=0{,}60\,\text{kg}$, quando ela é solta e inicia o movimento com seu centro de massa a uma altura $H_0=1{,}6\,\text{m}$, chocando-se sucessivas vezes com o chão. A partir dessas informações:
a) Represente, no Gráfico I da folha de respostas, a energia potencial da bola, $E_P$, em joules, em função do tempo, indicando os valores na escala.
b) Represente, no Gráfico II da folha de respostas, a energia mecânica total da bola, $E_T$, em joules, em função do tempo, indicando os valores na escala.
c) Estime o coeficiente de restituição $C_R$ dessa bola, utilizando a definição apresentada abaixo.
O coeficiente de restituição, $C_R=V_R/V_I$, é a razão entre a velocidade com que a bola é rebatida pelo chão ($V_R$) e a velocidade com que atinge o chão ($V_I$), em cada choque. Esse coeficiente é aproximadamente constante nas várias colisões.
a) Como $E_P=Mgh=0{,}60\cdot10\cdot h$, temos $E_P=6h$. Portanto, o gráfico de $E_P(t)$ tem exatamente o formato do gráfico de $h(t)$, com a escala vertical multiplicada por 6. Os máximos sucessivos são $9{,}6\,\text{J}$, $2{,}4\,\text{J}$ e $0{,}6\,\text{J}$.
b) Entre duas colisões, desprezadas as perdas no ar, a energia mecânica permanece constante. Assim, ela vale $9{,}6\,\text{J}$ antes da primeira colisão, $2{,}4\,\text{J}$ entre a primeira e a segunda e $0{,}6\,\text{J}$ entre a segunda e a terceira.
c) Pela conservação da energia durante cada trecho de voo, $V_I=\sqrt{2gH_0}$ e $V_R=\sqrt{2gH_1}$. Do gráfico, $H_1\approx0{,}40\,\text{m}$.
$C_R=\dfrac{V_R}{V_I}=\sqrt{\dfrac{H_1}{H_0}}=\sqrt{\dfrac{0{,}40}{1{,}60}}=0{,}50$.
Um acrobata, de massa $M_A=60\,\text{kg}$, quer realizar uma apresentação em que, segurando uma corda suspensa em um ponto Q fixo, pretende descrever um círculo de raio $R=4{,}9\,\text{m}$, de tal forma que a corda mantenha um ângulo de $45^\circ$ com a vertical. Visando garantir sua total segurança, há uma recomendação pela qual essa corda deva ser capaz de suportar uma tensão de, no mínimo, três vezes o valor da tensão a que é submetida durante a apresentação. Para testar a corda, com ela parada e na vertical, é pendurado em sua extremidade um bloco de massa $M_0$, calculada de tal forma que a tensão na corda atenda às condições mínimas estabelecidas pela recomendação de segurança. Nessa situação:
a) Represente, no esquema da folha de respostas, a direção e o sentido das forças que agem sobre o acrobata, durante sua apresentação, identificando-as, por meio de um desenho em escala.
b) Estime o tempo $t_A$, em segundos, que o acrobata leva para dar uma volta completa em sua órbita circular.
c) Estime o valor da massa $M_0$, em kg, que deve ser utilizada para realizar o teste de segurança.
a) Atuam apenas o peso $P=M_Ag$, vertical para baixo, e a tensão $F$, ao longo da corda e dirigida para Q. Como a corda faz $45^\circ$ com a vertical, a componente vertical da tensão equilibra o peso.
b) Como $\tan45^\circ=1$, as componentes horizontal e vertical da tensão têm o mesmo módulo. Logo, $M_Av^2/R=M_Ag$ e $v=\sqrt{gR}=7\,\text{m/s}$.
$t_A=\dfrac{2\pi R}{v}\approx\dfrac{2\cdot3\cdot4{,}9}{7}=4{,}2\,\text{s}$.
c) A tensão durante a apresentação é $F=M_Ag/\cos45^\circ\approx\sqrt2\,M_Ag$. No teste, $M_0g=3F$:
$M_0=3\sqrt2\,M_A\approx3\cdot1{,}4\cdot60=252\,\text{kg}$.
Na montagem de uma exposição, um decorador propôs a projeção, através de uma lente pendurada em um suporte fixo, da imagem de duas bandeirinhas luminosas, $B_1$ e $B_2$, sobre uma tela. Em sua primeira tentativa, no entanto, apenas a imagem de $B_1$ pôde ser vista na tela (primeira montagem). Para viabilizar, então, sua proposta, o decorador deslocou a lente para baixo, obtendo, assim, as imagens das duas bandeirinhas sobre a tela (segunda montagem).
As bandeirinhas encontram-se reproduzidas na folha de respostas, assim como, em linhas tracejadas, a posição da lente e a imagem obtida na primeira montagem. Para visualizar as imagens que passam a ser observadas na segunda montagem, utilizando o esquema da folha de respostas:
a) Determine, a partir da imagem correspondente à primeira montagem (em linha tracejada), a posição do foco da lente, identificando-a na figura pela letra F.
b) Construa a imagem completa que a bandeirinha $B_2$ projeta sobre a tela, na segunda montagem, traçando as linhas de construção necessárias e indicando as imagens de C e D, por C’ e D’, respectivamente.
c) Construa a imagem completa que a bandeirinha $B_1$ projeta sobre a tela, na segunda montagem, traçando as linhas de construção necessárias e indicando as imagens de A e B, por A’ e B’, respectivamente.
a) Na primeira montagem, usa-se um raio que atravessa o centro óptico sem desvio para localizar o eixo óptico. Em seguida, um raio incidente paralelo ao eixo emerge passando pelo foco; a interseção desse raio refratado com o eixo determina F.
b) Com a lente na posição rebaixada, os raios que partem de C e D e atravessam o novo centro óptico não sofrem desvio. O encontro desses raios com a tela determina C’ e D’ e, ligando os pontos correspondentes, obtém-se a imagem completa de $B_2$.
c) O mesmo procedimento, agora com os pontos A e B, determina A’ e B’. A imagem real é invertida em relação ao eixo óptico da nova posição da lente.
Um grande cilindro, com ar inicialmente à pressão $P_1$ e temperatura ambiente $(T_1=300\,\text{K})$, quando aquecido, pode provocar a elevação de uma plataforma A, que funciona como um pistão, até uma posição mais alta. Tal processo exemplifica a transformação de calor em trabalho, que ocorre nas máquinas térmicas, à pressão constante. Em uma dessas situações, o ar contido em um cilindro, cuja área da base S é igual a $0{,}16\,\text{m}^2$, sustenta uma plataforma de massa $M_A=160\,\text{kg}$ a uma altura $H_1=4{,}0\,\text{m}$ do chão (situação I). Ao ser aquecido, a partir da queima de um combustível, o ar passa a uma temperatura $T_2$, expandindo-se e empurrando a plataforma até uma nova altura $H_2=6{,}0\,\text{m}$ (situação II). Para verificar em que medida esse é um processo eficiente, estime:
a) A pressão $P_1$ do ar dentro do cilindro, em pascals, durante a operação.
b) A temperatura $T_2$ do ar no cilindro, em kelvins, na situação II.
c) A eficiência do processo, indicada pela razão $R=\Delta E_p/Q$, onde $\Delta E_p$ é a variação da energia potencial da plataforma, quando ela se desloca da altura $H_1$ para a altura $H_2$, e Q, a quantidade de calor recebida pelo ar do cilindro durante o aquecimento.
Calor específico do ar a pressão constante $C_p\approx1{,}0\times10^3\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}$.
Densidade do ar a $300\,\text{K}\approx1{,}1\,\text{kg/m}^3$.
a) O ar deve equilibrar a pressão atmosférica e o peso da plataforma:
$P_1=P_0+\dfrac{M_Ag}{S}=1{,}00\times10^5+\dfrac{160\cdot10}{0{,}16}=1{,}10\times10^5\,\text{Pa}$.
b) Como a transformação é isobárica e a quantidade de gás é constante, $V/T$ é constante. Como $V=SH$:
$\dfrac{H_1}{T_1}=\dfrac{H_2}{T_2}\Rightarrow T_2=300\cdot\dfrac{6{,}0}{4{,}0}=450\,\text{K}$.
c) Inicialmente, $V_1=SH_1=0{,}64\,\text{m}^3$. Assim, $m_{\text{ar}}\approx1{,}1\cdot0{,}64=0{,}704\,\text{kg}$.
$Q=m_{\text{ar}}C_p\Delta T=0{,}704\cdot10^3\cdot150\approx1{,}056\times10^5\,\text{J}$.
$\Delta E_p=M_Ag(H_2-H_1)=160\cdot10\cdot2=3200\,\text{J}$.
$R=\dfrac{3200}{1{,}056\times10^5}\approx0{,}03=3\%$.
Em um grande tanque, uma haste vertical sobe e desce continuamente sobre a superfície da água, em um ponto P, com freqüência constante, gerando ondas, que são fotografadas em diferentes instantes. A partir dessas fotos, podem ser construídos esquemas, onde se representam as cristas (regiões de máxima amplitude) das ondas, que correspondem a círculos concêntricos com centro em P. Dois desses esquemas estão apresentados ao lado, para um determinado instante $t_0=0\,\text{s}$ e para outro instante posterior, $t=2\,\text{s}$. Ao incidirem na borda do tanque, essas ondas são refletidas, voltando a se propagar pelo tanque, podendo ser visualizadas através de suas cristas. Considerando tais esquemas:
a) Estime a velocidade de propagação V, em m/s, das ondas produzidas na superfície da água do tanque.
b) Estime a freqüência f, em Hz, das ondas produzidas na superfície da água do tanque.
c) Represente, na folha de respostas, as cristas das ondas que seriam visualizadas em uma foto obtida no instante $t=6{,}0\,\text{s}$, incluindo as ondas refletidas pela borda do tanque.
a) A distância entre cristas consecutivas corresponde a um comprimento de onda. Pela escala da figura, 5 divisões correspondem a $3\,\text{m}$, portanto uma divisão corresponde a $0{,}60\,\text{m}$. De $t=0$ a $t=2\,\text{s}$ a frente de onda avança uma divisão:
$V=\dfrac{0{,}60}{2{,}0}=0{,}30\,\text{m/s}$.
b) O espaçamento das cristas é $\lambda=0{,}60\,\text{m}$. Logo,
$f=\dfrac{V}{\lambda}=\dfrac{0{,}30}{0{,}60}=0{,}50\,\text{Hz}$.
c) As ondas refletidas podem ser construídas como arcos de circunferências centradas em uma fonte-imagem $P'$, simétrica de P em relação à borda. No instante $t=6\,\text{s}$, devem ser acrescentadas as novas cristas incidentes e as cristas refletidas.
Um campo elétrico uniforme, de módulo E, criado entre duas grandes placas paralelas carregadas, $P_1$ e $P_2$, é utilizado para estimar a carga presente em pequenas esferas. As esferas são fixadas na extremidade de uma haste isolante, rígida e muito leve, que pode girar em torno do ponto O. Quando uma pequena esfera A, de massa $M=0{,}015\,\text{kg}$ e carga Q, é fixada na haste, e sendo E igual a $500\,\text{kV/m}$, a esfera assume uma posição de equilíbrio, tal que a haste forma com a vertical um ângulo $\theta=45^\circ$. Para essa situação:
a) Represente, no esquema da folha de respostas, a força gravitacional P e a força elétrica $F_E$ que atuam na esfera A, quando ela está em equilíbrio sob ação do campo elétrico. Determine os módulos dessas forças, em newtons.
b) Estime a carga Q, em coulombs, presente na esfera.
c) Se a esfera se desprender da haste, represente, no esquema da folha de respostas, a trajetória que ela iria percorrer, indicando-a pela letra T.
a) O peso é vertical para baixo. A força elétrica é horizontal, para a direita, e a tensão da haste se orienta ao longo da haste. Como o equilíbrio ocorre a $45^\circ$, $F_E=P$.
$P=Mg=0{,}015\cdot10=0{,}15\,\text{N}$ e, portanto, $F_E=0{,}15\,\text{N}$.
b) Em módulo, $F_E=|Q|E$:
$|Q|=\dfrac{0{,}15}{500\times10^3}=3{,}0\times10^{-7}\,\text{C}$.
c) Ao se desprender, a esfera parte do repouso sob duas forças constantes e perpendiculares de mesmo módulo. Assim, $a_x=g$ e o deslocamento horizontal cresce na mesma proporção que o vertical: a trajetória é uma reta a $45^\circ$, para baixo e para a direita.
Com o objetivo de criar novas partículas, a partir de colisões entre prótons, está sendo desenvolvido, no CERN (Centro Europeu de Pesquisas Nucleares), um grande acelerador (LHC). Nele, através de um conjunto de ímãs, feixes de prótons são mantidos em órbita circular, com velocidades muito próximas à velocidade c da luz no vácuo. Os feixes percorrem longos tubos, que juntos formam uma circunferência de $27\,\text{km}$ de comprimento, onde é feito vácuo. Um desses feixes contém $N=3{,}0\times10^{14}$ prótons, distribuídos uniformemente ao longo dos tubos, e cada próton tem uma energia cinética E de $7{,}0\times10^{12}\,\text{eV}$. Os prótons repassam inúmeras vezes por cada ponto de sua órbita, estabelecendo, dessa forma, uma corrente elétrica no interior dos tubos. Analisando a operação desse sistema, estime:
a) A energia cinética total $E_C$, em joules, do conjunto de prótons contidos no feixe.
b) A velocidade V, em km/h, de um trem de 400 toneladas que teria uma energia cinética equivalente à energia do conjunto de prótons contidos no feixe.
c) A corrente elétrica I, em ampères, que os prótons em movimento estabelecem no interior do tubo onde há vácuo.
ATENÇÃO! Não utilize expressões envolvendo a massa do próton, pois, como os prótons estão a velocidades próximas à da luz, os resultados seriam incorretos.
a) A energia total do feixe é
$E_C=NE=3{,}0\times10^{14}\cdot7{,}0\times10^{12}=2{,}1\times10^{27}\,\text{eV}$.
Convertendo para joules:
$E_C=2{,}1\times10^{27}\cdot1{,}6\times10^{-19}\approx3{,}4\times10^8\,\text{J}$.
b) Para o trem, $M=400\,\text{t}=4{,}0\times10^5\,\text{kg}$:
$\dfrac{MV^2}{2}=3{,}4\times10^8\Rightarrow V\approx41{,}2\,\text{m/s}\approx148\,\text{km/h}$.
c) A carga total do feixe é $Q_{\text{tot}}=Nq=4{,}8\times10^{-5}\,\text{C}$. O tempo de uma volta é $\Delta t=L/c$:
$\Delta t=\dfrac{27\times10^3}{3{,}0\times10^8}=9{,}0\times10^{-5}\,\text{s}$.
$I=\dfrac{Q_{\text{tot}}}{\Delta t}\approx0{,}53\,\text{A}$.
Uma jovem, para aquecer uma certa quantidade de massa M de água, utiliza, inicialmente, um filamento enrolado, cuja resistência elétrica $R_0$ é igual a $12\,\Omega$, ligado a uma fonte de $120\,\text{V}$ (situação I). Desejando aquecer a água em dois recipientes, coloca, em cada um, metade da massa total de água $(M/2)$, para que sejam aquecidos por resistências $R_1$ e $R_2$, ligadas à mesma fonte (situação II). A jovem obtém essas duas resistências, cortando o filamento inicial em partes não iguais, pois deseja que $R_1$ aqueça a água com duas vezes mais potência que $R_2$. Para analisar essas situações:
a) Estime a potência $P_0$, em watts, que é fornecida à massa total de água, na situação I.
b) Determine os valores de $R_1$ e $R_2$, em ohms, para que no recipiente onde está $R_1$ a água receba duas vezes mais potência do que no recipiente onde está $R_2$, na situação II.
c) Estime a razão $P/P_0$, que expressa quantas vezes mais potência é fornecida na situação II (P), ao conjunto dos dois recipientes, em relação à situação I $(P_0)$.
a) Como $P=V^2/R$:
$P_0=\dfrac{120^2}{12}=1200\,\text{W}$.
b) As duas partes vêm do mesmo filamento, logo $R_1+R_2=12\,\Omega$. Como estão ligadas separadamente à mesma tensão e $P_1=2P_2$:
$\dfrac{V^2}{R_1}=2\dfrac{V^2}{R_2}\Rightarrow R_2=2R_1$.
Assim, $3R_1=12$, de onde $R_1=4{,}0\,\Omega$ e $R_2=8{,}0\,\Omega$.
c) Na situação II:
$P=\dfrac{120^2}{4}+\dfrac{120^2}{8}=3600+1800=5400\,\text{W}$.
$\dfrac{P}{P_0}=\dfrac{5400}{1200}=4{,}5$.
Para estimar a intensidade de um campo magnético $B_0$, uniforme e horizontal, é utilizado um fio condutor rígido, dobrado com a forma e dimensões indicadas na figura, apoiado sobre suportes fixos, podendo girar livremente em torno do eixo OO’. Esse arranjo funciona como uma “balança para forças eletromagnéticas”. O fio é ligado a um gerador, ajustado para que a corrente contínua fornecida seja sempre $i=2{,}0\,\text{A}$, sendo que duas pequenas chaves, A e C, quando acionadas, estabelecem diferentes percursos para a corrente. Inicialmente, com o gerador desligado, o fio permanece em equilíbrio na posição horizontal. Quando o gerador é ligado, com a chave A aberta e C fechada, é necessário pendurar uma pequena massa $M_1=0{,}008\,\text{kg}$, no meio do segmento $P_3P_4$, para restabelecer o equilíbrio e manter o fio na posição horizontal.
a) Determine a intensidade da força eletromagnética $F_1$, em newtons, que age sobre o segmento $P_3P_4$ do fio, quando o gerador é ligado com a chave A aberta e C fechada.
b) Estime a intensidade do campo magnético $B_0$, em teslas.
c) Estime a massa $M_2$, em kg, necessária para equilibrar novamente o fio na horizontal, quando a chave A está fechada e C aberta. Indique onde deve ser colocada essa massa, levando em conta que a massa $M_1$ foi retirada.
a) Com C fechada e A aberta, a força magnética sobre $P_3P_4$ é vertical e ascendente. A massa $M_1$ é colocada no mesmo braço de alavanca para fornecer torque oposto. Logo, em módulo:
$F_1=M_1g=0{,}008\cdot10=0{,}08\,\text{N}$.
b) O trecho $P_3P_4$ tem comprimento $L=0{,}20\,\text{m}$ e é perpendicular ao campo:
$F_1=B_0iL\Rightarrow0{,}08=B_0\cdot2{,}0\cdot0{,}20$.
$B_0=0{,}20\,\text{T}$.
c) Com A fechada e C aberta, as forças magnéticas nos dois lados da espira formam um binário. Cada uma tem módulo $F_2=B_0iL=0{,}08\,\text{N}$. Como os braços em relação ao eixo OO’ são iguais, o torque magnético total equivale ao de duas forças $F_2$. Para equilibrá-lo no ponto médio de $P_3P_4$:
$M_2g=2F_2\Rightarrow M_2=\dfrac{2\cdot0{,}08}{10}=0{,}016\,\text{kg}$.