Segundo uma obra de ficção, o Centro Europeu de Pesquisas Nucleares, CERN, teria recentemente produzido vários gramas de antimatéria. Sabe-se que, na reação de antimatéria com igual quantidade de matéria normal, a massa total $m$ é transformada em energia $E$, de acordo com a equação $E=mc^2$, onde $c$ é a velocidade da luz no vácuo.
a) Com base nessas informações, quantos joules de energia seriam produzidos pela reação de $1\text{g}$ de antimatéria com $1\text{g}$ de matéria?
b) Supondo que a reação matéria-antimatéria ocorra numa fração de segundo (explosão), a quantas “Little Boy” (a bomba nuclear lançada em Hiroshima, em 6 de agosto de 1945) corresponde a energia produzida nas condições do item a)?
c) Se a reação matéria-antimatéria pudesse ser controlada e a energia produzida na situação descrita em a) fosse totalmente convertida em energia elétrica, por quantos meses essa energia poderia suprir as necessidades de uma pequena cidade que utiliza, em média, $9\text{MW}$ de potência elétrica?
a) A massa convertida em energia é a soma da antimatéria com a matéria: $m=2\text{g}=2\times10^{-3}\text{kg}$.
$E=mc^2=2\times10^{-3}(3{,}0\times10^8)^2=1{,}8\times10^{14}\text{J}$.
b) O número equivalente de bombas é
$N=\dfrac{1{,}8\times10^{14}}{60\times10^{12}}=3$.
c) Em um mês, a cidade consome
$E_{\text{mês}}=9\times10^6\cdot2{,}5\times10^6=2{,}25\times10^{13}\text{J}$.
$n=\dfrac{1{,}8\times10^{14}}{2{,}25\times10^{13}}=8\text{meses}$.
Uma pessoa pendurou um fio de prumo no interior de um vagão de trem e percebeu, quando o trem partiu do repouso, que o fio se inclinou em relação à vertical. Com auxílio de um transferidor, a pessoa determinou que o ângulo máximo de inclinação, na partida do trem, foi $14^\circ$. Nessas condições,
a) represente, na figura da página de resposta, as forças que agem na massa presa ao fio.
b) indique, na figura da página de resposta, o sentido de movimento do trem.
c) determine a aceleração máxima do trem.
a) Sobre a massa atuam apenas a força peso $P=mg$, vertical para baixo, e a tensão $T$, dirigida ao longo do fio em direção ao ponto de suspensão.
b) Como o fio se inclina para a esquerda, a aceleração do trem é para a direita. Como ele parte do repouso, seu movimento inicial também é para a direita.
c) Decompondo a tensão: $T_y=mg$ e $T_x=ma$. Logo,
$\tan14^\circ=\dfrac{T_x}{T_y}=\dfrac{a}{g}$.
$a=10\cdot0{,}25=2{,}5\text{m/s}^2$.
No modelo da questão, a inclinação é associada ao equilíbrio do fio no referencial acelerado do vagão: a componente vertical da tensão equilibra o peso e a horizontal produz a aceleração da massa.
Pedro atravessa a nado, com velocidade constante, um rio de $60\text{m}$ de largura e margens paralelas, em 2 minutos. Ana, que boia no rio e está parada em relação à água, observa Pedro, nadando no sentido sul-norte, em uma trajetória retilínea, perpendicular às margens. Marta, sentada na margem do rio, vê que Pedro se move no sentido sudoeste-nordeste, em uma trajetória que forma um ângulo $\theta$ com a linha perpendicular às margens. As trajetórias, como observadas por Ana e por Marta, estão indicadas nas figuras abaixo, respectivamente por PA e PM. Se o ângulo $\theta$ for tal que $\cos\theta=3/5$ ($\sin\theta=4/5$), qual o valor do módulo da velocidade
a) de Pedro em relação à água?
b) de Pedro em relação à margem?
c) da água em relação à margem?
a) Para Ana, Pedro percorre os $60\text{m}$ perpendicularmente às margens em $120\text{s}$:
$v_{P/A}=\dfrac{60}{120}=0{,}50\text{m/s}$.
b) Para Marta, essa velocidade de $0{,}50\text{m/s}$ é a componente perpendicular às margens da velocidade resultante. Assim,
$\cos\theta=\dfrac{v_{P/A}}{v_{P/M}}=\dfrac35$.
$v_{P/M}=0{,}50\cdot\dfrac53\approx0{,}83\text{m/s}$.
c) A velocidade da correnteza é a componente paralela às margens:
$v_{A/M}=v_{P/M}\sin\theta\approx0{,}83\cdot\dfrac45\approx0{,}67\text{m/s}$.
Luz proveniente de uma lâmpada de vapor de mercúrio incide perpendicularmente em uma das faces de um prisma de vidro de ângulos $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$, imerso no ar, como mostra a figura ao lado. A radiação atravessa o vidro e atinge um anteparo. Devido ao fenômeno de refração, o prisma separa as diferentes cores que compõem a luz da lâmpada de mercúrio e observam-se, no anteparo, linhas de cor violeta, azul, verde e amarela. Os valores do índice de refração $n$ do vidro para as diferentes cores estão dados abaixo.
a) Calcule o desvio angular $\alpha$, em relação à direção de incidência, do raio de cor violeta que sai do prisma.
b) Desenhe, na figura da página de respostas, o raio de cor violeta que sai do prisma.
c) Indique, na representação do anteparo na folha de respostas, a correspondência entre as posições das linhas $L_1$, $L_2$, $L_3$ e $L_4$ e as cores do espectro do mercúrio.
| $\theta$ (graus) | $\sin\theta$ | Cor | $n$ (vidro) |
|---|---|---|---|
| 60 | 0,866 | violeta | 1,532 |
| 50 | 0,766 | azul | 1,528 |
| 40 | 0,643 | verde | 1,519 |
| 30 | 0,500 | amarelo | 1,515 |
a) Na primeira face a incidência é normal, portanto não há desvio. Na segunda face, o raio incide com $30^\circ$ em relação à normal. Para a luz violeta:
$1{,}532\sin30^\circ=1\cdot\sin r$.
$\sin r=1{,}532\cdot0{,}500=0{,}766\Rightarrow r=50^\circ$.
Logo, o desvio em relação à direção original é $\alpha=50^\circ-30^\circ=20^\circ$.
b) O raio violeta emerge afastando-se da normal e forma o desvio de $20^\circ$ em relação à direção de incidência.
c) Quanto maior o índice de refração, maior o desvio. Assim, a ordem é: $L_1$ violeta, $L_2$ azul, $L_3$ verde e $L_4$ amarela.
Um balão de ar quente é constituído de um envelope (parte inflável), cesta para três passageiros, queimador e tanque de gás. A massa total do balão, com três passageiros e com o envelope vazio, é de $400\text{kg}$. O envelope totalmente inflado tem um volume de $1500\text{m}^3$.
a) Que massa de ar $M_1$ caberia no interior do envelope, se totalmente inflado, com pressão igual à pressão atmosférica local ($P_{\text{atm}}$) e temperatura $T=27^\circ\text{C}$?
b) Qual a massa total de ar $M_2$, no interior do envelope, após este ser totalmente inflado com ar quente a uma temperatura de $127^\circ\text{C}$ e pressão $P_{\text{atm}}$?
c) Qual a aceleração do balão, com os passageiros, ao ser lançado nas condições dadas no item b), quando a temperatura externa é $T=27^\circ\text{C}$?
a) A $27^\circ\text{C}$, a massa de ar que ocuparia $1500\text{m}^3$ é
$M_1=\rho V=1{,}2\cdot1500=1800\text{kg}$.
b) Para o mesmo gás à mesma pressão, a equação dos gases ideais fornece $\rho\propto1/T$. Com $T_1=300\text{K}$ e $T_2=400\text{K}$:
$\rho_2=1{,}2\dfrac{300}{400}=0{,}90\text{kg/m}^3$.
$M_2=0{,}90\cdot1500=1350\text{kg}$.
c) O empuxo corresponde ao peso do ar externo deslocado:
$E=M_1g=1800\cdot10=18000\text{N}$.
O peso do conjunto balão + passageiros + ar quente é
$P=(400+1350)10=17500\text{N}$.
$F_{\text{res}}=500\text{N}$ para cima e a massa acelerada é $1750\text{kg}$:
$a=\dfrac{500}{1750}\approx0{,}29\text{m/s}^2$.
A figura abaixo mostra o esquema de um instrumento (espectrômetro de massa), constituído de duas partes. Na primeira parte, há um campo elétrico $\vec E$, paralelo a esta folha de papel, apontando para baixo, e também um campo magnético $\vec B_1$ perpendicular a esta folha, entrando nela. Na segunda, há um campo magnético $\vec B_2$, de mesma direção que $\vec B_1$, mas em sentido oposto. Íons positivos, provenientes de uma fonte, penetram na primeira parte e, devido ao par de fendas $F_1$ e $F_2$, apenas partículas com velocidade $\vec v$, na direção perpendicular aos vetores $\vec E$ e $\vec B_1$, atingem a segunda parte do equipamento, onde os íons de massa $m$ e carga $q$ têm uma trajetória circular com raio $R$.
a) Obtenha a expressão do módulo da velocidade $\vec v$ em função de $E$ e de $B_1$.
b) Determine a razão $m/q$ dos íons em função dos parâmetros $E$, $B_1$, $B_2$ e $R$.
c) Determine, em função de $R$, o raio $R'$ da trajetória circular dos íons, quando o campo magnético, na segunda parte do equipamento, dobra de intensidade, mantidas as demais condições.
a) Para que o íon atravesse a primeira região sem desvio, as forças elétrica e magnética devem ter módulos iguais:
$qE=qvB_1\Rightarrow v=\dfrac{E}{B_1}$.
b) Na segunda região, a força magnética atua como força centrípeta:
$qvB_2=\dfrac{mv^2}{R}$.
Logo, $\dfrac{m}{q}=\dfrac{B_2R}{v}$. Substituindo $v=E/B_1$:
$\dfrac{m}{q}=\dfrac{B_1B_2R}{E}$.
c) Para os mesmos íons e a mesma velocidade, $R=mv/(qB_2)$; portanto $R$ é inversamente proporcional a $B_2$. Se $B_2$ dobra,
$R'=\dfrac{R}{2}$.