Um forno solar simples foi construído com uma caixa de isopor, forrada internamente com papel alumínio e fechada com uma tampa de vidro de $40\text{cm}\times50\text{cm}$. Dentro desse forno, foi colocada uma pequena panela contendo 1 xícara de arroz e $300\text{mL}$ de água à temperatura ambiente de $25^\circ\text{C}$.
Suponha que os raios solares incidam perpendicularmente à tampa de vidro e que toda a energia incidente na tampa do forno a atravesse e seja absorvida pela água. Para essas condições, calcule:
a) A potência solar total $P$ absorvida pela água.
b) A energia $E$ necessária para aquecer o conteúdo da panela até $100^\circ\text{C}$.
c) O tempo total $T$ necessário para aquecer o conteúdo da panela até $100^\circ\text{C}$ e evaporar $1/3$ da água nessa temperatura (cozer o arroz).
a) A área da tampa é $A=0{,}40\cdot0{,}50=0{,}20\text{m}^2$. Como a irradiância é $1{,}0\times10^3\text{W/m}^2$:
$P=IA=10^3\cdot0{,}20=2{,}0\times10^2\text{W}$.
b) A massa de água é $300\text{g}$ e $\Delta T=100-25=75^\circ\text{C}$:
$E=mc\Delta T=300\cdot4\cdot75=9{,}0\times10^4\text{J}$.
c) Devem ser evaporados $100\text{g}$ de água. O calor latente correspondente é
$Q_L=100\cdot2200=2{,}2\times10^5\text{J}$.
Logo, $E_{\text{total}}=9{,}0\times10^4+2{,}2\times10^5=3{,}1\times10^5\text{J}$ e
$T=\dfrac{E_{\text{total}}}{P}=\dfrac{3{,}1\times10^5}{2{,}0\times10^2}=1{,}55\times10^3\text{s}$.
Num espetáculo de circo, um homem deita-se no chão do picadeiro e sobre seu peito é colocada uma tábua, de $30\text{cm}\times30\text{cm}$, na qual foram cravados 400 pregos, de mesmo tamanho, que atravessam a tábua. No clímax do espetáculo, um saco com $20\text{kg}$ de areia é solto, a partir do repouso, de $5\text{m}$ de altura em relação à tábua, e cai sobre ela. Suponha que as pontas de todos os pregos estejam igualmente em contato com o peito do homem. Determine:
a) A velocidade do saco de areia ao tocar a tábua de pregos.
b) A força média total aplicada no peito do homem se o saco de areia parar $0{,}05\text{s}$ após seu contato com a tábua.
c) A pressão, em $\text{N/cm}^2$, exercida no peito do homem por cada prego, cuja ponta tem $4\text{mm}^2$ de área.
a) Pela conservação da energia mecânica:
$mgh=\dfrac{mv^2}{2}\Rightarrow v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\text{m/s}$.
b) Durante o impacto, a força média de contato $F_m$ para cima e o peso $P=200\text{N}$ para baixo produzem a variação da quantidade de movimento. Tomando o sentido para baixo como positivo:
$-(F_m-P)\Delta t=m(0-v)$.
$-(F_m-200)0{,}05=20(0-10)\Rightarrow F_m=4200\text{N}$.
Pela ação e reação, essa é a força média total transmitida à tábua e ao peito.
c) Cada prego transmite $f=4200/400=10{,}5\text{N}$. Como $4\text{mm}^2=0{,}04\text{cm}^2$:
$p=\dfrac{10{,}5}{0{,}04}=262{,}5\text{N/cm}^2$.
Trens de alta velocidade, chamados trens-bala, deverão estar em funcionamento no Brasil nos próximos anos. Características típicas desses trens são: velocidade máxima de $300\text{km/h}$, massa total (incluindo 500 passageiros) de $500\text{t}$ e potência máxima dos motores elétricos igual a $8\text{MW}$. Nesses trens, as máquinas elétricas que atuam como motores também podem ser usadas como geradores, freando o movimento (freios regenerativos). Nas ferrovias, as curvas têm raio de curvatura de, no mínimo, $5\text{km}$. Considerando um trem e uma ferrovia com essas características, determine:
a) O tempo necessário para o trem atingir a velocidade de $288\text{km/h}$, a partir do repouso, supondo que os motores forneçam a potência máxima o tempo todo.
b) A força máxima na direção horizontal, entre cada roda e o trilho, numa curva horizontal percorrida a $288\text{km/h}$, supondo que o trem tenha 80 rodas e que as forças entre cada uma delas e o trilho tenham a mesma intensidade.
c) A aceleração do trem quando, na velocidade de $288\text{km/h}$, as máquinas elétricas são acionadas como geradores de $8\text{MW}$ de potência, freando o movimento.
Primeiro, $288\text{km/h}=80\text{m/s}$ e $m=500\times10^3\text{kg}$.
a) Com potência constante, o trabalho dos motores é a variação da energia cinética:
$Pt=\dfrac{mv^2}{2}$.
$t=\dfrac{500\times10^3\cdot80^2}{2\cdot8\times10^6}=2{,}0\times10^2\text{s}$.
b) Na curva de raio mínimo $R=5{,}0\times10^3\text{m}$, a resultante horizontal é centrípeta:
$F_c=\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{500\times10^3\cdot80^2}{5{,}0\times10^3}=6{,}4\times10^5\text{N}$.
Dividindo pelas 80 rodas:
$F_{\text{roda}}=\dfrac{6{,}4\times10^5}{80}=8{,}0\times10^3\text{N}$.
c) A potência de frenagem satisfaz $P=Fv$:
$F=\dfrac{8\times10^6}{80}=1{,}0\times10^5\text{N}$.
A aceleração tangencial de frenagem tem módulo
$a_t=\dfrac{F}{m}=\dfrac{10^5}{500\times10^3}=0{,}20\text{m/s}^2$, em sentido oposto ao movimento.
Se, nesse mesmo instante, o trem estiver na curva de raio mínimo, haverá também $a_c=v^2/R=1{,}28\text{m/s}^2$, resultando em $|\vec a|\approx1{,}3\text{m/s}^2$.
A conversão de energia solar em energia elétrica pode ser feita com a utilização de painéis constituídos por células fotovoltaicas que, quando expostas à radiação solar, geram uma diferença de potencial $U$ entre suas faces. Para caracterizar uma dessas células ($C$) de $20\text{cm}^2$ de área, sobre a qual incide $1\text{kW/m}^2$ de radiação solar, foi realizada a medida da diferença de potencial $U$ e da corrente $I$, variando-se o valor da resistência $R$, conforme o circuito esquematizado na figura abaixo. Os resultados obtidos estão apresentados na tabela.
| $U$ (V) | $I$ (A) |
|---|---|
| 0,10 | 1,0 |
| 0,20 | 1,0 |
| 0,30 | 1,0 |
| 0,40 | 0,98 |
| 0,50 | 0,90 |
| 0,52 | 0,80 |
| 0,54 | 0,75 |
| 0,56 | 0,62 |
| 0,58 | 0,40 |
| 0,60 | 0,00 |
a) Faça o gráfico da curva $I\times U$ na figura impressa na folha de respostas.
b) Determine o valor da potência máxima $P_m$ que essa célula fornece e o valor da resistência $R$ nessa condição.
c) Determine a eficiência da célula $C$ para $U=0{,}3\text{V}$.
a) Marcando os pares $(U,I)$ fornecidos na tabela, obtém-se a curva característica abaixo.
b) Calculamos $P=UI$ em cada ponto. O maior produto ocorre para $U=0{,}50\text{V}$ e $I=0{,}90\text{A}$:
$P_m=0{,}50\cdot0{,}90=0{,}45\text{W}$.
Nessa condição:
$R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{0{,}50}{0{,}90}\approx0{,}56\Omega$.
c) A potência solar incidente na célula é
$P_{\text{inc}}=10^3\cdot20\times10^{-4}=2{,}0\text{W}$.
Para $U=0{,}30\text{V}$, a tabela fornece $I=1{,}0\text{A}$, então $P_{\text{forn}}=0{,}30\text{W}$.
$\eta=\dfrac{0{,}30}{2{,}0}=0{,}15=15\%$.
Os produtos $UI$ da tabela são, em watts: 0,10; 0,20; 0,30; 0,392; 0,450; 0,416; 0,405; 0,3472; 0,232 e 0. O maior valor é 0,450 W. A eficiência na condição de potência máxima seria 22,5%, mas o item c pede a condição de 0,30 V, cuja eficiência é 15%.
Um jovem pesca em uma lagoa de água transparente, utilizando, para isto, uma lança. Ao enxergar um peixe, ele atira sua lança na direção em que o observa. O jovem está fora da água e o peixe está $1\text{m}$ abaixo da superfície. A lança atinge a água a uma distância $x=90\text{cm}$ da direção vertical em que o peixe se encontra, como ilustra a figura abaixo. Para essas condições, determine:
a) O ângulo $\alpha$, de incidência na superfície da água, da luz refletida pelo peixe.
b) O ângulo $\beta$ que a lança faz com a superfície da água.
c) A distância $y$, da superfície da água, em que o jovem enxerga o peixe.
| $\theta$ | $\sin\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|
| $30^\circ$ | 0,50 | 0,58 |
| $40^\circ$ | 0,64 | 0,84 |
| $42^\circ$ | 0,67 | 0,90 |
| $53^\circ$ | 0,80 | 1,33 |
| $60^\circ$ | 0,87 | 1,73 |
a) No triângulo formado no interior da água:
$\tan\alpha=\dfrac{0{,}90}{1{,}0}=0{,}90$.
Pela tabela, $\alpha=42^\circ$.
b) Seja $\gamma$ o ângulo do raio refratado no ar em relação à normal. Pela lei de Snell:
$n_{\text{água}}\sin\alpha=n_{\text{ar}}\sin\gamma$.
$1{,}3\cdot0{,}67=1\cdot\sin\gamma\Rightarrow\sin\gamma\approx0{,}87$.
Logo, $\gamma=60^\circ$. Como $\beta+\gamma=90^\circ$, segue que $\beta=30^\circ$.
c) A imagem aparente está na extensão retilínea do raio observado. Assim:
$\tan\beta=\dfrac{y}{0{,}90}\Rightarrow0{,}58=\dfrac{y}{0{,}90}$.
$y\approx0{,}52\text{m}$.
Para manter-se equilibrado em um tronco de árvore vertical, um pica-pau agarra-se pelos pés, puxando-se contra o tronco, e apoia sobre ele sua cauda, constituída de penas muito rígidas, conforme figura ao lado. No esquema impresso na folha de respostas estão indicadas as direções das forças nos pés ($T$) e na cauda ($C$) do pica-pau — que passam pelo seu centro de massa (CM) — e a distância da extremidade da cauda ao CM do pica-pau, que tem $1\text{N}$ de peso ($P$).
a) Calcule os momentos das forças $P$ e $C$ em relação ao ponto $O$ indicado no esquema impresso na folha de respostas.
b) Escreva a expressão para o momento da força $T$ em relação ao ponto $O$ e determine o módulo dessa força.
c) Determine o módulo da força $C$ na cauda do pica-pau.
a) A linha de ação de $C$ passa por $O$, portanto seu momento em relação a $O$ é nulo:
$M_C=0$.
Para o peso, a distância perpendicular de $O$ à linha de ação de $P$ é
$d=16\sin30^\circ=8\text{cm}=8{,}0\times10^{-2}\text{m}$.
Logo, $|M_P|=Pd=1\cdot8{,}0\times10^{-2}=8{,}0\times10^{-2}\text{N}\cdot\text{m}$, com sentido para fora do plano da figura.
b) A linha de ação de $T$ é perpendicular ao segmento de $16\text{cm}$ que liga $O$ ao CM. Portanto:
$|M_T|=T\cdot0{,}16$.
No equilíbrio, $M_T+M_P+M_C=0$, então $|M_T|=|M_P|$:
$T\cdot0{,}16=8{,}0\times10^{-2}\Rightarrow T=0{,}50\text{N}$.
c) Como a resultante das forças também é nula, a decomposição vetorial de $T$, $C$ e $P$ fornece
$C=\dfrac{\sqrt3}{2}\text{N}\approx0{,}87\text{N}$.
Explicitando a decomposição, o equilíbrio horizontal exige $T\cos30^\circ-C\sin30^\circ=0$, logo $C=\sqrt3T$. Com $T=0{,}50\text{ N}$, $C=\sqrt3/2\text{ N}$. Na vertical, $T\sin30^\circ+C\cos30^\circ=0{,}25+0{,}75=1\text{ N}$, equilibrando o peso.