Uma das hipóteses para explicar a extinção dos dinossauros, ocorrida há cerca de 60 milhões de anos, foi a colisão de um grande meteoro com a Terra. Estimativas indicam que o meteoro tinha massa igual a $10^{16}\,\text{kg}$ e velocidade de $30\,\text{km/s}$, imediatamente antes da colisão. Supondo que esse meteoro estivesse se aproximando da Terra, numa direção radial em relação à órbita desse planeta em torno do Sol, para uma colisão frontal, determine
a) a quantidade de movimento $P_i$ do meteoro imediatamente antes da colisão;
b) a energia cinética $E_c$ do meteoro imediatamente antes da colisão;
c) a componente radial da velocidade da Terra, $V_r$, pouco depois da colisão;
d) a energia $E_d$, em megatons, dissipada na colisão.
a) A velocidade é $30\,\text{km/s}=3{,}0\times10^4\,\text{m/s}$. Logo,
$P_i=mv=10^{16}\cdot3{,}0\times10^4=3{,}0\times10^{20}\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$.
b) $E_c=\dfrac12mv^2=\dfrac12\cdot10^{16}\cdot(3{,}0\times10^4)^2=4{,}5\times10^{24}\,\text{J}$.
c) Como a órbita da Terra é circular, sua velocidade orbital não tem componente radial antes da colisão. Conservando a quantidade de movimento na direção radial e desprezando a massa do meteoro diante da massa da Terra,
$MV_r\simeq P_i$.
$V_r\simeq\dfrac{3{,}0\times10^{20}}{6\times10^{24}}=5{,}0\times10^{-5}\,\text{m/s}$.
d) A energia cinética adquirida pela Terra na direção radial é desprezível diante da energia do meteoro, portanto $E_d\simeq4{,}5\times10^{24}\,\text{J}$. Assim,
$E_d\simeq\dfrac{4{,}5\times10^{24}}{4\times10^{15}}\approx1{,}1\times10^9\,\text{megatons}$.
O telêmetro de superposição é um instrumento ótico, de concepção simples, que no passado foi muito utilizado em câmeras fotográficas e em aparelhos de medição de distâncias. Uma representação esquemática de um desses instrumentos está na página de respostas. O espelho semitransparente $E_1$ está posicionado a $45^\circ$ em relação à linha de visão, horizontal, $AB$. O espelho $E_2$ pode ser girado, com precisão, em torno de um eixo perpendicular à figura, passando por $C$, variando-se assim o ângulo $\beta$ entre o plano de $E_2$ e a linha horizontal. Deseja-se determinar a distância $AB$ do objeto que está no ponto $B$ ao instrumento.
a) Desenhe na figura da página de respostas, com linhas cheias, os raios de luz que, partindo do objeto que está em $B$, atingem o olho do observador — um atravessa o espelho $E_1$ e o outro é refletido por $E_2$ no ponto $C$. Suponha que ambos cheguem ao olho do observador paralelos e superpostos.
b) Desenhe, com linhas tracejadas, o trajeto aproximado de um raio de luz que parte do objeto em $B'$, incide em $C$ e é refletido por $E_2$.
Com o objeto em um ponto $B$ específico, o ângulo $\beta$ foi ajustado em $44^\circ$, para que os raios cheguem ao olho do observador paralelos e superpostos. Nessa condição,
c) determine o valor do ângulo $\gamma$ entre as linhas $AB$ e $BC$;
d) com $AC=10\,\text{cm}$, determine o valor de $AB$.
a) Um raio proveniente de $B$ segue diretamente pela linha $AB$, atravessa o espelho semitransparente $E_1$ e chega ao olho. O segundo raio vai de $B$ até $C$, reflete-se em $E_2$, sobe até $E_1$ e é novamente refletido para o olho, superpondo-se ao primeiro.
b) Para o objeto em $B'$, o raio que incide em $C$ chega com outra direção. Como $E_2$ permanece na mesma orientação, após a reflexão ele não segue exatamente por $CA$.
c) O espelho $E_2$ faz $44^\circ$ com a horizontal; portanto, sua normal faz $46^\circ$ com a horizontal. O raio refletido segue verticalmente, formando $44^\circ$ com a normal. Pela lei da reflexão, o raio incidente também forma $44^\circ$ com a normal. Assim, sua inclinação em relação à horizontal é
$\gamma=46^\circ-44^\circ=2^\circ$.
d) Como $AB\perp AC$, o triângulo $ABC$ é retângulo em $A$ e o ângulo em $C$ vale $88^\circ$. Logo,
$\tan88^\circ=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{\sen88^\circ}{\cos88^\circ}=\dfrac{0{,}99}{0{,}03}=33$.
Portanto, $AB=33\cdot10\,\text{cm}=330\,\text{cm}=3{,}3\,\text{m}$.
Um DJ, ao preparar seu equipamento, esquece uma caixa de fósforos sobre o disco de vinil, em um toca-discos desligado. A caixa se encontra a $10\,\text{cm}$ do centro do disco. Quando o toca-discos é ligado, no instante $t=0$, ele passa a girar com aceleração angular constante $\alpha=1{,}1\,\text{rad/s}^2$, até que o disco atinja a frequência final $f=33\,\text{rpm}$ que permanece constante. O coeficiente de atrito estático entre a caixa de fósforos e o disco é $\mu_e=0{,}09$. Determine
a) a velocidade angular final do disco, $\omega_f$, em rad/s;
b) o instante $t_f$ em que o disco atinge a velocidade angular $\omega_f$;
c) a velocidade angular $\omega_c$ do disco no instante $t_c$ em que a caixa de fósforos passa a se deslocar em relação ao mesmo;
d) o ângulo total $\Delta\theta$ percorrido pela caixa de fósforos desde o instante $t=0$ até o instante $t=t_c$.
a) $33\,\text{rpm}=33/60\,\text{Hz}$. Assim,
$\omega_f=2\pi f=6\cdot\dfrac{33}{60}=3{,}3\,\text{rad/s}$.
b) Partindo do repouso, $\omega=\alpha t$. Portanto,
$t_f=\dfrac{3{,}3}{1{,}1}=3{,}0\,\text{s}$.
c) O atrito estático é responsável simultaneamente pelas acelerações tangencial e centrípeta. No limite de escorregamento,
$\mu_e g=\sqrt{(\alpha r)^2+(\omega_c^2r)^2}$.
Com $r=0{,}10\,\text{m}$,
$0{,}9=\sqrt{(0{,}11)^2+(0{,}10\omega_c^2)^2}$,
de onde $\omega_c\approx2{,}99\,\text{rad/s}\approx3{,}0\,\text{rad/s}$.
d) Até $t_c$, o movimento angular é uniformemente acelerado. Como $\omega_c^2=2\alpha\Delta\theta$,
$\Delta\theta=\dfrac{\omega_c^2}{2\alpha}\approx\dfrac{(2{,}99)^2}{2\cdot1{,}1}\approx4{,}1\,\text{rad}$.
Em uma aula de laboratório, os alunos determinaram a força eletromotriz $\varepsilon$ e a resistência interna $r$ de uma bateria. Para realizar a tarefa, montaram o circuito representado na figura abaixo e, utilizando o voltímetro, mediram a diferença de potencial $V$ para diferentes valores da resistência $R$ do reostato. A partir dos resultados obtidos, calcularam a corrente $I$ no reostato e construíram a tabela apresentada na página de respostas.
| $V$ (V) | $R$ ($\Omega$) | $I$ (A) |
|---|---|---|
| 1,14 | 7,55 | 0,15 |
| 1,10 | 4,40 | — |
| 1,05 | 2,62 | 0,40 |
| 0,96 | 1,60 | — |
| 0,85 | 0,94 | 0,90 |
a) Complete a tabela, na página de respostas, com os valores da corrente $I$.
b) Utilizando os eixos da página de respostas, faça o gráfico de $V$ em função de $I$.
c) Determine a força eletromotriz $\varepsilon$ e a resistência interna $r$ da bateria.
a) Como o voltímetro é ideal, a corrente no reostato é $I=V/R$. Assim,
para $V=1{,}10\,\text{V}$ e $R=4{,}40\,\Omega$, $I=0{,}25\,\text{A}$;
para $V=0{,}96\,\text{V}$ e $R=1{,}60\,\Omega$, $I=0{,}60\,\text{A}$.
b) Para um gerador real, $V=\varepsilon-rI$. Portanto, o gráfico $V\times I$ é uma reta decrescente:
c) O coeficiente linear fornece a força eletromotriz e o módulo da inclinação fornece a resistência interna. Usando, por exemplo, os pontos $(0{,}15;1{,}14)$ e $(0{,}90;0{,}85)$,
$r\approx\dfrac{1{,}14-0{,}85}{0{,}90-0{,}15}\approx0{,}39\,\Omega\approx0{,}40\,\Omega$.
Então, $\varepsilon=V+rI\approx1{,}14+0{,}40\cdot0{,}15=1{,}20\,\text{V}$.
Um equipamento, como o esquematizado na figura abaixo, foi utilizado por J. J. Thomson, no final do século XIX, para o estudo de raios catódicos em vácuo. Um feixe fino de elétrons (cada elétron tem massa $m$ e carga $e$) com velocidade de módulo $v_0$, na direção horizontal $x$, atravessa a região entre um par de placas paralelas, horizontais, de comprimento $L$. Entre as placas, há um campo elétrico de módulo constante $E$ na direção vertical $y$. Após saírem da região entre as placas, os elétrons descrevem uma trajetória retilínea até a tela fluorescente $T$.
Determine
a) o módulo $a$ da aceleração dos elétrons enquanto estão entre as placas;
b) o intervalo de tempo $\Delta t$ que os elétrons permanecem entre as placas;
c) o desvio $\Delta y$ na trajetória dos elétrons, na direção vertical, ao final de seu movimento entre as placas;
d) a componente vertical $v_y$ da velocidade dos elétrons ao saírem da região entre as placas.
a) Em módulo, a força elétrica é $F=eE$. Pela segunda lei de Newton,
$a=\dfrac{eE}{m}$.
b) Não há força na direção horizontal; portanto, $v_x=v_0$ é constante. Assim,
$\Delta t=\dfrac{L}{v_0}$.
c) Na vertical, o movimento é uniformemente acelerado e a velocidade vertical inicial é nula:
$\Delta y=\dfrac12a(\Delta t)^2=\dfrac{eEL^2}{2mv_0^2}$.
d) $v_y=a\Delta t=\dfrac{eEL}{mv_0}$, no sentido oposto ao campo elétrico, pois o elétron possui carga negativa.
A potência elétrica instalada no Brasil é $100\,\text{GW}$. Considerando que o equivalente energético do petróleo seja igual a $4\times10^7\,\text{J/L}$, que a potência média de radiação solar por unidade de área incidente na superfície terrestre seja igual a $250\,\text{W/m}^2$ e que a relação de equivalência entre massa $m$ e energia $E$ é expressa por $E=mc^2$, determine
a) a área $A$ de superfície terrestre, na qual incide uma potência média de radiação solar equivalente à potência elétrica instalada no Brasil;
b) a energia elétrica $E_B$ consumida no Brasil em um ano, supondo que, em média, $80\%$ da potência instalada seja utilizada;
c) o volume $V$ de petróleo equivalente à energia elétrica consumida no Brasil em um ano;
d) a massa $m$ equivalente à energia elétrica consumida no Brasil em um ano.
a) A potência instalada é $100\,\text{GW}=1{,}0\times10^{11}\,\text{W}$. Logo,
$A=\dfrac{P}{250}=\dfrac{10^{11}}{250}=4{,}0\times10^8\,\text{m}^2$.
Isso corresponde a $400\,\text{km}^2$.
b) A potência média utilizada é $0{,}80\cdot10^{11}=8{,}0\times10^{10}\,\text{W}$. Em um ano,
$E_B=Pt=8{,}0\times10^{10}\cdot3\times10^7=2{,}4\times10^{18}\,\text{J}$.
c) $V=\dfrac{E_B}{4\times10^7}=\dfrac{2{,}4\times10^{18}}{4\times10^7}=6{,}0\times10^{10}\,\text{L}$.
d) $m=\dfrac{E_B}{c^2}=\dfrac{2{,}4\times10^{18}}{(3\times10^8)^2}\approx2{,}7\times10^1\,\text{kg}$.
Portanto, $m\approx27\,\text{kg}$.