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Q54

Mecânica — Cinemática — Movimento Circular Uniforme

Olimpíadas de Inverno de Pyeongchang

Foto da patinação artística nos Jogos Olímpicos de Inverno de Pyeongchang 2018

No mês de fevereiro do vigente ano, do dia 7 ao dia 25, na cidade de Pyeongchang na Coreia do Sul, o mundo acompanhou a disputa de 2.952 atletas, disputando 102 provas de 15 disciplinas esportivas na 23ª edição dos Jogos Olímpicos de Inverno.

Praticamente todas as provas ocorreram sob temperaturas negativas, dentre elas, a belíssima patinação artística no gelo, que envolve um par de atletas.

A foto acima mostra o italiano Ondrej Hotarek que, em meio à coreografia da prova, crava a ponta de um de seus patins em um ponto e gira a colega Valentina Marchei, cuja ponta de um dos patins desenha no gelo uma circunferência de raio $2{,}0\text{ m}$. Supondo-se que a velocidade angular de Valentina seja constante e valha $6{,}2\text{ rad/s}$ e considerando-se $\pi\cong3{,}1$, pode-se afirmar corretamente que o módulo da velocidade vetorial média da ponta dos patins de Valentina, ao percorrer de um ponto a outro diametralmente oposto da circunferência, vale, em $\text{m/s}$,

a) $2{,}0$

b) $3{,}0$

c) $5{,}0$

d) $6{,}0$

e) $8{,}0$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

Como os pontos são diametralmente opostos, a patinadora gira meia volta: $\Delta\theta=\pi\text{ rad}$.

Com $\omega=6{,}2\text{ rad/s}$ e $\pi\cong3{,}1$, o intervalo de tempo é $\Delta t=\dfrac{\pi}{\omega}=\dfrac{3{,}1}{6{,}2}=0{,}5\text{ s}$.

O módulo do deslocamento entre os dois pontos é o diâmetro da circunferência: $\Delta r=2R=4{,}0\text{ m}$. Assim, $v_{\text{m}}=\dfrac{\Delta r}{\Delta t}=\dfrac{4{,}0}{0{,}5}=8{,}0\text{ m/s}$.

Alternativa E.

Q55

Termologia — Calorimetria — Calor Sensível

Para a prática de esportes olímpicos, é adequada a piscina olímpica. As dimensões dela, segundo Federação Internacional de Natação, devem ser de $50\text{ m}$ para o comprimento; $25\text{ m}$, para a largura, e $2{,}0\text{ m}$, para a profundidade. A temperatura média ideal da água deve ser igual a $25\text{ °C}$.

A quantidade de energia necessária, em joules, a ser fornecida para deixar a água da piscina na temperatura ideal — sendo essa a única troca de energia a se considerar —, observando que inicialmente a água, que preenche todo o volume da piscina, estava a $20\text{ °C}$, é igual a

Dados: $c_{\text{água}}=1{,}0\text{ cal/(g·°C)}$; $\rho_{\text{água}}=1{,}0\text{ g/cm}^3$; $1{,}0\text{ cal}=4{,}0\text{ J}$.

a) $2{,}0\cdot10^{10}\text{ J}$

b) $3{,}0\cdot10^{10}\text{ J}$

c) $4{,}0\cdot10^{10}\text{ J}$

d) $5{,}0\cdot10^{10}\text{ J}$

e) $6{,}0\cdot10^{10}\text{ J}$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

O volume de água é $V=50\cdot25\cdot2{,}0=2500\text{ m}^3=2{,}5\cdot10^9\text{ cm}^3$.

Como $\rho=1{,}0\text{ g/cm}^3$, a massa é $m=2{,}5\cdot10^9\text{ g}$. A variação de temperatura é $\Delta\theta=25-20=5\text{ °C}$.

Em calorias: $Q=mc\Delta\theta=2{,}5\cdot10^9\cdot1{,}0\cdot5=1{,}25\cdot10^{10}\text{ cal}$. Como $1{,}0\text{ cal}=4{,}0\text{ J}$, resulta $Q=5{,}0\cdot10^{10}\text{ J}$.

Alternativa D.

Q56

Mecânica — Estática — Equilíbrio de Corpo Extenso

Com o intuito de facilitar seu trabalho, um operário construiu um artifício com cordas e polias fixas ideais e ainda uma barra homogênea de comprimento $L=20\text{ m}$, articulada no ponto A. A massa da barra vale $M_B=60\text{ kg}$ e o peso do bloco levantado tem módulo $Q=500\text{ N}$.

Esquema da barra articulada, cordas, polias e bloco da questão 56

Considerando-se que o sistema está em equilíbrio no instante em que é retratado, que o módulo da aceleração gravitacional local seja $g=10\text{ m/s}^2$, que o trecho BC da corda esteja perpendicular à barra e que o valor do ângulo é $\theta=53^{\circ}$, afirma-se corretamente que o módulo da reação horizontal da força na barra no ponto A vale, em $\text{N}$ (newton),

Dados: $\sin53^{\circ}=0{,}80$; $\cos53^{\circ}=0{,}60$.

a) $650$

b) $534$

c) $400$

d) $384$

e) $250$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

O peso da barra é $P_B=M_Bg=60\cdot10=600\text{ N}$. O peso do bloco é $Q=500\text{ N}$.

Tomando momentos em torno de A, a reação da articulação não contribui. Como BC é perpendicular à barra, o momento da tração é $T\cdot20$. Os braços horizontais dos pesos são $20\cos53^\circ=12\text{ m}$ para o bloco e $10\cos53^\circ=6\text{ m}$ para o peso da barra.

No equilíbrio: $T\cdot20=500\cdot12+600\cdot6=9600$, portanto $T=480\text{ N}$.

A componente horizontal da tração tem módulo $T\sin53^\circ=480\cdot0{,}80=384\text{ N}$. Como essa é a única força horizontal além da reação em A, a reação horizontal tem módulo $384\text{ N}$.

Alternativa D.

Q57

Mecânica — Trabalho e Energia — Energia Potencial Gravitacional

No dia vinte e três de janeiro de 2018, a cidade de São Paulo ganhou a sua 72ª estação de metrô, a estação Higienópolis-Mackenzie que faz parte da Linha 4 – Amarela. A estação é totalmente acessível aos usuários com deficiência e mobilidade reduzida. Os pavimentos contam com cinco elevadores que fazem a interligação da rua com o mezanino e com as plataformas, além de 26 escadas rolantes e 13 fixas. Suponha-se que uma pessoa com massa $80\text{ kg}$ rejeite os elevadores e as escadas rolantes e, disposta a emagrecer dissipando a sua energia, suba diariamente os $25\text{ m}$ de profundidade da estação.

Considerando-se a massa específica da água $1{,}0\text{ g/cm}^3$, seu calor específico sensível $1{,}0\text{ cal/(g·°C)}$, a aceleração gravitacional $g=10\text{ m/s}^2$ e $1{,}0\text{ cal}$ equivalente aproximadamente a $4{,}0\text{ J}$, em cinco dias, a energia dissipada por essa pessoa aquece um litro de água de um intervalo de temperatura em $\text{°C}$ igual a

a) $50$

b) $25$

c) $20$

d) $10$

e) $5{,}0$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

Em um dia, a energia associada à subida é $E_1=mgh=80\cdot10\cdot25=2{,}0\cdot10^4\text{ J}$.

Em cinco dias: $E=5E_1=1{,}0\cdot10^5\text{ J}$. Como $1{,}0\text{ cal}\cong4{,}0\text{ J}$, isso corresponde a $2{,}5\cdot10^4\text{ cal}$.

Um litro de água tem volume $1000\text{ cm}^3$ e, com $\rho=1{,}0\text{ g/cm}^3$, massa $1000\text{ g}$. Então $Q=mc\Delta\theta$ fornece $2{,}5\cdot10^4=1000\cdot1{,}0\cdot\Delta\theta$, logo $\Delta\theta=25\text{ °C}$.

Alternativa B.

Q58

Óptica — Refração — Índice de Refração

Um feixe de luz apresenta um comprimento de onda igual a $400\text{ nm}$ quando se propaga no vácuo. Ao incidir em um determinado meio X, sua velocidade passa a ser 40% menor que a velocidade de propagação da luz no vácuo. O índice de refração desse meio X e o comprimento de onda do feixe no meio X são, respectivamente,

Dado: velocidade da luz no vácuo igual a $3{,}0\cdot10^8\text{ m/s}$.

a) $\dfrac{4}{3}$; $240\text{ nm}$

b) $\dfrac{4}{3}$; $300\text{ nm}$

c) $\dfrac{5}{3}$; $240\text{ nm}$

d) $\dfrac{5}{3}$; $300\text{ nm}$

e) $\dfrac{3}{2}$; $300\text{ nm}$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

A velocidade no meio é $v_X=0{,}60c$. Portanto, o índice de refração é $n=\dfrac{c}{v_X}=\dfrac{1}{0{,}60}=\dfrac53$.

Na passagem de um meio para outro, a frequência da luz permanece constante. Como $v=\lambda f$, o comprimento de onda varia na mesma proporção da velocidade: $\lambda_X=0{,}60\lambda_0=0{,}60\cdot400=240\text{ nm}$.

Logo, $n=\dfrac53$ e $\lambda_X=240\text{ nm}$.

Alternativa C.

Q59

Óptica — Óptica Geométrica — Espelhos Esféricos

ESPELHO DE ARQUIMEDES – O Raio da Morte!

Ilustração do espelho de Arquimedes e concentração dos raios solares

A época era aproximadamente 200 a.C., o local, a cidade-estado de Siracusa, Sicília, nas Grandes Guerras Púnicas. Os contadores da história foram, dentre outros, Tzestes e Luciano de Samosata em sua obra Hippias.

Eles contaram que já naquela época o “cientista bélico” Arquimedes teria inventado várias armas de guerra, incluindo catapultas, a terrível “Mão de Ferro” (um guindaste que pegava os navios e os levantava), um “Canhão a Vapor” e aquilo que ficou conhecido como o “Raio da Morte” ou “Raio de Calor”.

O “Raio da Morte” era, na realidade, a concentração dos raios de luz, advindos do sol, refletidos em um sistema formado por inúmeros espelhos, formando o que seria um poderoso espelho esférico côncavo.

Considerando-se ser o eixo principal deste espelho paralelo ao horizonte; a distância do vértice do espelho ao ponto de concentração máxima (ponto de queima) dos raios, $d$, e altura do ponto de queima ao eixo principal, $h$, afirma-se corretamente que o raio de curvatura do espelho esférico é fornecido pela expressão

a) $\sqrt{h^2-d^2}$

b) $2\sqrt{h^2+d^2}$

c) $2\sqrt{d^2-h^2}$

d) $2\sqrt{h^2-d^2}$

e) $\sqrt{d^2-h^2}$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

Pela geometria da situação, a distância $d$ é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são a altura $h$ e a distância focal $f$. Assim, $d^2=h^2+f^2$.

Logo, $f^2=d^2-h^2$ e $f=\sqrt{d^2-h^2}$.

Para um espelho esférico, $R=2f$. Portanto, $R=2\sqrt{d^2-h^2}$.

Alternativa C.

Q60

Eletricidade — Eletrostática — Lei de Coulomb

Duas cargas elétricas $+6{,}0\text{ μC}$ e $+1{,}0\text{ μC}$ estão fixadas em uma região no vácuo a uma distância de $1{,}0\text{ m}$ uma da outra.

A força resultante que atua em uma carga de $-2{,}0\text{ μC}$, colocada entre elas, será igual a zero, quando esta estiver a uma distância da carga de $+1{,}0\text{ μC}$ de, aproximadamente,

Considere: $\sqrt2\cong1{,}4$ e $\sqrt3\cong1{,}7$.

a) $0{,}3\text{ m}$

b) $0{,}4\text{ m}$

c) $0{,}5\text{ m}$

d) $0{,}7\text{ m}$

e) $1{,}2\text{ m}$

Enunciado transcrito do PDF original.

Gabarito oficial — 06/06/2018, Tipo A

Resolução comentada

Seja $x$ a distância da carga de $-2{,}0\text{ μC}$ até a carga de $+1{,}0\text{ μC}$. Então sua distância até a carga de $+6{,}0\text{ μC}$ é $1-x$.

Para a resultante ser nula, os módulos das forças devem ser iguais. Pela Lei de Coulomb, os fatores $k$ e o módulo da carga de prova se cancelam: $\dfrac{6}{(1-x)^2}=\dfrac{1}{x^2}$.

Daí, $6x^2=(1-x)^2$ e, como as distâncias são positivas, $\sqrt6x=1-x$. Usando $\sqrt6=\sqrt2\sqrt3\cong1{,}4\cdot1{,}7=2{,}38$, temos $2{,}38x=1-x$, logo $3{,}38x=1$ e $x\cong0{,}296\text{ m}\cong0{,}3\text{ m}$.

Alternativa A.

Dados da prova