Mackenzie 1999.2

De $t=4\,\text{s}$ a $t=6\,\text{s}$ (velocidade constante), a posição varia de $30\,\text{m}$ a $50\,\text{m}$, logo

$$v=\frac{50-30}{6-4}=10\,\text{m/s}.$$

Essa é a velocidade atingida ao final da fase de aceleração ($t=4\,\text{s}$), partindo do repouso. Pela equação $v=v_0+at$, com $v_0=0$:

$$10=a\cdot4\Rightarrow a=2,5\,\text{m/s}^2.$$

Alternativa correta: C

A componente vertical da velocidade de impacto é

$$v_y=v\cdot\text{sen}\,53^\circ=37,5\times0,8=30\,\text{m/s}.$$

Como o lançamento é horizontal, $v_y=gt$, logo $t=30/10=3\,\text{s}$. A altura da torre é

$$h=\frac{gt^2}{2}=\frac{10\times3^2}{2}=45\,\text{m}.$$

Alternativa correta: D

O triângulo formado tem catetos $90\,\text{cm}$ (vertical) e $120\,\text{cm}$ (horizontal), logo a hipotenusa (comprimento do plano) é $150\,\text{cm}$, numa proporção $3\text{-}4\text{-}5$. O seno do ângulo de inclinação é

$$\text{sen}\,\theta=\frac{90}{150}=0,6.$$

Sem atrito, a aceleração ao longo do plano é

$$a=g\,\text{sen}\,\theta=10\times0,6=6\,\text{m/s}^2.$$

Partindo do repouso, $v=at=6t$ — reta pela origem com inclinação $6\,\text{m/s}$ por segundo, passando por $(1;6)$, $(2;12)$ e $(3;18)$.

Alternativa correta: A

A altura $h=\tfrac52R$ de liberação é exatamente a altura mínima clássica para que um corpo complete um looping de raio $R$ mantendo contato no topo (situação em que, no ponto B, o peso fornece sozinho a força centrípeta): $v_B^2=gR$.

Confirmando por energia mecânica, tomando o topo do looping (altura $2R$) como ponto B:

$$mgh=mg(2R)+\frac{mv_B^2}{2}\Rightarrow g\left(\frac52R-2R\right)=\frac{v_B^2}{2}\Rightarrow v_B^2=gR.$$

Logo, $v_B=\sqrt{gR}$ e a quantidade de movimento é

$$p=mv_B=m\sqrt{Rg}.$$

Alternativa correta: A

Como as molas têm o mesmo comprimento natural e a barra permanece horizontal, as duas molas sofrem a mesma deformação, logo suas trações são proporcionais às constantes elásticas: $T_1/k_1=T_2/k_2\Rightarrow T_1=\tfrac{2}{3}T_2$.

Com o corpo de $20\,\text{N}$ adicionado, a soma das trações deve equilibrar o peso total: $T_1+T_2=10+20=30\,\text{N}$. Substituindo,

$$\frac23T_2+T_2=30\Rightarrow\frac53T_2=30\Rightarrow T_2=18\,\text{N},\quad T_1=12\,\text{N}.$$

Tomando momentos em torno de A (comprimento da barra $=100\,\text{cm}$, peso próprio de $10\,\text{N}$ no centro, a $50\,\text{cm}$; corpo de $20\,\text{N}$ a uma distância $x$ de A; $T_2$ atua em B, a $100\,\text{cm}$):

$$T_2\cdot100=10\cdot50+20\cdot x\Rightarrow18\cdot100=500+20x\Rightarrow x=\frac{1300}{20}=65\,\text{cm}.$$

Alternativa correta: B

Ao colocar óleo (menos denso) sobre a água no ramo direito, a coluna de óleo empurra a água desse ramo para baixo, elevando o nível de água no ramo esquerdo. Igualando as pressões no nível da interface água-óleo (mesma altura nos dois ramos, medida a partir do fundo):

$$\rho_{\text{água}}\,g\,h_{\text{esq}}=\rho_{\text{água}}\,g\,h_{\text{interface}}+\rho_{\text{óleo}}\,g\,h_{\text{óleo}}.$$

Como $\rho_{\text{óleo}}<\rho_{\text{água}}$, a coluna de óleo precisa ser mais alta que a diferença de nível de água para compensar a pressão — por isso a superfície livre do óleo (topo do ramo direito) fica acima do nível de água do ramo esquerdo, enquanto a interface óleo-água no ramo direito fica abaixo do nível original de água.

Alternativa correta (física): configuração com óleo acima do nível de água do ramo esquerdo, interface abaixo do nível original — letra a reconferir contra a figura original.

A figura mostra 5 comprimentos de onda completos ao longo dos $85,00\,\text{cm}$ indicados, logo

$$\lambda=\frac{85\,\text{cm}}{5}=17\,\text{cm}=0,17\,\text{m}.$$

A velocidade de propagação seria $v=\lambda f=0,17\times1000=170\,\text{m/s}$, e não $340\,\text{m/s}$ (valor típico do som no ar, mas não o que se obtém a partir dos dados desta figura) — descartando a alternativa e.

Alternativa correta: B

Num espelho plano, a distância objeto-imagem é o dobro da distância objeto-espelho: $d=1,60\,\text{m}$ inicialmente (já que $2d=3,20\,\text{m}$). Aproximando o objeto $40\,\text{cm}=0,40\,\text{m}$,

$$d'=1,60-0,40=1,20\,\text{m}\Rightarrow\text{nova distância}=2d'=2,40\,\text{m}.$$

Alternativa correta: A

Fazendo $K=F$, com $K=C+273$ e $F=\dfrac95C+32$:

$$C+273=\frac95C+32\Rightarrow273-32=\frac95C-C=\frac45C\Rightarrow241=\frac45C\Rightarrow C=301,25\,{}^\circ\text{C}.$$

Alternativa correta: D

Pela lei da dilatação linear, $\Delta L=\alpha L_0\Delta T$, com $L_0=20,00\,\text{cm}$, $\Delta L=20,04-20,00=0,04\,\text{cm}$ e $\Delta T=100\,{}^\circ\text{C}$:

$$\alpha=\frac{\Delta L}{L_0\Delta T}=\frac{0,04}{20\times100}=2,0\times10^{-5}\,{}^\circ\text{C}^{-1}.$$

Alternativa correta: C

Na primeira fase (0 a 5 min), a água aquece de $20\,{}^\circ\text{C}$ a $100\,{}^\circ\text{C}$ ($\Delta T=80\,{}^\circ\text{C}$). O calor fornecido é $Q_1=2160\times5=10800\,\text{cal}$, e como $Q_1=mc\Delta T$:

$$m=\frac{10800}{1\times80}=135\,\text{g (massa total inicial)}.$$

Na segunda fase (5 a 25 min, $20\,\text{min}$), a temperatura permanece em $100\,{}^\circ\text{C}$ (vaporização). O calor fornecido é $Q_2=2160\times20=43200\,\text{cal}$, e a massa vaporizada é

$$m_{\text{vap}}=\frac{43200}{540}=80\,\text{g}.$$

A massa de água líquida restante é $135-80=55\,\text{g}$.

Alternativa correta: C

Como $28,8/3,2=9=(3,0/1,0)^2$, o campo obedece à lei do inverso do quadrado a partir de $d=1,0\times10^{-2}\,\text{m}$ — esse é o raio $R$ da esfera, com campo superficial $E=28,8\times10^4\,\text{V/m}$.

Da relação $E=k_0Q/R^2$,

$$Q=\frac{E\,R^2}{k_0}=\frac{28,8\times10^4\times(1,0\times10^{-2})^2}{9\times10^9}=3,2\times10^{-9}\,\text{C}.$$

O número de cargas excedentes é

$$n=\frac{Q}{e}=\frac{3,2\times10^{-9}}{1,6\times10^{-19}}=2,0\times10^{10}.$$

Como a esfera está eletrizada positivamente, há excesso de prótons (falta de elétrons).

Alternativa correta: D

Em regime permanente, não circula corrente pelo ramo do capacitor (nenhuma queda de tensão no resistor de $12\,\Omega$ em série com ele), portanto a tensão do capacitor é igual à força eletromotriz do gerador:

$$\varepsilon=V_C=\frac{Q}{C}=\frac{24\,\text{nC}}{2\,\text{nF}}=12\,\text{V}.$$

Toda a corrente do circuito passa pelos resistores de $5\,\Omega$ e $7\,\Omega$ em série (ramo com o amperímetro):

$$i=\frac{\varepsilon}{5+7}=\frac{12}{12}=1,0\,\text{A}.$$

Alternativa correta: B

O ramo com o resistor de $10\,\Omega$ não tem fonte, então a tensão entre os dois nós do circuito é

$$U=i_3\cdot10=3\times10=30\,\text{V}.$$

No ramo do gerador (fem $40\,\text{V}$, resistor $5\,\Omega$, corrente $i_2$): $U=\varepsilon_{\text{ger}}-5i_2\Rightarrow30=40-5i_2\Rightarrow i_2=2\,\text{A}$.

Pela lei dos nós, $i_1=i_2+i_3=2+3=5\,\text{A}$.

No ramo do receptor (força contra-eletromotriz $\varepsilon_r$, resistor $2\,\Omega$, corrente $i_1$): $U=\varepsilon_r+2i_1\Rightarrow30=\varepsilon_r+2\times5\Rightarrow\varepsilon_r=20\,\text{V}$.

Alternativa correta: D

No movimento circular de uma carga em campo magnético uniforme, a força magnética faz o papel de força centrípeta: $qvB=\dfrac{mv^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{mv}{qB}$.

O período é $T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi m}{qB}$ — não depende da velocidade e é inversamente proporcional a $B$.

Alternativa correta: B

No M.R.U., a velocidade é constante em módulo, direção e sentido — por definição, isso significa aceleração nula. As demais alternativas descrevem movimentos variados, não uniformes.

Alternativa correta: E

A velocidade do passageiro em relação à rua é a soma vetorial da velocidade do ônibus com a velocidade do passageiro em relação ao ônibus. Como o passageiro caminha no sentido oposto ao do ônibus, essas velocidades têm sentidos contrários:

$$v_{\text{passageiro/rua}}=v_1-v_2.$$

Como $v_1>v_2$, o resultado é positivo, ou seja, o passageiro ainda se desloca no mesmo sentido do ônibus, apenas mais devagar em relação à rua.

Alternativa correta: B

Como o carrinho desce livremente o plano inclinado (sem atrito, sem forças de resistência), o sistema pessoa+carrinho acelera com $a=g\,\text{sen}\,37^\circ$ ao longo do plano. A balança mede apenas a força normal entre a pessoa e o carrinho, na direção perpendicular ao plano, que equilibra a componente do peso perpendicular ao movimento:

$$N=mg\cos37^\circ=50\times10\times0,8=400\,\text{N}.$$

Alternativa correta: C

Como o movimento é uniforme, a velocidade é a inclinação da reta do gráfico posição x tempo. Lendo os pontos extremos indicados, $x=-4\,\text{m}$ em $t=0$ e $x=5\,\text{m}$ em $t=5\,\text{s}$:

$$v=\frac{5-(-4)}{5-0}=\frac{9}{5}=1,8\,\text{m/s}.$$

A quantidade de movimento é constante (velocidade constante):

$$p=mv=1,0\times10^3\times1,8=1,8\times10^3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}.$$

Alternativa correta: B

A energia potencial gravitacional é $E_p=mgy$, onde $y$ é a altura em relação ao solo. Na subida com desaceleração constante $-g$, $y(t)$ é uma parábola que cresce de 0 até $h$ em $t/2$; na descida, decresce simetricamente de $h$ a 0 em $t$. Logo $E_p(t)=mgy(t)$ tem exatamente esse formato: uma curva suave (parabólica) em arco, subindo de 0 a $mgh$ na metade do tempo e voltando a 0 no final — nunca em segmentos retos (o movimento não é uniforme).

Alternativa correta: D

Tesoura e alicate são alavancas compostas (cada lâmina/braço gira em torno de um ponto de apoio fixo, o pino central, multiplicando a força aplicada). Cadeira e gangorra não são ambas alavancas (cadeira não é); prego e parafuso são exemplos de cunha e plano inclinado (rosca), não alavancas; machado é uma cunha, não alavanca; mola e dinamômetro medem força, não são alavancas.

Alternativa correta: A

A relação linear entre as escalas é

$$\frac{X-0}{80-0}=\frac{C-(-30)}{130-(-30)}\Rightarrow\frac{X}{80}=\frac{C+30}{160}\Rightarrow X=\frac12(C+30).$$

Para $X=26$:

$$26=\frac12(C+30)\Rightarrow C+30=52\Rightarrow C=22\,{}^\circ\text{C}.$$

Alternativa correta: C

Para "restabelecer a temperatura inicial" de $20\,{}^\circ\text{C}$ em todo o conjunto, é preciso fornecer exatamente o calor que compense a introdução do gelo: primeiro fundir os $100\,\text{g}$ de gelo a $0\,{}^\circ\text{C}$,

$$Q_1=mL_f=100\times80=8000\,\text{cal},$$

e depois aquecer essa água resultante de $0\,{}^\circ\text{C}$ até $20\,{}^\circ\text{C}$:

$$Q_2=mc\Delta T=100\times1\times20=2000\,\text{cal}.$$

O total é $Q=Q_1+Q_2=8000+2000=10000\,\text{cal}$, independentemente da massa original de água no calorímetro.

Alternativa correta: D

Para que não surjam tensões mecânicas na interface dente-restauração em nenhuma condição de temperatura (seja com alimentos quentes ou frios), o material ideal deve se dilatar e se contrair exatamente na mesma proporção que o dente — ou seja, ter o mesmo coeficiente de dilatação volumétrica do dente, independentemente do hábito alimentar do paciente.

Alternativa correta: A

Nas CNTP, $T_1=273\,\text{K}$ e $P_1=1\times10^5\,\text{Pa}$ (pressão do gás igual à atmosférica, já que o vazamento ainda não ocorreu). O vazamento ocorre quando a pressão interna supera a soma da pressão atmosférica com a pressão extra devida ao peso do sólido:

$$\Delta P=\frac{mg}{A}=\frac{0,4\times10}{2\times10^{-4}}=2\times10^4\,\text{Pa}.$$

$$P_2=1\times10^5+2\times10^4=1,2\times10^5\,\text{Pa}.$$

Como o volume é constante (recipiente rígido), pela lei de Gay-Lussac:

$$\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}\Rightarrow T_2=T_1\cdot\frac{P_2}{P_1}=273\times1,2=327,6\,\text{K}=54,6\,{}^\circ\text{C}.$$

Alternativa correta: C

Reduzir a velocidade em $25\%$ significa $v_{\text{água}}=0,75\,v_{\text{ar}}=0,75\,c$. O índice de refração absoluto é

$$n_{\text{água}}=\frac{c}{v_{\text{água}}}=\frac{c}{0,75c}=\frac{1}{0,75}\approx1,3.$$

Alternativa correta: B

Dois capacitores iguais em paralelo equivalem a $2C$; esse conjunto está em série com o terceiro capacitor $C$, resultando em

$$C_{eq}=\frac{C\cdot2C}{C+2C}=\frac{2C}{3}.$$

A energia armazenada é $E=\dfrac{C_{eq}V^2}{2}$, com $V=100\,\text{V}$ e $E=0,1\,\text{J}$:

$$0,1=\frac{C_{eq}\times100^2}{2}\Rightarrow C_{eq}=\frac{0,2}{10000}=2\times10^{-5}\,\text{F}=20\,\mu\text{F}.$$

Como $C_{eq}=\dfrac{2C}{3}$,

$$C=\frac{3\times20}{2}=30\,\mu\text{F}.$$

Alternativa correta: E

Cada uma das 6 partes iguais do fio tem resistência $r=R/6$. Na configuração descrita (dois trechos retos nas extremidades, em série com dois pares de fios em paralelo formando os "olhos"), a resistência total é

$$R_{eq}=\underbrace{\frac{R}{6}}_{\text{trecho reto}}+\underbrace{\frac{R/6}{2}}_{\text{1º par paralelo}}+\underbrace{\frac{R/6}{2}}_{\text{2º par paralelo}}+\underbrace{\frac{R}{6}}_{\text{trecho reto}}=\frac{R}{6}+\frac{R}{12}+\frac{R}{12}+\frac{R}{6}=\frac{R}{2}.$$

Alternativa correta: E

Como o gerador é ideal (sem resistência interna) e a fem é $20\,\text{V}$, a queda de tensão no resistor R é a diferença entre a fem e a d.d.p. entre X e Y:

$$V_R=\varepsilon-V_{XY}=20-12=8\,\text{V}.$$

Com a corrente de $2\,\text{A}$ passando por R,

$$R=\frac{V_R}{i}=\frac{8}{2}=4\,\Omega.$$

Alternativa correta: D

O campo magnético no centro de uma espira aponta ao longo do eixo da espira (perpendicular ao plano da própria espira), não no plano da espira. Como a espira é vertical e "perfura ortogonalmente" a superfície horizontal, seu eixo é horizontal e está contido no plano horizontal da superfície.

O segmento CD é o diâmetro da espira contido no plano horizontal — ele está no plano da própria espira, não é o eixo. Já $\overline{AB}$, perpendicular a $\overline{CD}$ e também contido no plano horizontal, é exatamente a direção do eixo da espira nesse plano. Uma agulha imantada livre se alinha à direção do campo magnético, ou seja, a $\overline{AB}$.

Alternativa correta: A