PUC-SP 2020.1 | Verão

Resolução

Consultando o gráfico dado no instante $t_1 = 1{,}5\text{ h}$ temos a temperatura $\theta_1 = 105^\circ\text{C}$.

No instante $t_2 = 5{,}5\text{ h}$, a temperatura é $\theta_2 = 65^\circ\text{C}$.

A variação de temperatura na escala Celsius é:

$\Delta\theta_C = 105^\circ\text{C} - 65^\circ\text{C} = 40^\circ\text{C}$

Relacionando as variações entre as escalas Celsius e Fahrenheit:

$\dfrac{\Delta\theta_C}{5} = \dfrac{\Delta\theta_F}{9}$

$\dfrac{40}{5} = \dfrac{\Delta\theta_F}{9}$

$8 = \dfrac{\Delta\theta_F}{9} \Rightarrow \Delta\theta_F = 72^\circ\text{F}$

Alternativa C.

Resolução

1) A ddp entre os pontos J e a ($V_J - V_a$) é nula, ou seja, $V_J - V_a = 0$, pois o segmento $ab$ e, portanto, o segmento $Ja$ está sobre uma superfície equipotencial (é perpendicular às linhas de força do campo elétrico uniforme).

2) A ddp entre os pontos M e d ($V_M - V_d$) também é nula pelo mesmo motivo: o segmento $dc$ é perpendicular às linhas de campo, portanto forma uma superfície equipotencial.

Portanto, $V_J - V_a = V_M - V_d = 0$. As duas diferenças de potencial são nulas.

Alternativa D.

Resolução

O diâmetro do brinquedo é $D = 1{,}6\text{ m}$, logo o raio é $R = 0{,}8\text{ m}$.

A velocidade escalar (tangencial) da fonte sonora (diapasão) na extremidade é dada por:

$V_F = \omega \cdot R = 15 \cdot 0{,}8 = 12\text{ m/s}$

O observador perceberá a maior frequência quando a fonte estiver se aproximando dele com essa velocidade ($V_{aprox} = 12\text{ m/s}$) e a menor frequência quando estiver se afastando ($V_{afast} = 12\text{ m/s}$).

Pela fórmula do Efeito Doppler ($f_o = f_F \cdot \dfrac{V \pm V_o}{V \mp V_F}$), considerando $V_o = 0$:

Para a maior frequência (aproximação):

$f_{max} = 440 \cdot \dfrac{340}{340 - 12} = 440 \cdot \dfrac{340}{328} \approx 456\text{ Hz}$

Para a menor frequência (afastamento):

$f_{min} = 440 \cdot \dfrac{340}{340 + 12} = 440 \cdot \dfrac{340}{352} = 425\text{ Hz}$

A diferença entre a maior e a menor frequência percebida será:

$\Delta f = f_{max} - f_{min} = 456 - 425 = 31\text{ Hz}$

O valor mais próximo dentre as alternativas é 30 Hz.

Alternativa A.

Resolução

Em equilíbrio estático, a força elástica se iguala à força peso: $k \cdot x = m \cdot g$.

Na Terra: $k \cdot 2 = m \cdot g_T$

No planeta P: $k \cdot 8 = m \cdot g_P$

Dividindo as equações: $\dfrac{g_P}{g_T} = \dfrac{8}{2} = 4 \Rightarrow g_P = 4 g_T$

Sabemos que a gravidade na superfície de um planeta é $g = \dfrac{G \cdot M}{R^2}$. Considerando a densidade volumétrica $\mu = \dfrac{M}{V} = \dfrac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \Rightarrow M = \dfrac{4}{3} \pi R^3 \cdot \mu$.

Substituindo na fórmula da gravidade: $g = \dfrac{G \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \mu}{R^2} = \dfrac{4}{3} \pi \cdot G \cdot \mu \cdot R$.

Portanto, a gravidade é proporcional a $\mu \cdot R$. Se $g_P = 4 g_T$, temos:

$\dfrac{4}{3} \pi \cdot G \cdot \mu_P \cdot R_P = 4 \cdot \left(\dfrac{4}{3} \pi \cdot G \cdot \mu_T \cdot R_T\right)$

$\mu_P \cdot R_P = 4 \cdot \mu_T \cdot R_T$

Como $\mu_P = 4 \mu_T$, a equação se torna: $4 \mu_T \cdot R_P = 4 \mu_T \cdot R_T \Rightarrow R_P = R_T$.

Se $R_P = R_T$, os dois planetas têm o mesmo volume: $V_P = V_T$.

Verificando as alternativas propostas, se $R_P = R_T$, então $\dfrac{R_T}{R_P} = 1$ e $\dfrac{R_P}{R_T} = 1$.

Logo, tanto a alternativa A ($V_P = V_T \cdot 1^2$) quanto a alternativa D ($V_P = V_T \cdot 1^2$) forneceriam $V_P = V_T$.

Por haver duas alternativas corretas para o problema formatado assim, a questão foi adequadamente anulada.

Resolução

No trecho com campo elétrico, o trabalho da força elétrica fornece a energia cinética adquirida pela partícula (Teorema da Energia Cinética):

$\tau = \Delta E_{cin} \Rightarrow q \cdot U = \dfrac{m \cdot v^2}{2} - 0 \Rightarrow v^2 = \dfrac{2 \cdot q \cdot U}{m} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot q \cdot U}{m}}$

No trecho com campo magnético, a força magnética atua como força centrípeta, mantendo a partícula em movimento circular:

$F_{mag} = F_{cp} \Rightarrow q \cdot v \cdot B = \dfrac{m \cdot v^2}{r} \Rightarrow B = \dfrac{m \cdot v}{q \cdot r}$

Substituindo o valor de $v$ encontrado:

$B = \dfrac{m}{q \cdot r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot q \cdot U}{m}}$

Colocando $m$ e $q$ para dentro da raiz, eles entram elevados ao quadrado:

$B = \dfrac{1}{r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot q \cdot U \cdot m^2}{m \cdot q^2}} = \dfrac{1}{r} \cdot \sqrt{\dfrac{2 \cdot U \cdot m}{q}}$

Reescrevendo a expressão utilizando notação de expoentes negativos e fracionários:

$B = r^{-1} \cdot (2 \cdot U \cdot m \cdot q^{-1})^{\frac{1}{2}}$

Alternativa C.

Resolução

1) Cálculo da resistência interna ($r$) da pilha pela corrente de curto-circuito:

$I_{cc} = \dfrac{E}{r} \Rightarrow r = \dfrac{E}{I_{cc}} = \dfrac{1{,}5}{15} = 0{,}10 \, \Omega$

2) Cálculo das resistências elétricas de cada fio de ligação ($R_F$). A área transversal do fio é $A = \dfrac{\pi \cdot d^2}{4}$. Com $d = 1{,}0\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m}$:

$A = \dfrac{3 \cdot (10^{-3})^2}{4} = 0{,}75 \times 10^{-6}\text{ m}^2$

Pela segunda lei de Ohm: $R_F = \rho \dfrac{L}{A}$

$R_F = 2{,}0 \times 10^{-8} \cdot \dfrac{1{,}5}{0{,}75 \times 10^{-6}} = 4{,}0 \times 10^{-2} \, \Omega = 0{,}04 \, \Omega$

3) Cálculo da resistência da lâmpada ($R_L$):

$P_{nom} = \dfrac{U_{nom}^2}{R_L} \Rightarrow R_L = \dfrac{1{,}0^2}{2{,}0} = 0{,}50 \, \Omega$

4) O circuito possui a f.e.m. $E = 1{,}5\text{ V}$ em série com as resistências $r$, duas vezes $R_F$ (dois fios de 1,5m), e $R_L$. Aplicando a Lei de Pouillet:

$i = \dfrac{E}{r + 2 \cdot R_F + R_L} = \dfrac{1{,}50}{0{,}10 + 2 \cdot 0{,}04 + 0{,}50} = \dfrac{1{,}50}{0{,}68} \approx 2{,}206\text{ A}$

5) A potência real dissipada na lâmpada será:

$P_{real} = R_L \cdot i^2 = 0{,}50 \cdot (2{,}206)^2 = 0{,}50 \cdot 4{,}866 \approx 2{,}43\text{ W}$

O valor aproximado mais próximo é 2,4 W.

Alternativa A.

Resolução

1) O sistema (homem + arma + projétil) está isolado horizontalmente. Pelo Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento ($Q_{inicial} = Q_{final}$):

$0 = \vec{Q}_{E+A} + \vec{Q}_{proj} \Rightarrow |m_{E+A} \cdot v_{E+A}| = |m_{proj} \cdot v_{proj}|$

A massa do conjunto esquiador + arma é $77{,}0 + 3{,}0 = 80{,}0\text{ kg}$. A massa do projétil é $50\text{ g} = 0{,}05\text{ kg}$.

$80{,}0 \cdot 0{,}5 = 0{,}05 \cdot v_{proj} \Rightarrow 40 = 0{,}05 \cdot v_{proj} \Rightarrow v_{proj} = 800\text{ m/s}$

2) Pelo Teorema da Energia Cinética, o trabalho mecânico ($\tau$) útil realizado pelo disparo é a energia cinética total adquirida pelas massas (conjunto + projétil):

$\tau = \Delta E_{cin} = \dfrac{m_{E+A} \cdot v_{E+A}^2}{2} + \dfrac{m_{proj} \cdot v_{proj}^2}{2}$

$\tau = \dfrac{80{,}0 \cdot (0{,}5)^2}{2} + \dfrac{0{,}05 \cdot (800)^2}{2} = 10{,}0 + 16\,000 = 16\,010\text{ J}$

3) O rendimento ($\eta$) é a razão entre o trabalho mecânico e a energia térmica fornecida ($Q = 160{,}0\text{ kJ} = 160\,000\text{ J}$):

$\eta = \dfrac{\tau}{Q} = \dfrac{16\,010}{160\,000} \approx 0{,}1000 = 10{,}0\%$

Alternativa C.

Resolução

1) O espelho conjuga imagens reais (invertidas), logo, é um espelho côncavo. Sua distância focal é $f = \frac{R}{2} = \frac{100}{2} = 50\text{ cm} = 0{,}5\text{ m}$.

A posição inicial do objeto ($t=0$) é no centro de curvatura (C). A distância do centro até o vértice é o raio, então $s_0 = R = 100\text{ cm} = 1{,}0\text{ m}$.

2) No instante $t = 2{,}5\text{ s}$, a imagem é invertida e ampliada 2 vezes. Isso indica um aumento linear transversal $A = -2$. Usando a equação do aumento:

$A = \dfrac{f}{f - s_1} \Rightarrow -2 = \dfrac{0{,}5}{0{,}5 - s_1}$

$-2(0{,}5 - s_1) = 0{,}5 \Rightarrow -1{,}0 + 2 \cdot s_1 = 0{,}5 \Rightarrow 2 \cdot s_1 = 1{,}5 \Rightarrow s_1 = 0{,}75\text{ m}$

3) Como o carrinho está em movimento uniforme, a equação horária da posição é $S = S_0 + V \cdot t$. Para encontrar $V$:

$S_1 = S_0 + V \cdot t \Rightarrow 0{,}75 = 1{,}0 + V \cdot 2{,}5$

$V \cdot 2{,}5 = -0{,}25 \Rightarrow V = -0{,}1\text{ m/s}$

A função horária fica, então, $S = 1{,}0 - 0{,}1 \cdot t$ (no SI).

Alternativa B.

Resolução

1) O módulo do trabalho da força de resistência do ar ($|\tau_{ar}|$) corresponde à área sob o gráfico Força $\times$ Altura (deslocamento vertical). A área é um trapézio de bases $50$ (base maior) e $h$ (base menor), com altura igual a $20$:

$|\tau_{ar}| = \text{Área} = \dfrac{(50 + h) \cdot 20}{2} = (50 + h) \cdot 10$

Como a força resistiva é contrária ao movimento, o trabalho é resistente: $\tau_{ar} = -10 \cdot (50 + h)\text{ J}$.

2) O trabalho da força peso no deslocamento total de $50\text{ m}$ é motor (a favor do deslocamento):

$\tau_P = m \cdot g \cdot \Delta h_{total} = 2 \cdot 10 \cdot 50 = 1\,000\text{ J}$

3) Pelo Teorema da Energia Cinética, o trabalho total é igual à variação da energia cinética. O objeto partiu do repouso ($v_0 = 0$) e atingiu $v = 15\text{ m/s}$:

$\tau_{total} = \tau_P + \tau_{ar} = \Delta E_{cin} \Rightarrow 1\,000 - 10 \cdot (50 + h) = \dfrac{m \cdot v^2}{2} - 0$

$1\,000 - 500 - 10h = \dfrac{2 \cdot 15^2}{2}$

$500 - 10h = 225 \Rightarrow 10h = 500 - 225 \Rightarrow 10h = 275 \Rightarrow h = 27{,}5\text{ m}$

Alternativa B.