Provas Anteriores | UNICAMP 2003 1ª Fase

Q07

Movimento Circular — Aceleração Centrípeta e Velocidade da Luz

A descoberta das luas de Júpiter por Galileu Galilei em 1610 representa um marco importante na mudança da concepção do sistema solar. Observações posteriores dessas luas permitiram as primeiras medidas da velocidade da luz, um dos alicerces da Física Moderna. O esquema abaixo representa as órbitas da Terra, Júpiter e Ganimedes (uma das luas de Júpiter). Considere as órbitas circulares, $\pi=3$ e $1\text{ dia}=90.000\text{ s}$.

Esquema das órbitas da Terra, Júpiter e Ganimedes

A) A distância de Ganimedes a Júpiter é de $R_G=10^6\text{ km}$ e o período da órbita de Ganimedes em torno de Júpiter é de 7 dias. Calcule a aceleração centrípeta de Ganimedes em $\text{m/s}^2$.

B) No Séc. XVII era possível prever os instantes exatos em que, para um observador na Terra, Ganimedes ficaria oculta por Júpiter. Esse fenômeno atrasa $1000\text{ s}$ quando a Terra está na situação de máximo afastamento de Júpiter. Esse atraso é devido ao tempo extra despendido para que a luz refletida por Ganimedes cubra a distância equivalente ao diâmetro da órbita da Terra em torno do Sol. Calcule a velocidade da luz, em km/s, sabendo que a distância da Terra ao Sol é de $1{,}5\times10^8\text{ km}$.

Resposta — UNICAMP 2003 — 1ª Fase (Q07)

a) $9{,}1\times10^{-2}\text{ m/s}^2$; b) $3{,}0\times10^5\text{ km/s}$.

Resolução

A) O período orbital é:

$T=7\cdot90.000=630.000\text{ s}=6{,}3\times10^5\text{ s}$.

O raio da órbita de Ganimedes é:

$R_G=10^6\text{ km}=10^9\text{ m}$.

Para um movimento circular uniforme:

$a_c=\omega^2R_G=\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2R_G=\dfrac{4\pi^2R_G}{T^2}$.

Usando $\pi=3$:

$a_c=\dfrac{4\cdot9\cdot10^9}{(6{,}3\times10^5)^2}\approx9{,}1\times10^{-2}\text{ m/s}^2$.

B) No máximo afastamento, a luz percorre uma distância extra igual ao diâmetro da órbita terrestre:

$\Delta s=2\cdot1{,}5\times10^8=3{,}0\times10^8\text{ km}$.

Como o atraso é $\Delta t=1000\text{ s}$:

$c=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{3{,}0\times10^8}{1000}=3{,}0\times10^5\text{ km/s}$.

Q08

Eletrodinâmica — Resistividade, Resistência e Potência

A invenção da lâmpada incandescente no final do Séc. XIX representou uma evolução significativa na qualidade de vida das pessoas. As lâmpadas incandescentes atuais consistem de um filamento muito fino de tungstênio dentro de um bulbo de vidro preenchido por um gás nobre. O filamento é aquecido pela passagem de corrente elétrica, e o gráfico abaixo apresenta a resistividade do filamento como função de sua temperatura. A relação entre a resistência e a resistividade é dada por $R=\rho L/A$, onde $R$ é a resistência do filamento, $L$ seu comprimento, $A$ a área de sua seção reta e $\rho$ sua resistividade.

Gráfico da resistividade do filamento em função da temperatura

A) Caso o filamento seja aquecido desde a temperatura ambiente até $2000^{\circ}\text{C}$, sua resistência aumentará ou diminuirá? Qual a razão, $R_{2000}/R_{20}$, entre as resistências do filamento a $2000^{\circ}\text{C}$ e a $20^{\circ}\text{C}$? Despreze efeitos de dilatação térmica.

B) Qual a resistência que uma lâmpada acesa (potência efetiva de $60\text{ W}$) apresenta quando alimentada por uma tensão efetiva de $120\text{V}$?

C) Qual a temperatura do filamento no item anterior, se o mesmo apresenta um comprimento de $50\text{ cm}$ e um diâmetro de $0{,}05\text{ mm}$? Use a aproximação $\pi=3$.

Resposta — UNICAMP 2003 — 1ª Fase (Q08)

a) Aumentará; $R_{2000}/R_{20}\approx12$; b) $240\Omega$; c) aproximadamente $2750^{\circ}\text{C}$.

Resolução

A) Desprezando a dilatação, $L$ e $A$ permanecem constantes. Portanto, de $R=\rho L/A$, a resistência é diretamente proporcional à resistividade. Como o gráfico mostra que $\rho$ cresce com a temperatura, a resistência aumenta.

Do gráfico, para $2000^{\circ}\text{C}$:

$\rho_{2000}\approx65\times10^{-8}\Omega\text{m}$.

Para estimar $\rho_{20}$, usamos o trecho inicial do gráfico: $\rho_0\approx5\times10^{-8}\Omega\text{m}$ e $\rho_{200}\approx10\times10^{-8}\Omega\text{m}$. Admitindo comportamento linear nesse intervalo:

$\rho_{20}\approx5{,}5\times10^{-8}\Omega\text{m}$.

Assim:

$\dfrac{R_{2000}}{R_{20}}=\dfrac{\rho_{2000}}{\rho_{20}}\approx\dfrac{65}{5{,}5}\approx11{,}8\approx12$.

B) Para uma carga resistiva:

$P=\dfrac{U^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{U^2}{P}$.

$R=\dfrac{120^2}{60}=240\Omega$.

C) O raio do filamento é:

$r=0{,}025\text{ mm}=2{,}5\times10^{-5}\text{ m}$.

Com $\pi=3$:

$A=\pi r^2=3(2{,}5\times10^{-5})^2=1{,}875\times10^{-9}\text{ m}^2$.

Como $L=50\text{ cm}=0{,}50\text{ m}$:

$\rho=\dfrac{RA}{L}=\dfrac{240\cdot1{,}875\times10^{-9}}{0{,}50}=9{,}0\times10^{-7}\Omega\text{m}=90\times10^{-8}\Omega\text{m}$.

Pelo gráfico, a resistividade $90\times10^{-8}\Omega\text{m}$ corresponde a uma temperatura de aproximadamente $2750^{\circ}\text{C}$.