Provas Anteriores | UNICAMP 2005 2ª Fase

Q01

Cinemática — Lançamento Oblíquo e Gráfico da Posição

O famoso salto duplo twist carpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto.

De acordo com o gráfico ao lado, determine:

Gráfico do deslocamento vertical do centro de gravidade de Daiane em função do tempo

a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane.

b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3 m.

c) A velocidade vertical de saída do solo.

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q01)

a) $1{,}5\text{ m}$. b) $1{,}2\text{ m/s}$. c) $5{,}5\text{ m/s}$.

Resolução

a) Pela leitura do gráfico, a altura máxima do centro de gravidade é aproximadamente:

$h_{\max}\approx1{,}5\text{ m}$.

b) O salto dura aproximadamente $1{,}1\text{ s}$. Logo:

$v_m=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{1{,}3}{1{,}1}\approx1{,}2\text{ m/s}$.

c) No ponto mais alto, a velocidade vertical é nula. Usando $v_y^2=v_{0y}^2-2gh$:

$0=v_{0y}^2-2\cdot10\cdot1{,}5$.

$v_{0y}=\sqrt{30}\approx5{,}5\text{ m/s}$.

Q02

Quantidade de Movimento — Colisão Inelástica Bidimensional

No episódio II do filme Guerra nas Estrelas, um personagem mergulha em queda livre, caindo em uma nave que se deslocava horizontalmente a 100 m/s com os motores desligados. O personagem resgatado chegou à nave com uma velocidade de 6 m/s na vertical. Considere que a massa da nave é de 650 kg, a do personagem resgatado de 80 kg e a do piloto de 70 kg.

a) Quais as componentes horizontal e vertical da velocidade da nave imediatamente após o resgate?

b) Qual foi a variação da energia cinética total nesse resgate?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q02)

a) $v_x=90\text{ m/s}$ e $v_y=0{,}6\text{ m/s}$ para baixo. b) $\Delta E_c\approx-3{,}6\times10^5\text{ J}$.

Resolução

A massa da nave com o piloto antes do resgate é $650+70=720\text{ kg}$. Após o resgate, a massa total é $800\text{ kg}$.

a) Conservando a quantidade de movimento em cada direção:

$720\cdot100=800v_x\Rightarrow v_x=90\text{ m/s}$.

$80\cdot6=800v_y\Rightarrow v_y=0{,}6\text{ m/s}$, no sentido vertical da queda.

b) Antes do resgate:

$E_{ci}=\dfrac12\cdot720\cdot100^2+\dfrac12\cdot80\cdot6^2\approx3{,}60\times10^6\text{ J}$.

Depois do resgate:

$E_{cf}=\dfrac12\cdot800(90^2+0{,}6^2)\approx3{,}24\times10^6\text{ J}$.

Assim:

$\Delta E_c=E_{cf}-E_{ci}\approx-3{,}6\times10^5\text{ J}$.

Q03

Estática — Alavancas, Pressão e Torque

Uma das aplicações mais comuns e bem sucedidas de alavancas são os alicates. Esse instrumento permite amplificar a força aplicada ($F_a$), seja para cortar ($F_c$), ou para segurar materiais pela ponta do alicate ($F_p$).

Esquema de um alicate com forças e braços de alavanca

a) Um arame de aço tem uma resistência ao corte de $1{,}3\times10^9\text{ N/m}^2$, ou seja, essa é a pressão mínima que deve ser exercida por uma lâmina para cortá-lo. Se a área de contato entre o arame e a lâmina de corte do alicate for de $0{,}1\text{ mm}^2$, qual a força $F_c$ necessária para iniciar o corte?

b) Se esse arame estivesse na região de corte do alicate a uma distância $d_c=2\text{ cm}$ do eixo de rotação do alicate, que força $F_a$ deveria ser aplicada para que o arame fosse cortado? ($d_a=10\text{ cm}$)

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q03)

a) $F_c=130\text{ N}$. b) $F_a=26\text{ N}$.

Resolução

a) A área vale $0{,}1\text{ mm}^2=1{,}0\times10^{-7}\text{ m}^2$. Como $p=F/A$:

$F_c=pA=(1{,}3\times10^9)(1{,}0\times10^{-7})=130\text{ N}$.

b) No equilíbrio dos momentos em torno do eixo:

$F_cd_c=F_ad_a$.

$130\cdot2=F_a\cdot10\Rightarrow F_a=26\text{ N}$.

Q04

Energia Mecânica — Energia Potencial Elástica

Num conjunto arco e flecha, a energia potencial elástica é transformada em energia cinética da flecha durante o lançamento. A força da corda sobre a flecha é proporcional ao deslocamento $x$, como ilustrado na figura.

Arco e flecha com deslocamento x da corda

a) Quando a corda é solta, o deslocamento é $x=0{,}6\text{ m}$ e a força é de $300\text{ N}$. Qual a energia potencial elástica nesse instante?

b) Qual será a velocidade da flecha ao abandonar a corda? A massa da flecha é de $50\text{ g}$. Despreze a resistência do ar e a massa da corda.

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q04)

a) $90\text{ J}$. b) $60\text{ m/s}$.

Resolução

a) Como a força é proporcional ao deslocamento, $F=kx$. Logo:

$k=\dfrac{300}{0{,}6}=500\text{ N/m}$.

A energia potencial elástica é:

$E_{pe}=\dfrac12kx^2=\dfrac12\cdot500\cdot0{,}6^2=90\text{ J}$.

b) Desprezando as perdas:

$E_{pe}=E_c$.

$90=\dfrac12\cdot0{,}050\cdot v^2$.

$v=60\text{ m/s}$.

Q05

Cinemática — Movimento Circular e Transmissão por Engrenagens

Em 1885, Michaux lançou o biciclo com uma roda dianteira diretamente acionada por pedais (Fig. A). Através do emprego da roda dentada, que já tinha sido concebida por Leonardo da Vinci, obteve-se melhor aproveitamento da força nos pedais (Fig. B). Considere que um ciclista consiga pedalar 40 voltas por minuto em ambas as bicicletas.

Biciclo de Michaux e bicicleta com transmissão por corrente

a) Qual a velocidade de translação do biciclo de Michaux para um diâmetro da roda de 1,20 m?

b) Qual a velocidade de translação para a bicicleta padrão aro 60 (Fig. B)?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q05)

a) $2{,}4\text{ m/s}$. b) $3{,}0\text{ m/s}$.

Resolução

a) No biciclo, uma volta do pedal corresponde a uma volta da roda. Com $D=1{,}20\text{ m}$, $R=0{,}60\text{ m}$ e $f=40/60=2/3\text{ Hz}$:

$v=2\pi Rf=2\cdot3\cdot0{,}60\cdot\dfrac23=2{,}4\text{ m/s}$.

b) Na Fig. B, a coroa tem diâmetro $25\text{ cm}$ e a catraca, $10\text{ cm}$. A velocidade linear da corrente é a mesma nos dois discos:

$f_{cat}\cdot10=f_{cor}\cdot25$.

$f_{cat}=\dfrac{25}{10}\cdot\dfrac23=\dfrac53\text{ Hz}$.

A roda tem raio $30\text{ cm}=0{,}30\text{ m}$:

$v=2\pi Rf=2\cdot3\cdot0{,}30\cdot\dfrac53=3{,}0\text{ m/s}$.

Q06

Movimento Harmônico Simples — Sistema Massa-Mola

Numa antena de rádio, cargas elétricas oscilam sob a ação de ondas eletromagnéticas em uma dada freqüência. Imagine que essas oscilações tivessem sua origem em forças mecânicas e não elétricas: cargas elétricas fixas em uma massa presa a uma mola. A amplitude do deslocamento dessa “antena-mola” seria de 1 mm e a massa de 1 g para um rádio portátil. Considere um sinal de rádio AM de 1000 kHz.

a) Qual seria a constante de mola dessa “antena-mola”? A freqüência de oscilação é dada por:

$$f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$$

onde $k$ é a constante da mola e $m$ a massa presa à mola.

b) Qual seria a força mecânica necessária para deslocar essa mola de 1 mm?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q06)

a) $3{,}6\times10^{10}\text{ N/m}$. b) $3{,}6\times10^7\text{ N}$.

Resolução

a) $f=1000\text{ kHz}=1{,}0\times10^6\text{ Hz}$ e $m=1\text{ g}=1{,}0\times10^{-3}\text{ kg}$.

Da expressão fornecida:

$k=m(2\pi f)^2$.

$k=10^{-3}(2\cdot3\cdot10^6)^2=3{,}6\times10^{10}\text{ N/m}$.

b) Pela lei de Hooke, com $x=1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$:

$F=kx=(3{,}6\times10^{10})(10^{-3})=3{,}6\times10^7\text{ N}$.

Q07

Fluidos — Volume, Densidade e Estimativas

Durante uma tempestade de 20 minutos, 10 mm de chuva caíram sobre uma região cuja área total é $100\text{ km}^2$.

a) Sendo que a densidade da água é de $1{,}0\text{ g/cm}^3$, qual a massa de água que caiu?

b) A partir de uma estimativa do volume de uma gota de chuva, calcule o número médio de gotas que caem em $1\text{ m}^2$ durante 1 s.

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q07)

a) $1{,}0\times10^9\text{ kg}$. b) Aproximadamente $250\text{ gotas}/(\text{m}^2\text{s})$, estimando $r\approx2\text{ mm}$ para cada gota.

Resolução

a) $100\text{ km}^2=10^8\text{ m}^2$ e $10\text{ mm}=10^{-2}\text{ m}$. Logo:

$V=Ah=10^8\cdot10^{-2}=10^6\text{ m}^3$.

Como $\rho=1000\text{ kg/m}^3$:

$m=\rho V=10^3\cdot10^6=1{,}0\times10^9\text{ kg}$.

b) Adotando, como estimativa, gotas esféricas de raio $r=2\text{ mm}=2\times10^{-3}\text{ m}$:

$V_g=\dfrac43\pi r^3=\dfrac43\cdot3(2\times10^{-3})^3=3{,}2\times10^{-8}\text{ m}^3$.

A massa de uma gota é $m_g=\rho V_g=1000\cdot3{,}2\times10^{-8}=3{,}2\times10^{-5}\text{ kg}$.

O número total de gotas é aproximadamente $N_T=10^9/(3{,}2\times10^{-5})\approx3\times10^{13}$.

Distribuindo por $10^8\text{ m}^2$ e por $20\text{ min}=1200\text{ s}$:

$N\approx\dfrac{3\times10^{13}}{10^8\cdot1200}\approx250\text{ gotas}/(\text{m}^2\text{s})$.

Q08

Termodinâmica — Gás Ideal e Calor Sensível

Uma sala tem 6 m de largura, 10 m de comprimento e 4 m de altura. Deseja-se refrigerar o ar dentro da sala. Considere o calor específico do ar como sendo $30\text{ J/(mol K)}$ e use $R=8\text{ J/(mol K)}$.

a) Considerando o ar dentro da sala como um gás ideal à pressão ambiente ($P=10^5\text{ N/m}^2$), quantos moles de gás existem dentro da sala a $27^\circ\text{C}$?

b) Qual é a quantidade de calor que o refrigerador deve retirar da massa de ar do item (a) para resfriá-la até $17^\circ\text{C}$?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q08)

a) $1{,}0\times10^4\text{ mol}$. b) $3{,}0\times10^6\text{ J}$.

Resolução

a) O volume da sala é:

$V=6\cdot10\cdot4=240\text{ m}^3$.

Com $T=27^\circ\text{C}=300\text{ K}$ e $PV=nRT$:

$n=\dfrac{10^5\cdot240}{8\cdot300}=1{,}0\times10^4\text{ mol}$.

b) A redução de temperatura é $\Delta T=10\text{ K}$:

$Q=nc\Delta T=(10^4)(30)(10)=3{,}0\times10^6\text{ J}$.

Q09

Óptica — Lentes Esféricas e Telescópio

Um dos telescópios usados por Galileu por volta do ano de 1610 era composto de duas lentes convergentes, uma objetiva (lente 1) e uma ocular (lente 2) de distâncias focais iguais a 133 cm e 9,5 cm, respectivamente. Na observação de objetos celestes, a imagem ($I_1$) formada pela objetiva situa-se praticamente no seu plano focal. Na figura (fora de escala), o raio R é proveniente da borda do disco lunar e o eixo óptico passa pelo centro da Lua.

Esquema óptico do telescópio de Galileu com lente objetiva e ocular

a) A Lua tem 1.750 km de raio e fica a aproximadamente 384.000 km da Terra. Qual é o raio da imagem da Lua ($I_1$) formada pela objetiva do telescópio de Galileu?

b) Uma segunda imagem ($I_2$) é formada pela ocular a partir daquela formada pela objetiva (a imagem da objetiva ($I_1$) torna-se objeto ($O_2$) para a ocular). Essa segunda imagem é virtual e situa-se a 20 cm da lente ocular. A que distância a ocular deve ficar da objetiva do telescópio para que isso ocorra?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q09)

a) $0{,}61\text{ cm}$. b) $139{,}4\text{ cm}$.

Resolução

a) Para a objetiva, a Lua está praticamente no infinito, de modo que a imagem se forma no foco, a $f_1=133\text{ cm}$. Pela semelhança de triângulos:

$\dfrac{R_{I_1}}{133}=\dfrac{1750}{384000}$.

$R_{I_1}\approx0{,}61\text{ cm}$.

b) Para a ocular, $f_2=9{,}5\text{ cm}$ e a imagem final é virtual, logo $p'_2=-20\text{ cm}$. Pela equação das lentes:

$\dfrac1{9{,}5}=\dfrac1{p_2}+\dfrac1{-20}$.

$\dfrac1{p_2}=\dfrac1{9{,}5}+\dfrac1{20}\Rightarrow p_2\approx6{,}4\text{ cm}$.

A separação entre as lentes é:

$d=f_1+p_2=133+6{,}4=139{,}4\text{ cm}$.

Q10

Física Moderna — Efeito Fotoelétrico

O efeito fotoelétrico, cuja descrição por Albert Einstein está completando 100 anos em 2005 (ano internacional da Física), consiste na emissão de elétrons por um metal no qual incide um feixe de luz. No processo, “pacotes” bem definidos de energia luminosa, chamados fótons, são absorvidos um a um pelos elétrons do metal. O valor da energia de cada fóton é dado por $E_{fóton}=hf$, onde $h=4\times10^{-15}\text{ eV.s}$ é a chamada constante de Planck e $f$ é a freqüência da luz incidente. Um elétron só é emitido do interior do metal se a energia do fóton absorvido for maior que uma energia mínima. Para os elétrons mais fracamente ligados ao metal, essa energia mínima é chamada função trabalho W e varia de metal para metal (ver a tabela a seguir). Considere $c=300.000\text{ km/s}$.

a) Calcule a energia do fóton (em eV), quando o comprimento de onda da luz incidente for $5\times10^{-7}\text{ m}$.

b) A luz de $5\times10^{-7}\text{ m}$ é capaz de arrancar elétrons de quais dos metais apresentados na tabela?

c) Qual será a energia cinética de elétrons emitidos pelo potássio, se o comprimento de onda da luz incidente for $3\times10^{-7}\text{ m}$? Considere os elétrons mais fracamente ligados do potássio e que a diferença entre a energia do fóton absorvido e a função trabalho W é inteiramente convertida em energia cinética.

metal	W (eV)
césio	2,1
potássio	2,3
sódio	2,8

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q10)

a) $2{,}4\text{ eV}$. b) Césio e potássio. c) $1{,}7\text{ eV}$.

Resolução

a) $f=c/\lambda=(3\times10^8)/(5\times10^{-7})=6\times10^{14}\text{ Hz}$.

$E=hf=(4\times10^{-15})(6\times10^{14})=2{,}4\text{ eV}$.

b) O fóton pode arrancar elétrons dos metais cuja função trabalho seja menor que $2{,}4\text{ eV}$: césio ($2{,}1\text{ eV}$) e potássio ($2{,}3\text{ eV}$).

c) Para $\lambda=3\times10^{-7}\text{ m}$:

$f=10^{15}\text{ Hz}$ e $E_f=4{,}0\text{ eV}$.

$E_c=E_f-W=4{,}0-2{,}3=1{,}7\text{ eV}$.

Q11

Eletromagnetismo — Indução de Faraday e Resistência Elétrica

O princípio de funcionamento dos detectores de metais utilizados em verificações de segurança é baseado na lei de indução de Faraday. A força eletromotriz induzida por um fluxo de campo magnético variável através de uma espira gera uma corrente. Se um pedaço de metal for colocado nas proximidades da espira, o valor do campo magnético será alterado, modificando a corrente na espira. Essa variação pode ser detectada e usada para reconhecer a presença de um corpo metálico nas suas vizinhanças.

Gráfico do campo magnético B em função do tempo

a) Considere que o campo magnético B atravessa perpendicularmente a espira e varia no tempo segundo a figura. Se a espira tem raio de 2 cm, qual é a força eletromotriz induzida?

b) A espira é feita de um fio de cobre de 1 mm de raio e a resistividade do cobre é $\rho=2\times10^{-8}\text{ ohm-metro}$. A resistência de um fio é dada por $R=\rho\dfrac{L}{A}$, onde L é o seu comprimento e A é a área da sua seção reta. Qual é a corrente na espira?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q11)

a) $1{,}2\times10^{-5}\text{ V}$. b) $1{,}5\times10^{-2}\text{ A}$.

Resolução

a) Do gráfico:

$\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=\dfrac{5\times10^{-4}}{5\times10^{-2}}=10^{-2}\text{ T/s}$.

A área da espira é:

$A=\pi r^2=3(2\times10^{-2})^2=1{,}2\times10^{-3}\text{ m}^2$.

Pela lei de Faraday, em módulo:

$|\mathcal{E}|=A\dfrac{\Delta B}{\Delta t}=(1{,}2\times10^{-3})(10^{-2})=1{,}2\times10^{-5}\text{ V}$.

b) O comprimento do fio é o comprimento da circunferência:

$L=2\pi r=2\cdot3\cdot2\times10^{-2}=0{,}12\text{ m}$.

A área da seção do fio, de raio $1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}$, é:

$A_f=\pi r_f^2=3\times10^{-6}\text{ m}^2$.

$R=\rho\dfrac{L}{A_f}=2\times10^{-8}\dfrac{0{,}12}{3\times10^{-6}}=8\times10^{-4}\Omega$.

$i=\dfrac{|\mathcal{E}|}{R}=\dfrac{1{,}2\times10^{-5}}{8\times10^{-4}}=1{,}5\times10^{-2}\text{ A}$.

Q12

Eletrostática — Campo Elétrico e Diferença de Potencial

A durabilidade dos alimentos é aumentada por meio de tratamentos térmicos, como no caso do leite longa vida. Esses processos térmicos matam os microorganismos, mas provocam efeitos colaterais indesejáveis. Um dos métodos alternativos é o que utiliza campos elétricos pulsados, provocando a variação de potencial através da célula, como ilustrado na figura abaixo. A membrana da célula de um microorganismo é destruída se uma diferença de potencial de $\Delta V_m=1\text{ V}$ é estabelecida no interior da membrana, conforme a figura abaixo.

Célula submetida a campo elétrico e diagrama da diferença de potencial na membrana

a) Sabendo-se que o diâmetro de uma célula é de $1\mu\text{m}$, qual é a intensidade do campo elétrico que precisa ser aplicado para destruir a membrana?

b) Qual é o ganho de energia em eV de um elétron que atravessa a célula sob a tensão aplicada?

Resposta — UNICAMP 2005 — 2ª Fase (Q12)

a) $2{,}0\times10^6\text{ V/m}$. b) $2\text{ eV}$.

Resolução

a) Pelo gráfico, há uma queda de potencial $\Delta V_m$ em cada lado da membrana. Assim, a diferença de potencial total através da célula é:

$\Delta V=2\Delta V_m=2\text{ V}$.

Com diâmetro $d=1\mu\text{m}=10^{-6}\text{ m}$:

$E=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{2}{10^{-6}}=2{,}0\times10^6\text{ V/m}$.

b) Ao atravessar uma diferença de potencial de $2\text{ V}$, um elétron ganha:

$\Delta E=e\Delta V=2\text{ eV}$.

UNICAMP 2005 | 2ª Fase

Dados da prova