UNICAMP 2007 | 2ª Fase

Em muitas praças de pedágio de rodovias existe um sistema que permite a abertura automática da cancela. Ao se aproximar, um veículo munido de um dispositivo apropriado é capaz de trocar sinais eletromagnéticos com outro dispositivo na cancela. Ao receber os sinais, a cancela abre-se automaticamente e o veículo é identificado para posterior cobrança. Para as perguntas a seguir, desconsidere o tamanho do veículo.

a) Um veículo aproxima-se da praça de pedágio a $40\text{ km/h}$. A cancela recebe os sinais quando o veículo se encontra a $50\text{ m}$ de distância. Qual é o tempo disponível para a completa abertura da cancela?

b) O motorista percebe que a cancela não abriu e aciona os freios exatamente quando o veículo se encontra a $40\text{ m}$ da mesma, imprimindo uma desaceleração de módulo constante. Qual deve ser o valor dessa desaceleração para que o veículo pare exatamente na cancela?

Sensores de dimensões muito pequenas têm sido acoplados a circuitos micro-eletrônicos. Um exemplo é um medidor de aceleração que consiste de uma massa $m$ presa a uma micro-mola de constante elástica $k$. Quando o conjunto é submetido a uma aceleração $\vec a$, a micro-mola se deforma, aplicando uma força $\vec F_{el}$ na massa (ver diagrama abaixo). O gráfico ao lado do diagrama mostra o módulo da força aplicada versus a deformação de uma micro-mola utilizada num medidor de aceleração.

a) Qual é a constante elástica $k$ da micro-mola?

b) Qual é a energia necessária para produzir uma compressão de $0{,}10\text{ µm}$ na micro-mola?

c) O medidor de aceleração foi dimensionado de forma que essa micro-mola sofra uma deformação de $0{,}50\text{ µm}$ quando a massa tem uma aceleração de módulo igual a 25 vezes o da aceleração da gravidade. Qual é o valor da massa $m$ ligada à micro-mola?

Suponha que o esquilo do filme “A Era do Gelo” tenha desenvolvido uma técnica para recolher nozes durante o percurso para sua toca. Ele desliza por uma rampa até atingir uma superfície plana com velocidade de $10\text{ m/s}$. Uma vez nessa superfície, o esquilo passa a apanhar nozes em seu percurso. Todo o movimento se dá sobre o gelo, de forma que o atrito pode ser desprezado. A massa do esquilo é de $600\text{ g}$ e a massa de uma noz é de $40\text{ g}$.

a) Qual é a velocidade do esquilo após colher 5 nozes?

b) Calcule a variação da energia cinética do conjunto formado pelo esquilo e pelas nozes entre o início e o final da coleta das 5 nozes.

Um freio a tambor funciona de acordo com o esquema da figura abaixo. A peça de borracha B é pressionada por uma alavanca sobre um tambor cilíndrico que gira junto com a roda. A alavanca é acionada pela força $F$ e o pino no ponto C é fixo. O coeficiente de atrito cinético entre a peça de borracha e o tambor é $\mu_c=0{,}40$.

a) Qual é o módulo da força normal que a borracha B exerce sobre o tambor quando $F=750\text{ N}$? Despreze a massa da alavanca.

b) Qual é o módulo da força de atrito entre a borracha e o tambor?

c) Qual é o módulo da força aplicada pelo pino sobre a alavanca no ponto C?

Uma torneira é usada para controlar a vazão $\Phi$ da água que sai de um determinado encanamento. Essa vazão (volume de água por unidade de tempo) relaciona-se com a diferença de pressão dos dois lados da torneira (ver figura) pela seguinte expressão:

$P_1-P_0=Z\times\Phi$.

Nesta expressão, $Z$ é a resistência ao fluxo de água oferecida pela torneira. A densidade da água é $1{,}0\times10^3\text{ kg/m}^3$ e a pressão atmosférica $P_0$ é igual a $1{,}0\times10^5\text{ N/m}^2$.

a) Qual é a unidade de $Z$ no Sistema Internacional?

b) Se a torneira estiver fechada, qual será a pressão $P_1$?

c) Faça uma estimativa da vazão de uma torneira doméstica, tomando como base sua experiência cotidiana. A partir dessa estimativa, encontre a resistência da torneira, supondo que a diferença de pressão $(P_1-P_0)$ seja igual a $4{,}0\times10^4\text{ N/m}^2$.

Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que $T^2=Ka^3$, onde $T$ é o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e $a$ é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é $a_T=1{,}5\times10^{11}\text{ m}$, enquanto que para Plutão $a_P=60\times10^{11}\text{ m}$. A constante $K$ é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a $3{,}0\times10^8\text{ m/s}$. Dado: $\sqrt{10}\cong3{,}2$.

a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão?

b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.

O nível sonoro $S$ é medido em decibéis (dB) de acordo com a expressão $S=(10\text{ dB})\log\dfrac{I}{I_0}$, onde $I$ é a intensidade da onda sonora e $I_0=10^{-12}\text{ W/m}^2$ é a intensidade de referência padrão correspondente ao limiar da audição do ouvido humano. Numa certa construção, o uso de proteção auditiva é indicado para trabalhadores expostos durante um dia de trabalho a um nível igual ou superior a $85\text{ dB}$. O gráfico abaixo mostra o nível sonoro em função da distância a uma britadeira em funcionamento na obra.

a) A que distância mínima da britadeira os trabalhadores podem permanecer sem proteção auditiva?

b) A freqüência predominante do som emitido pela britadeira é de $100\text{ Hz}$. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de $340\text{ m/s}$, qual é o comprimento de onda para essa freqüência?

c) Qual é a intensidade da onda sonora emitida pela britadeira a uma distância de $50\text{ m}$?

Nas regiões mais frias do planeta, camadas de gelo podem se formar rapidamente sobre um volume de água a céu aberto. A figura abaixo mostra um tanque cilíndrico de água cuja área da base é $A=2{,}0\text{ m}^2$, havendo uma camada de gelo de espessura $L$ na superfície da água. O ar em contato com o gelo está a uma temperatura $T_{ar}=-10\ ^\circ\text{C}$, enquanto a temperatura da água em contato com o gelo é $T_{ag}=0{,}0\ ^\circ\text{C}$.

a) O calor é conduzido da água ao ar através do gelo. O fluxo de calor $\phi_{cal}$, definido como a quantidade de calor conduzido por unidade de tempo, é dado por $\phi_{cal}=kA\dfrac{T_{ag}-T_{ar}}{L}$, onde $k=4{,}0\times10^{-3}\text{ cal/(s cm }^\circ\text{C)}$ é a condutividade térmica do gelo. Qual é o fluxo de calor $\phi_{cal}$ quando $L=5{,}0\text{ cm}$?

b) Ao solidificar-se, a água a $0\ ^\circ\text{C}$ perde uma quantidade de calor que é proporcional à massa de água transformada em gelo. A constante de proporcionalidade $L_S$ é chamada de calor latente de solidificação. Sabendo-se que o calor latente de solidificação e a densidade do gelo valem, respectivamente, $L_S=80\text{ cal/g}$ e $\rho_g=0{,}90\text{ g/cm}^3$, calcule a quantidade de calor trocado entre a água e o ar para que a espessura do gelo aumente de $5{,}0\text{ cm}$ para $15\text{ cm}$.

O diagrama abaixo representa um circuito simplificado de uma torradeira elétrica que funciona com uma tensão $U=120\text{ V}$. Um conjunto de resistores $R_T=20\Omega$ é responsável pelo aquecimento das torradas e um cronômetro determina o tempo durante o qual a torradeira permanece ligada.

a) Qual é a corrente que circula em cada resistor $R_T$ quando a torradeira está em funcionamento?

b) Sabendo-se que essa torradeira leva 50 segundos para preparar uma torrada, qual é a energia elétrica total consumida no preparo dessa torrada?

c) O preparo da torrada só depende da energia elétrica total dissipada nos resistores. Se a torradeira funcionasse com dois resistores $R_T$ de cada lado da torrada, qual seria o novo tempo de preparo da torrada?

Numa tela de televisor de plasma, pequenas células contendo uma mistura de gases emitem luz quando submetidas a descargas elétricas. A figura abaixo mostra uma célula com dois eletrodos, nos quais uma diferença de potencial é aplicada para produzir a descarga. Considere que os eletrodos formam um capacitor de placas paralelas, cuja capacitância é dada por $C=\dfrac{\varepsilon_0A}{d}$, onde $\varepsilon_0=8{,}9\times10^{-12}\text{ F/m}$, $A$ é a área de cada eletrodo e $d$ é a distância entre os eletrodos.

a) Calcule a capacitância da célula.

b) A carga armazenada em um capacitor é proporcional à diferença de potencial aplicada, sendo que a constante de proporcionalidade é a capacitância. Se uma diferença de potencial igual a $100\text{ V}$ for aplicada nos eletrodos da célula, qual é a carga que será armazenada?

c) Se a carga encontrada no item b) atravessar o gás em $1\text{ µs}$ (tempo de descarga), qual será a corrente média?

Uma gota de cola plástica à base de PVC cai sobre a superfície da água parada de um tanque, formando um filme sólido (camada fina) de espessura $l=4{,}0\times10^{-7}\text{ m}$. Dado: $\sqrt{2}\cong1{,}4$.

a) Ao passar de um meio de índice de refração $n_1$ para outro meio de índice de refração $n_2$, um raio de luz é desviado de tal forma que $n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2$, onde $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos entre o raio em cada meio e a normal, respectivamente. Um raio luminoso incide sobre a superfície superior do filme, formando um ângulo $\theta_1=30^\circ$ com a normal, conforme a figura abaixo. Calcule a distância $d$ que o raio representado na figura percorre no interior do filme. O índice de refração do PVC é $n_2=1{,}5$.

b) As diversas cores observadas no filme devem-se ao fenômeno de interferência. A interferência é construtiva quando a distância $d$ percorrida pela luz no interior do filme é igual a $(2k+1)\dfrac{\lambda}{2n_2}$, onde $k$ é um número natural $(k=0,1,2,3....)$. Neste caso, a cor correspondente ao comprimento de onda $\lambda$ torna-se visível para raios incidentes que formam ângulo $\theta_1$ com a normal. Qual é o comprimento de onda na faixa visível do espectro eletromagnético $(400\text{nm}-700\text{nm})$ para o qual a interferência é construtiva quando o ângulo de incidência é $\theta_1=30^\circ$?

Numa fonte de luz síncrotron, como aquela existente no Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS) de Campinas, elétrons circulam no interior de um tubo com velocidade de módulo $v$ muito próximo ao da velocidade da luz no vácuo, que é $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$. A trajetória percorrida pelos elétrons é composta de trechos em linha reta e de trechos curvos (arcos de circunferência de raio $R$), como ilustrado na figura abaixo. Nas curvas os elétrons sofrem aceleração centrípeta e, em conseqüência disso, emitem luz.

a) Se $R=3{,}0\text{ m}$, qual é o módulo da aceleração centrípeta do elétron nos trechos curvos da trajetória? Para simplificar o cálculo, considere neste item que o módulo da velocidade $v$ dos elétrons é exatamente igual a $c$.

b) Segundo a teoria da relatividade, a energia de um elétron é dada por $E=\gamma mc^2$, onde $m=9\times10^{-31}\text{ kg}$ é a massa do elétron, e $\gamma$ é uma grandeza adimensional sempre maior do que 1, que depende da velocidade do elétron. No LNLS, a energia do elétron é igual a $2{,}1\times10^{-10}\text{ J}$. Qual é o valor de $\gamma$?

c) A diferença entre os módulos das velocidades da luz e dos elétrons, $\Delta v=(c-v)$, relaciona-se com $\gamma$ por:

$\Delta v\cong\dfrac{c}{2\gamma^2}$. Encontre $\Delta v$ no caso do LNLS.