UNICAMP 2008 | 2ª Fase

Uma possível solução para a crise do tráfego aéreo no Brasil envolve o emprego de um sistema de trens de alta velocidade conectando grandes cidades. Há um projeto de uma ferrovia de $400\text{ km}$ de extensão que interligará as cidades de São Paulo e Rio de Janeiro por trens que podem atingir até $300\text{ km/h}$.

a) Para ser competitiva com o transporte aéreo, estima-se que a viagem de trem entre essas duas cidades deve durar, no máximo, 1 hora e 40 minutos. Qual é a velocidade média de um trem que faz o percurso de $400\text{ km}$ nesse tempo?

b) Considere um trem viajando em linha reta com velocidade constante. A uma distância de $30\text{ km}$ do final do percurso, o trem inicia uma desaceleração uniforme de $0{,}06\text{ m/s}^2$, para chegar com velocidade nula a seu destino. Calcule a velocidade do trem no início da desaceleração.

Um experimento interessante pode ser realizado abandonando-se de certa altura uma bola de basquete com uma bola de pingue-pongue (tênis de mesa) em repouso sobre ela, conforme mostra a figura (a). Após o choque da bola de basquete com o solo, e em seguida com a bola de pingue-pongue, esta última atinge uma altura muito maior do que sua altura inicial.

a) Para $h=80\text{ cm}$, calcule a velocidade com que a bola de basquete atinge o solo. Despreze a resistência do ar.

b) Abandonadas de uma altura diferente, a bola de basquete, de massa $M$, reflete no solo e sobe com uma velocidade de módulo $V=5{,}0\text{ m/s}$. Ao subir, ela colide com a bola de pingue-pongue que está caindo também com $V=5{,}0\text{ m/s}$, conforme a situação representada na figura (b). Considere que, na colisão entre as bolas, a energia cinética do sistema não se conserva e que, imediatamente após o choque, as bolas de basquete e pingue-pongue sobem com velocidades de $V'_b=4{,}95\text{ m/s}$ e $V'_p=7{,}0\text{ m/s}$, respectivamente. A partir da sua própria experiência cotidiana, faça uma estimativa para a massa da bola de pingue-pongue, e, usando esse valor e os dados acima, calcule a massa da bola de basquete.

Nas cenas dos filmes e nas ilustrações gráficas do Homem-aranha, a espessura do cabo de teia de aranha que seria necessário para sustentá-lo é normalmente exagerada. De fato, os fios de seda da teia de aranha são materiais extremamente resistentes e elásticos. Para deformações $\Delta L$ relativamente pequenas, um cabo feito de teia de aranha pode ser aproximado por uma mola de constante elástica $k$ dada pela fórmula $k=\left(10^{10}\dfrac{A}{L}\right)\text{ N/m}$, onde $L$ é o comprimento inicial e $A$ a área da seção transversal do cabo. Para os cálculos abaixo, considere a massa do Homem-aranha $M=70\text{ kg}$.

a) Calcule a área $A$ da seção transversal do cabo de teia de aranha que suportaria o peso do Homem-aranha com uma deformação de $1{,}0\%$ do comprimento inicial do cabo.

b) Suponha que o Homem-aranha, em queda livre, lance verticalmente um cabo de fios de teia de aranha para interromper a sua queda. Como ilustra a figura (2a), no momento em que o cabo se prende, a velocidade de queda do Homem-aranha tem módulo $V_0$. No ponto de altura mínima mostrado em (2b), o cabo de teia atinge uma deformação máxima de $\Delta L=2{,}0\text{ m}$ e o Homem-aranha tem, nesse instante, velocidade $V=0$. Sendo a constante elástica do cabo de teia de aranha, neste caso, $k=7700\text{ N/m}$, calcule $V_0$.

Uma lata de refrigerante contém certa quantidade de açúcar, no caso de um refrigerante comum, ou de adoçante, no caso de um refrigerante dietético.

a) Considere uma lata de refrigerante comum contendo $302\text{ ml}$ de água e $40\text{ g}$ de açúcar, e outra de refrigerante dietético, contendo $328\text{ ml}$ de água e uma massa desprezível de adoçante. Mostre qual das duas latas deveria boiar em um recipiente com água, cuja densidade é $d_a=1{,}0\text{ g/cm}^3$. A massa da lata de refrigerante vazia é igual a $15{,}0\text{ g}$ e seu volume total é de $350\text{ ml}$. Neste item, despreze o volume ocupado pelo material da lata e a massa de gás carbônico no seu interior.

b) Suponha, agora, uma outra situação na qual o gás carbônico ocupa certo volume na parte superior da lata, a uma pressão $P=3{,}0\mathrm{x}10^5\text{ N/m}^2$ para uma temperatura $T=300\text{ K}$. A massa molar do gás carbônico vale $44\text{ g/mol}$ e, assumindo que o mesmo se comporte como um gás ideal, calcule a densidade de gás carbônico na parte superior da lata. A lei dos gases ideais é dada por $PV=nRT$, onde $R=8{,}3\text{ J/mol-K}$ e $n$ é o número de moles do gás.

O irrigador rotativo, representado na figura, é um dispositivo bastante utilizado para a irrigação de jardins e gramados. Para seu funcionamento, o fluxo de água de entrada é dividido em três terminais no irrigador. Cada um destes terminais é inclinado em relação ao eixo radial para que a força de reação, resultante da mudança de direção dos jatos de água no interior dos terminais, proporcione o torque necessário para girar o irrigador. Na figura, os vetores coplanares $\vec F_1$, $\vec F_2$ e $\vec F_3$ representam as componentes das forças de reação perpendiculares aos vetores $\vec r_1$, $\vec r_2$ e $\vec r_3$ respectivamente.

a) Se os módulos das forças $\vec F_1$, $\vec F_2$ e $\vec F_3$ valem $0{,}2\text{ N}$ e os módulos de $\vec r_1$, $\vec r_2$ e $\vec r_3$ são iguais a $6{,}0\text{ cm}$, qual é o torque total (momento resultante das forças) sobre o irrigador, em relação ao seu centro, produzido pelos três jatos de água em conjunto?

b) Considere que os jatos de água sejam lançados horizontalmente da extremidade do irrigador a uma altura de $80\text{ cm}$ do solo e com velocidade resultante de $8{,}0\text{ m/s}$. A que distância horizontal do ponto de lançamento, a água atinge o solo?

Observações astrônomicas indicam que as velocidades de rotação das estrelas em torno de galáxias são incompatíveis com a distribuição de massa visível das galáxias, sugerindo que grande parte da matéria do Universo é escura, isto é, matéria que não interage com a luz. O movimento de rotação das estrelas resulta da força de atração gravitacional que as galáxias exercem sobre elas.

A curva no gráfico abaixo mostra como a força gravitacional $F_G=\dfrac{GMm}{r^2}$, que uma galáxia de massa $M$ exerce sobre uma estrela externa à galáxia, deve variar em função da distância $r$ da estrela em relação ao centro da galáxia, considerando-se $m=1{,}0\times10^{30}\text{ kg}$ para a massa da estrela. A constante de gravitação $G$ vale $6{,}7\times10^{-11}\text{ m}^3\text{ kg}^{-1}\text{ s}^{-2}$.

a) Determine a massa $M$ da galáxia.

b) Calcule a velocidade de uma estrela em órbita circular a uma distância $r=1{,}6\times10^{20}\text{ m}$ do centro da galáxia.

A informação digital de um CD é armazenada em uma camada de gravação que reside abaixo de uma camada protetora, composta por um plástico de $1{,}2\text{ mm}$ de espessura. A leitura da informação é feita através de um feixe de laser que passa através de uma lente convergente e da camada protetora para ser focalizado na camada de gravação, conforme representa a figura abaixo. Nessa configuração, a área coberta pelo feixe na superfície do CD é relativamente grande, reduzindo os distúrbios causados por riscos na superfície.

a) Considere que o material da camada de proteção tem índice de refração $n=1{,}5$, e que o ângulo de incidência do feixe é de $30^\circ$ em relação ao eixo normal à superfície do CD. Usando a Lei de Snell, $n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2$, calcule o raio $R$ do feixe na superfície do CD. Considere $R=0$ no ponto de leitura.

b) Durante a leitura, a velocidade angular de rotação do CD varia conforme a distância do sistema ótico de leitura em relação ao eixo de rotação. Isso é necessário para que a velocidade linear do ponto de leitura seja constante. Qual deve ser a razão entre a velocidade angular de rotação do CD quando o sistema ótico está na parte central, de raio $r_1=2{,}0\text{ cm}$, e velocidade angular de rotação do CD quando o mesmo está na parte externa, de raio $r_2=10\text{ cm}$?

O ruído sonoro nas proximidades de rodovias resulta predominantemente da compressão do ar pelos pneus de veículos que trafegam a altas velocidades. O uso de asfalto emborrachado pode reduzir significativamente esse ruído. O gráfico ao lado mostra duas curvas de intensidade do ruído sonoro em função da freqüência, uma para asfalto comum e outra para asfalto emborrachado.

a) As intensidades da figura foram obtidas a uma distância $r=10\text{ m}$ da rodovia. Considere que a intensidade do ruído sonoro é dada por $I=P/4\pi r^2$, onde $P$ é a potência de emissão do ruído. Calcule $P$ na freqüência de $1000\text{ Hz}$ para o caso do asfalto emborrachado.

b) Uma possível explicação para a origem do pico em torno de $1000\text{ Hz}$ é que as ranhuras longitudinais dos pneus em contato com o solo funcionam como tubos sonoros abertos nas extremidades. O modo fundamental de vibração em um tubo aberto ocorre quando o comprimento de onda é igual ao dobro do comprimento do tubo. Considerando que a freqüência fundamental de vibração seja $1000\text{ Hz}$, qual deve ser o comprimento do tubo? A velocidade de propagação do som no ar é $v=340\text{ m/s}$.

O chuveiro elétrico é amplamente utilizado em todo o país e é o responsável por grande parte do consumo elétrico residencial. A figura abaixo representa um chuveiro metálico em funcionamento e seu circuito elétrico equivalente. A tensão fornecida ao chuveiro vale $V=200\text{ V}$ e sua resistência é $R_1=10\Omega$.

a) Suponha um chuveiro em funcionamento, pelo qual fluem $3{,}0$ litros de água por minuto, e considere que toda a energia dissipada na resistência do chuveiro seja transferida para a água. O calor absorvido pela água, nesse caso, é dado por $Q=mc\Delta\theta$, onde $c=4\times10^3\text{ J/kg }^\circ\text{C}$ é o calor específico da água, $m$ é a sua massa e $\Delta\theta$ é a variação de sua temperatura. Sendo a densidade da água igual a $1000\text{ kg/m}^3$, calcule a temperatura de saída da água quando a temperatura de entrada for igual a $20^\circ\text{C}$.

b) Cosidere agora que o chuveiro esteja defeituoso e que o ponto $B$ do circuito entre em contato com a carcaça metálica. Qual a corrente total no ramo $AB$ do circuito se uma pessoa tocar o chuveiro como mostra a figura? A resistência do corpo humano nessa situação vale $R_2=1000\Omega$.

O alicate-amperímetro é um medidor de corrente elétrica, cujo princípio de funcionamento baseia-se no campo magnético produzido pela corrente. Para se fazer uma medida, basta envolver o fio com a alça do amperímetro, como ilustra a figura ao lado.

a) No caso de um fio retilíneo e longo, pelo qual passa uma corrente $i$, o módulo do campo magnético produzido a uma distância $r$ do centro do fio é dado por $B=\dfrac{\mu_0i}{2\pi r}$, onde $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\dfrac{\text{T m}}{\text{A}}$. Se o campo magnético num ponto da alça circular do alicate da figura for igual a $1{,}0\times10^{-5}\text{ T}$, qual é a corrente que percorre o fio situado no centro da alça do amperímetro?

b) A alça do alicate é composta de uma bobina com várias espiras, cada uma com área $A=0{,}6\text{ cm}^2$. Numa certa medida, o campo magnético, que é perpendicular à área da espira, varia de zero a $5{,}0\times10^{-6}\text{ T}$ em $2{,}0\times10^{-3}\text{ s}$. Qual é a força eletromotriz induzida, $\varepsilon$, em uma espira? A lei de indução de Faraday é dada por: $\varepsilon=-\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$, onde $\Phi$ é o fluxo magnético, que, nesse caso, é igual ao produto do campo magnético pela área da espira.

Com um pouco de capacidade de interpretação do enunciado, é possível entender um problema de Física moderna, como o exposto abaixo, com base nos conhecimentos de ensino médio.

O Positrônio é um átomo formado por um elétron e sua anti-partícula, o pósitron, que possui carga oposta e massa igual à do elétron. Ele é semelhante ao átomo de Hidrogênio, que possui um elétron e um próton. A energia do nível fundamental desses átomos é dada por $E_1=\dfrac{-13{,}6}{\left(1+\dfrac{m_e}{m_p}\right)}\text{ eV}$, onde $m_e$ é a massa do elétron e $m_p$ é a massa do pósitron, no caso do Positrônio, ou a massa do próton, no caso do átomo de Hidrogênio. Para o átomo de Hidrogênio, como a massa do próton é muito maior que a massa do elétron, $E_1=-13{,}6\text{ eV}$.

a) Calcule a energia do nível fundamental do Positrônio.

b) Ao contrário do átomo de Hidrogênio, o Positrônio é muito instável, pois o elétron pode se aniquilar rapidamente com a sua anti-partícula, produzindo fótons de alta energia, chamados raios gama. Considerando que as massas do elétron e do pósitron são $m_e=m_p=9\times10^{-31}\text{ kg}$, e que, ao se aniquilarem, toda a sua energia, dada pela relação de Einstein $E_p+E_e=m_ec^2+m_pc^2$, é convertida na energia de dois fótons gama, calcule a energia de cada fóton produzido. A velocidade da luz é $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$.

Para espelhos esféricos nas condições de Gauss, a distância do objeto ao espelho, $p$, a distância da imagem ao espelho, $p'$, e o raio de curvatura do espelho, $R$, estão relacionados através da equação $\dfrac1p+\dfrac1{p'}=\dfrac2R$. O aumento linear transversal do espelho esférico é dado por $A=-\dfrac{p'}p$, onde o sinal de $A$ representa a orientação da imagem, direita quando positivo e invertida, quando negativo.

Em particular, espelhos convexos são úteis por permitir o aumento do campo de visão e por essa razão são freqüentemente empregados em saídas de garagens e em corredores de supermercados. A figura ao lado mostra um espelho esférico convexo de raio de curvatura $R$. Quando uma pessoa está a uma distância de $4{,}0\text{ m}$ da superfície do espelho, sua imagem virtual se forma a $20\text{ cm}$ deste, conforme mostra a figura. Usando as expressões fornecidas acima, calcule o que se pede.

a) O raio de curvatura do espelho.

b) O tamanho $h$ da imagem, se a pessoa tiver $H=1{,}60\text{ m}$ de altura.