UNICAMP 2009 | 2ª Fase

Os avanços tecnológicos nos meios de transporte reduziram de forma significativa o tempo de viagem ao redor do mundo. Em 2008 foram comemorados os 100 anos da chegada em Santos do navio Kasato Maru, que, partindo de Tóquio, trouxe ao Brasil os primeiros imigrantes japoneses. A viagem durou cerca de 50 dias. Atualmente, uma viagem de avião entre São Paulo e Tóquio dura em média 24 horas. A velocidade escalar média de um avião comercial no trecho São Paulo-Tóquio é de $800\text{ km/h}$.

a) O comprimento da trajetória realizada pelo Kasato Maru é igual a aproximadamente duas vezes o comprimento da trajetória do avião no trecho São Paulo-Tóquio. Calcule a velocidade escalar média do navio em sua viagem ao Brasil.

b) A conquista espacial possibilitou uma viagem do homem à Lua realizada em poucos dias e proporcionou a máxima velocidade de deslocamento que um ser humano já experimentou. Considere um foguete subindo com uma aceleração resultante constante de módulo $a_R=10\text{ m/s}^2$ e calcule o tempo que o foguete leva para percorrer uma distância de $800\text{ km}$, a partir do repouso.

O aperfeiçoamento de aeronaves que se deslocam em altas velocidades exigiu o entendimento das forças que atuam sobre um corpo em movimento num fluido. Para isso, projetistas realizam testes aerodinâmicos com protótipos em túneis de vento. Para que o resultado dos testes corresponda à situação real das aeronaves em vôo, é preciso que ambos sejam caracterizados por valores similares de uma quantidade conhecida como número de Reynolds $R$. Esse número é definido como $R=\dfrac{VL}{b}$, onde $V$ é uma velocidade típica do movimento, $L$ é um comprimento característico do corpo que se move e $b$ é uma constante que depende do fluido.

a) Faça uma estimativa do comprimento total das asas e da velocidade de um avião e calcule o seu número de Reynolds. Para o ar, $b_{ar}\cong1{,}5\times10^{-5}\text{ m}^2/\text{s}$.

b) Uma situação de importância biotecnológica é o movimento de um micro-organismo num meio aquoso, que determina seu gasto energético e sua capacidade de encontrar alimento. O valor típico do número de Reynolds nesse caso é de cerca de $1{,}0\times10^{-5}$, bastante diferente daquele referente ao movimento de um avião no ar. Sabendo que uma bactéria de $2{,}0\text{ µm}$ de comprimento tem massa de $6{,}0\times10^{-16}\text{ kg}$, encontre a sua energia cinética média. Para a água, $b_{água}\cong1{,}0\times10^{-6}\text{ m}^2/\text{s}$.

A produção de fogo tem sido uma necessidade humana há milhares de anos. O homem primitivo provavelmente obtinha fogo através da produção de calor por atrito. Mais recentemente, faíscas elétricas geradoras de combustão são produzidas através do chamado efeito piezelétrico.

a) A obtenção de fogo por atrito depende do calor liberado pela ação da força de atrito entre duas superfícies, calor que aumenta a temperatura de um material até o ponto em que ocorre a combustão. Considere que uma superfície se desloca $2{,}0\text{ cm}$ em relação à outra, exercendo uma força normal de $3{,}0\text{ N}$. Se o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies vale $\mu_C=0{,}60$, qual é o trabalho da força de atrito?

b) Num acendedor moderno, um cristal de quartzo é pressionado por uma ponta acionada por molas. Entre as duas faces do cristal surge então uma tensão elétrica, cuja dependência em função da pressão é dada pelo gráfico abaixo. Se a tensão necessária para a ignição é de $20\text{ kV}$ e a ponta atua numa área de $0{,}25\text{ mm}^2$, qual a força exercida pela ponta sobre o cristal?

A piezeletricidade também é importante nos relógios modernos que usam as vibrações de um cristal de quartzo como padrão de tempo e apresentam grande estabilidade com respeito a variações de temperatura.

a) Pode-se utilizar uma analogia entre as vibrações de um cristal de massa $m$ e aquelas de um corpo de mesma massa preso a uma mola. Por exemplo: a freqüência de vibração do cristal e a sua energia potencial elástica também são dadas por $f=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{k}{m}}$ e $E_p=\dfrac12k\Delta x^2$, respectivamente, onde $k$ é a propriedade do cristal análoga à constante elástica da mola e $\Delta x$ é o análogo da sua deformação. Um cristal de massa $m=5{,}0\text{ g}$ oscila com uma freqüência de $30\text{ kHz}$. Usando essa analogia, calcule a energia potencial elástica do cristal para $\Delta x=0{,}020\text{ µm}$. Utilize $\pi=3$.

b) Em 1582, Galileu mostrou a utilidade do movimento pendular na construção de relógios. O período de um pêndulo simples depende do seu comprimento $L$. Este varia com a temperatura, o que produz pequenas alterações no período. No verão, um pêndulo com $L=90\text{ cm}$ executa um certo número de oscilações durante um tempo $t=1800\text{ s}$. Calcule em quanto tempo esse pêndulo executará o mesmo número de oscilações no inverno, se com a diminuição da temperatura seu comprimento variar $0{,}20\text{ cm}$, em módulo. Para uma pequena variação de comprimento $\Delta L$, a variação correspondente no tempo das oscilações $\Delta t$ é dada por $\dfrac{\Delta t}{t}=\dfrac12\dfrac{\Delta L}{L}$. Assim, $\Delta t$ pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal de $\Delta L$.

Grandes construções representam desafios à engenharia e demonstram a capacidade de realização humana. Pontes com estruturas de sustentação sofisticadas são exemplos dessas obras que coroam a mecânica de Newton.

a) A ponte pênsil de São Vicente (SP) foi construída em 1914. O sistema de suspensão de uma ponte pênsil é composto por dois cabos principais. Desses cabos principais partem cabos verticais responsáveis pela sustentação da ponte. O desenho esquemático da figura 1 abaixo mostra um dos cabos principais (AOB), que está sujeito a uma força de tração $\vec T$ exercida pela torre no ponto B. A componente vertical da tração $\vec T_V$ tem módulo igual a um quarto do peso da ponte, enquanto a horizontal $\vec T_H$ tem módulo igual a $4{,}0\times10^6\text{ N}$. Sabendo que o peso da ponte é $P=1{,}2\times10^7\text{ N}$, calcule o módulo da força de tração $\vec T$.

b) Em 2008 foi inaugurada em São Paulo a ponte Octavio Frias de Oliveira, a maior ponte estaiada em curva do mundo. A figura 2 mostra a vista lateral de uma ponte estaiada simplificada. O cabo AB tem comprimento $L=50\text{ m}$ e exerce, sobre a ponte, uma força $\vec T_{AB}$ de módulo igual a $1{,}8\times10^7\text{ N}$. Calcule o módulo do torque desta força em relação ao ponto O. Dados: $\operatorname{sen}45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}$.

O aperfeiçoamento da máquina a vapor ao longo do século XVIII, que atingiu o ápice com o trabalho de James Watt, permitiu a mecanização do modo de produção, desempenhando papel decisivo na revolução industrial. A figura abaixo mostra o diagrama de pressão $P$ versus volume $V$ do cilindro de uma máquina a vapor contendo $1{,}0\text{ mol}$ de água. Os diferentes trechos do gráfico referem-se a:

1 → 2: água líquida é bombeada até a pressão $P_2$;
2 → 3: a temperatura da água é aumentada pela caldeira a pressão constante;
3 → 4: a água é vaporizada a pressão e temperatura constantes ($T_3=400\text{ K}$);
4 → 5: o vapor é aquecido a pressão constante, expandindo de $V_4$ a $V_5$;
5 → 6: o vapor sofre expansão sem troca de calor, fazendo com que a temperatura e a pressão sejam reduzidas;
6 → 1: o vapor é condensado com a retirada de calor do cilindro a pressão constante.

a) No ponto 5 o vapor d’água se comporta como um gás ideal. Encontre a temperatura do vapor neste ponto. A constante universal dos gases é $R=8{,}3\text{ J/mol K}$.

b) Calcule o trabalho realizado pelo vapor d’água no trecho de 4 → 5.

A evolução da sociedade tem aumentado a demanda por energia limpa e renovável. Tipicamente, uma roda d´água de moinho produz cerca de $40\text{ kWh}$ (ou $1{,}4\times10^8\text{ J}$) diários. Por outro lado, usinas nucleares fornecem em torno de 20% da eletricidade do mundo e funcionam através de processos controlados de fissão nuclear em cadeia.

a) Um sitiante pretende instalar em sua propriedade uma roda d´água e a ela acoplar um gerador elétrico. A partir do fluxo de água disponível e do tipo de roda d´água, ele avalia que a velocidade linear de um ponto da borda externa da roda deve ser $v=2{,}4\text{ m/s}$. Além disso, para que o gerador funcione adequadamente, a freqüência de rotação da roda d´água deve ser igual a $0{,}20\text{ Hz}$. Qual é o raio da roda d´água a ser instalada? Use $\pi=3$.

b) Numa usina nuclear, a diferença de massa $\Delta m$ entre os reagentes e os produtos da reação de fissão é convertida em energia, segundo a equação de Einstein $E=\Delta mc^2$, onde $c=3\times10^8\text{ m/s}$. Uma das reações de fissão que podem ocorrer em uma usina nuclear é expressa de forma aproximada por

$(1000\text{ g de U}^{235})+(4\text{ g de nêutrons})\rightarrow(612\text{ g de Ba}^{144})+(378\text{ g de Kr}^{89})+(13\text{ g de nêutrons})+\text{ energia}.$

Calcule a quantidade de energia liberada na reação de fissão descrita acima.

Thomas Edison inventou a lâmpada utilizando filamentos que, quando percorridos por corrente elétrica, tornam-se incandescentes, emitindo luz. Hoje em dia, os LEDs (diodos emissores de luz) podem emitir luz de várias cores e operam com eficiência muito superior à das lâmpadas incandescentes.

a) Em uma residência, uma lâmpada incandescente acesa durante um dia consome uma quantidade de energia elétrica igual a $1{,}2\text{ kWh}$. Uma lâmpada de LEDs com a mesma capacidade de iluminação consome a mesma energia elétrica em 10 dias. Calcule a potência da lâmpada de LEDs em watts.

b) O gráfico da figura 1 mostra como a potência elétrica varia em função da temperatura para duas lâmpadas de filamento de Tungstênio, uma de $100\text{ W}$ e outra de $60\text{ W}$. A potência elétrica diminui com a temperatura devido ao aumento da resistência do filamento. No mesmo gráfico é apresentado o comportamento da potência emitida por radiação para cada lâmpada, mostrando que quanto maior a temperatura, maior a potência radiada. Na prática, quando uma lâmpada é ligada, sua temperatura aumenta até que toda a potência elétrica seja convertida em radiação (luz visível e infravermelha). Obtenha, a partir do gráfico da figura 1, a temperatura de operação da lâmpada de $100\text{ W}$. Em seguida, use a figura 2 para encontrar o comprimento de onda de máxima intensidade radiada por essa lâmpada.

O transistor, descoberto em 1947, é considerado por muitos como a maior invenção do século XX. Componente chave nos equipamentos eletrônicos modernos, ele tem a capacidade de amplificar a corrente em circuitos elétricos. A figura a seguir representa um circuito que contém um transistor com seus três terminais conectados: o coletor (c), a base (b) e o emissor (e). A passagem de corrente entre a base e o emissor produz uma queda de tensão constante $V_{be}=0{,}7\text{ V}$ entre esses terminais.

a) Qual é a corrente que atravessa o resistor $R=1000\Omega$?

b) O ganho do transistor é dado por $G=\dfrac{i_c}{i_b}$, onde $i_c$ é a corrente no coletor (c) e $i_b$ é a corrente na base (b). Sabendo-se que $i_b=0{,}3\text{ mA}$ e que a diferença de potencial entre o pólo positivo da bateria e o coletor é igual a $3{,}0\text{ V}$, encontre o ganho do transistor.

A Física de Partículas nasceu com a descoberta do elétron, em 1897. Em seguida foram descobertos o próton, o nêutron e várias outras partículas, dentre elas o píon, em 1947, com a participação do brasileiro César Lattes.

a) Num experimento similar ao que levou à descoberta do nêutron, em 1932, um nêutron de massa $m$ desconhecida e velocidade $v_0=4\times10^7\text{ m/s}$ colide frontalmente com um átomo de nitrogênio de massa $M=14\text{ u}$ (unidade de massa atômica) que se encontra em repouso. Após a colisão, o nêutron retorna com velocidade $v'$ e o átomo de nitrogênio adquire uma velocidade $V=5\times10^6\text{ m/s}$. Em conseqüência da conservação da energia cinética, a velocidade de afastamento das partículas é igual à velocidade de aproximação. Qual é a massa $m$, em unidades de massa atômica, encontrada para o nêutron no experimento?

b) O Grande Colisor de Hádrons (Large Hadron Collider-LHC) é um acelerador de partículas que tem, entre outros propósitos, o de detectar uma partícula, prevista teoricamente, chamada bóson de Higgs. Para esse fim, um próton com energia de $E=7\times10^{12}\text{ eV}$ colide frontalmente com outro próton de mesma energia produzindo muitas partículas. O comprimento de onda ($\lambda$) de uma partícula fornece o tamanho típico que pode ser observado quando a partícula interage com outra. No caso dos prótons do LHC, $E=hc/\lambda$, onde $h=4\times10^{-15}\text{ eV.s}$, e $c=3\times10^8\text{ m/s}$. Qual é o comprimento de onda dos prótons do LHC?

O fato de os núcleos atômicos serem formados por prótons e nêutrons suscita a questão da coesão nuclear, uma vez que os prótons, que têm carga positiva $q=1{,}6\times10^{-19}\text{ C}$, se repelem através da força eletrostática. Em 1935, H. Yukawa propôs uma teoria para a força nuclear forte, que age a curtas distâncias e mantém os núcleos coesos.

a) Considere que o módulo da força nuclear forte entre dois prótons $F_N$ é igual a vinte vezes o módulo da força eletrostática entre eles $F_E$, ou seja, $F_N=20F_E$. O módulo da força eletrostática entre dois prótons separados por uma distância $d$ é dado por $F_E=K\dfrac{q^2}{d^2}$, onde $K=9{,}0\times10^9\text{ N m}^2/\text{C}^2$. Obtenha o módulo da força nuclear forte $F_N$ entre os dois prótons, quando separados por uma distância $d=1{,}6\times10^{-15}\text{ m}$, que é uma distância típica entre prótons no núcleo.

b) As forças nucleares são muito maiores que as forças que aceleram as partículas em grandes aceleradores como o LHC. Num primeiro estágio de acelerador, partículas carregadas deslocam-se sob a ação de um campo elétrico aplicado na direção do movimento. Sabendo que um campo elétrico de módulo $E=2{,}0\times10^6\text{ N/C}$ age sobre um próton num acelerador, calcule a força eletrostática que atua no próton.

As medidas astronômicas desempenharam papel vital para o avanço do conhecimento sobre o Universo. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 - 230 a.C.) determinou a distância Terra-Sol e o diâmetro do Sol. Ele verificou que o diâmetro do Sol é maior que o da Terra e propôs que a Terra gira em torno do Sol.

a) Para determinar a distância Terra-Sol $d_S$, Aristarco mediu o ângulo $\alpha$ formado entre o Sol e a Lua na situação mostrada na figura a seguir. Sabendo-se que a luz leva $1{,}3\text{ s}$ para percorrer a distância Terra-Lua $d_L$, e que medidas atuais fornecem um valor de $\alpha=89{,}85^\circ$, calcule $d_S$.

Dados:
velocidade da luz: $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$
$\cos(89{,}85^\circ)=\operatorname{sen}(0{,}15^\circ)=2{,}6\times10^{-3}$

b) O telescópio Hubble, lançado em 1990, representou um enorme avanço para os estudos astronômicos. Por estar orbitando a Terra a $600\text{ km}$ de altura, suas imagens não estão sujeitas aos efeitos da atmosfera. A figura abaixo mostra um desenho esquemático do espelho esférico primário do Hubble, juntamente com dois raios notáveis de luz. Se F é o foco do espelho, desenhe na figura a continuação dos dois raios após a reflexão no espelho.