UNICAMP 2010 | 2ª Fase

A experimentação é parte essencial do método científico, e muitas vezes podemos fazer medidas de grandezas físicas usando instrumentos extremamente simples.

a) Usando o relógio e a régua graduada em centímetros da figura no espaço de resposta, determine o módulo da velocidade que a extremidade do ponteiro dos segundos (o mais fino) possui no seu movimento circular uniforme.

b) Para o seu funcionamento, o relógio usa uma pilha que, quando nova, tem a capacidade de fornecer uma carga $q=2{,}4\text{ A h}=8{,}64\times10^3\text{ C}$. Observa-se que o relógio funciona durante 400 dias até que a pilha fique completamente descarregada. Qual é a corrente elétrica média fornecida pela pilha?

A Copa do Mundo é o segundo maior evento desportivo do mundo, ficando atrás apenas dos Jogos Olímpicos. Uma das regras do futebol que gera polêmica com certa frequência é a do impedimento. Para que o atacante A não esteja em impedimento, deve haver ao menos dois jogadores adversários a sua frente, G e Z, no exato instante em que o jogador L lança a bola para A (ver figura). Considere que somente os jogadores G e Z estejam à frente de A e que somente A e Z se deslocam nas situações descritas abaixo.

a) Suponha que a distância entre A e Z seja de 12 m. Se A parte do repouso em direção ao gol com aceleração de $3{,}0\text{ m/s}^2$ e Z também parte do repouso com a mesma aceleração no sentido oposto, quanto tempo o jogador L tem para lançar a bola depois da partida de A antes que A encontre Z?

b) O árbitro demora 0,1 s entre o momento em que vê o lançamento de L e o momento em que determina as posições dos jogadores A e Z. Considere agora que A e Z movem-se a velocidades constantes de $6{,}0\text{ m/s}$, como indica a figura. Qual é a distância mínima entre A e Z no momento do lançamento para que o árbitro decida de forma inequívoca que A não está impedido?

Em 1948 Casimir propôs que, quando duas placas metálicas, no vácuo, são colocadas muito próximas, surge uma força atrativa entre elas, de natureza eletromagnética, mesmo que as placas estejam descarregadas. Essa força é muitas vezes relevante no desenvolvimento de mecanismos nanométricos.

a) A força de Casimir é inversamente proporcional à quarta potência da distância entre as placas. Essa força pode ser medida utilizando-se microscopia de força atômica através da deflexão de uma alavanca, como mostra a figura no espaço de resposta. A força de deflexão da alavanca se comporta como a força elástica de uma mola. No experimento ilustrado na figura, o equilíbrio entre a força elástica e a força atrativa de Casimir ocorre quando a alavanca sofre uma deflexão de $\Delta x=6{,}4\text{ nm}$. Determine a constante elástica da alavanca, sabendo que neste caso o módulo da força de Casimir é dado por $F_C=\dfrac{b}{d^4}$, em que $b=9{,}6\times10^{-39}\text{ N m}^4$ e $d$ é a distância entre as placas. Despreze o peso da placa.

b) Um dos limites da medida da deflexão da alavanca decorre de sua vibração natural em razão da energia térmica fornecida pelo ambiente. Essa energia é dada por $E_T=k_BT$, em que $k_B=1{,}4\times10^{-23}\text{ J/K}$ e $T$ é a temperatura do ambiente na escala Kelvin. Considerando que toda a energia $E_T$ é convertida em energia elástica, determine a deflexão $\Delta x$ produzida na alavanca a $T=300\text{ K}$ se a constante elástica vale $k_B=0{,}21\text{ N/m}$.

Em 2009 foram comemorados os 40 anos da primeira missão tripulada à Lua, a Missão Apollo 11, comandada pelo astronauta norte-americano Neil Armstrong. Além de ser considerado um dos feitos mais importantes da história recente, esta viagem trouxe grande desenvolvimento tecnológico.

a) A Lua tem uma face oculta, erroneamente chamada de lado escuro, que nunca é vista da Terra. O período de rotação da Lua em torno de seu eixo é de cerca de 27 dias. Considere que a órbita da Lua em torno da Terra é circular, com raio igual a $r=3{,}8\times10^8\text{ m}$. Lembrando que a Lua sempre apresenta a mesma face para um observador na Terra, calcule a sua velocidade orbital em torno da Terra.

b) Um dos grandes problemas para enviar um foguete à Lua é a quantidade de energia cinética necessária para transpor o campo gravitacional da Terra, sendo que essa energia depende da massa total do foguete. Por este motivo, somente é enviado no foguete o que é realmente essencial. Calcule qual é a energia necessária para enviar um tripulante de massa $m=70\text{ kg}$ à Lua. Considere que a velocidade da massa no lançamento deve ser $v=\sqrt{2gR_T}$ para que ela chegue até a Lua, sendo $g$ a aceleração da gravidade na superfície na Terra e $R_T=6{,}4\times10^6\text{ m}$ o raio da Terra.

A Lua não tem atmosfera, diferentemente de corpos celestes de maior massa. Na Terra, as condições propícias para a vida ocorrem na troposfera, a camada atmosférica mais quente e densa que se estende da superfície até cerca de 12 km de altitude.

a) A pressão atmosférica na superfície terrestre é o resultado do peso exercido pela coluna de ar atmosférico por unidade de área, e ao nível do mar ela vale $P_0=100\text{ kPa}$. Na cidade de Campinas, que está a 700 m acima do nível do mar, a pressão atmosférica vale $P_1=94\text{ kPa}$. Encontre a densidade do ar entre o nível do mar e a altitude de Campinas, considerando-a uniforme entre essas altitudes.

b) Numa viagem intercontinental um avião a jato atinge uma altitude de cruzeiro de cerca de 10 km. Os gráficos no espaço de resposta mostram as curvas da pressão ($P$) e da temperatura ($T$) médias do ar atmosférico em função da altitude para as camadas inferiores da atmosfera. Usando os valores de pressão e temperatura desses gráficos e considerando que o ar atmosférico se comporta como um gás ideal, encontre o volume de um mol de ar a 10 km de altitude. A constante universal dos gases é $R=8{,}3\text{ J/(mol K)}$.

Em 2009 completaram-se vinte anos da morte de Raul Seixas. Na sua obra o roqueiro cita elementos regionais brasileiros, como na canção “Minha viola”, na qual ele exalta esse instrumento emblemático da cultura regional.

A viola caipira possui cinco pares de cordas. Os dois pares mais agudos são afinados na mesma nota e frequência. Já os pares restantes são afinados na mesma nota, mas com diferença de altura de uma oitava, ou seja, a corda fina do par tem frequência igual ao dobro da frequência da corda grossa.

As frequências naturais da onda numa corda de comprimento $L$ com as extremidades fixas são dadas por $f_N=N\left(\dfrac{v}{L}\right)$, sendo $N$ o harmônico da onda e $v$ a sua velocidade.

a) Na afinação Cebolão Ré Maior para a viola caipira, a corda mais fina do quinto par é afinada de forma que a frequência do harmônico fundamental é $f_1^{fina}=220\text{ Hz}$. A corda tem comprimento $L=0{,}5\text{ m}$ e densidade linear $\mu=5\times10^{-3}\text{ kg/m}$.

Encontre a tensão $\tau$ aplicada na corda, sabendo que a velocidade da onda é dada por $v=\sqrt{\dfrac{\tau}{\mu}}$.

b) Suponha que a corda mais fina do quinto par esteja afinada corretamente com $f_1^{fina}=220\text{ Hz}$ e que a corda mais grossa esteja ligeiramente desafinada, mais frouxa do que deveria estar. Neste caso, quando as cordas são tocadas simultaneamente, um batimento se origina da sobreposição das ondas sonoras do harmônico fundamental da corda fina de frequência $f_1^{fina}$, com o segundo harmônico da corda grossa, de frequência $f_2^{grossa}$. A frequência do batimento é igual à diferença entre essas duas frequências, ou seja, $f_{bat}=f_1^{fina}-f_2^{grossa}$. Sabendo que a frequência do batimento é $f_{bat}=4\text{ Hz}$, qual é a frequência do harmônico fundamental da corda grossa, $f_1^{grossa}$?

Nota de correção: o caderno original imprime $f_N=N(v/L)$. A UNICAMP publicou errata para esta questão; a expressão correta para uma corda fixa nas duas extremidades é $f_N=\dfrac{Nv}{2L}$. A resolução abaixo usa a expressão corrigida, mantendo o enunciado acima fiel ao PDF.

Em determinados meses do ano observa-se significativo aumento do número de estrelas cadentes em certas regiões do céu, número que chega a ser da ordem de uma centena de estrelas cadentes por hora. Esse fenômeno é chamado de chuva de meteoros ou chuva de estrelas cadentes, e as mais importantes são as chuvas de Perseidas e de Leônidas. Isso ocorre quando a Terra cruza a órbita de algum cometa que deixou uma nuvem de partículas no seu caminho. Na sua maioria, essas partículas são pequenas como grãos de poeira, e, ao penetrarem na atmosfera da Terra, são aquecidas pelo atrito com o ar e produzem os rastros de luz observados.

a) Uma partícula entra na atmosfera terrestre e é completamente freada pela força de atrito com o ar após se deslocar por uma distância de $1{,}5\text{ km}$. Se sua energia cinética inicial é igual a $E_c=4{,}5\times10^4\text{ J}$, qual é o módulo da força de atrito média? Despreze o trabalho do peso nesse deslocamento.

b) Considere que uma partícula de massa $m=0{,}1\text{ g}$ sofre um aumento de temperatura de $\Delta\theta=2400^\circ\text{C}$ após entrar na atmosfera. Calcule a quantidade de calor necessária para produzir essa elevação de temperatura se o calor específico do material que compõe a partícula é $c=0{,}90\text{ J/(g}^\circ\text{C)}$.

O lixo espacial é composto por partes de naves espaciais e satélites fora de operação abandonados em órbita ao redor da Terra. Esses objetos podem colidir com satélites, além de pôr em risco astronautas em atividades extraveiculares.

Considere que durante um reparo na estação espacial, um astronauta substitui um painel solar, de massa $m_p=80\text{ kg}$, cuja estrutura foi danificada. O astronauta estava inicialmente em repouso em relação à estação e ao abandonar o painel no espaço, lança-o com uma velocidade $v_p=0{,}15\text{ m/s}$.

a) Sabendo que a massa do astronauta é $m_a=60\text{ kg}$, calcule sua velocidade de recuo.

b) O gráfico no espaço de resposta mostra, de forma simplificada, o módulo da força aplicada pelo astronauta sobre o painel em função do tempo durante o lançamento. Sabendo que a variação de momento linear é igual ao impulso, cujo módulo pode ser obtido pela área do gráfico, calcule a força máxima $F_{max}$.

Telas de visualização sensíveis ao toque são muito práticas e cada vez mais utilizadas em aparelhos celulares, computadores e caixas eletrônicos. Uma tecnologia frequentemente usada é a das telas resistivas, em que duas camadas condutoras transparentes são separadas por pontos isolantes que impedem o contato elétrico.

a) O contato elétrico entre as camadas é estabelecido quando o dedo exerce uma força $\vec F$ sobre a tela, conforme mostra a figura ao lado. A área de contato da ponta de um dedo é igual a $A=0{,}25\text{ cm}^2$. Baseado na sua experiência cotidiana, estime o módulo da força exercida por um dedo em uma tela ou teclado convencional, e em seguida calcule a pressão exercida pelo dedo. Caso julgue necessário, use o peso de objetos conhecidos como guia para a sua estimativa.

b) O circuito simplificado da figura no espaço de resposta ilustra como é feita a detecção da posição do toque em telas resistivas. Uma bateria fornece uma diferença de potencial $U=6\text{ V}$ ao circuito de resistores idênticos de $R=2\text{ k}\Omega$. Se o contato elétrico for estabelecido apenas na posição representada pela chave A, calcule a diferença de potencial entre C e D do circuito.

O GPS (Global Positioning System) consiste em um conjunto de satélites que orbitam a Terra, cada um deles carregando a bordo um relógio atômico. A Teoria da Relatividade Geral prevê que, por conta da gravidade, os relógios atômicos do GPS adiantam com relação a relógios similares na Terra. Enquanto na Terra transcorre o tempo de um dia ($t_{Terra}=1{,}0\text{ dia}=86400\text{ s}$), no satélite o tempo transcorrido é $t_{satélite}=t_{Terra}+\Delta t$, maior que um dia, e a diferença de tempo $\Delta t$ tem que ser corrigida. A diferença de tempo causada pela gravidade é dada por $(\Delta t/t_{Terra})=(\Delta U/mc^2)$, sendo $\Delta U$ a diferença de energia potencial gravitacional de uma massa $m$ entre a altitude considerada e a superfície da Terra, e $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$, a velocidade da luz no vácuo.

a) Para o satélite podemos escrever $\Delta U=mgR_T(1-R_T/r)$, sendo $r\approx4R_T$ o raio da órbita, $R_T=6{,}4\times10^6\text{ m}$ o raio da Terra e $g$ a aceleração da gravidade na superfície terrestre. Quanto tempo o relógio do satélite adianta em $t_{Terra}=1{,}0\text{ dia}$ em razão do efeito gravitacional?

b) Relógios atômicos em fase de desenvolvimento serão capazes de medir o tempo com precisão maior que uma parte em $10^{16}$, ou seja, terão erro menor que $10^{-16}\text{ s}$ a cada segundo. Qual é a altura $h$ que produziria uma diferença de tempo $\Delta t=10^{-16}\text{ s}$ a cada $t_{Terra}=1{,}0\text{ s}$? Essa altura é a menor diferença de altitude que poderia ser percebida comparando medidas de tempo desses relógios. Use, nesse caso, a energia potencial gravitacional de um corpo na vizinhança da superfície terrestre.

O Efeito Hall consiste no acúmulo de cargas dos lados de um fio condutor de corrente quando esse fio está sujeito a um campo magnético perpendicular à corrente. Pode-se ver na figura (i) no espaço de resposta uma fita metálica imersa num campo magnético $\vec B$, perpendicular ao plano da fita, saindo do papel. Uma corrente elétrica atravessa a fita, como resultado do movimento dos elétrons que têm velocidade $\vec v$, de baixo para cima até entrar na região de campo magnético. Na presença do campo magnético, os elétrons sofrem a ação da força magnética, $\vec F_B$, deslocando-se para um dos lados da fita. O acúmulo de cargas com sinais opostos nos lados da fita dá origem a um campo elétrico no plano da fita, perpendicular à corrente. Esse campo produz uma força elétrica $\vec F_E$, contrária à força magnética, e os elétrons param de ser desviados quando os módulos dessas forças se igualam, conforme ilustra a figura (ii) no espaço de resposta. Considere que o módulo do campo elétrico nessa situação é $E=1{,}0\times10^{-4}\text{ V/m}$.

a) A fita tem largura $L=2{,}0\text{ cm}$. Qual é a diferença de potencial medida pelo voltímetro $V$ na situação da figura (ii)?

b) Os módulos da força magnética e da força elétrica da figura (ii) são dados pelas expressões $F_B=qvB$ e $F_E=qE$, respectivamente, $q$ sendo a carga elementar. Qual é a velocidade dos elétrons? O módulo do campo magnético é $B=0{,}2\text{ T}$.

Há atualmente um grande interesse no desenvolvimento de materiais artificiais, conhecidos como metamateriais, que têm propriedades físicas não convencionais. Este é o caso de metamateriais que apresentam índice de refração negativo, em contraste com materiais convencionais que têm índice de refração positivo. Essa propriedade não usual pode ser aplicada na camuflagem de objetos e no desenvolvimento de lentes especiais.

a) Na figura no espaço de resposta é representado um raio de luz A que se propaga em um material convencional (Meio 1) com índice de refração $n_1=1{,}8$ e incide no Meio 2 formando um ângulo $\theta_1=30^\circ$ com a normal. Um dos raios B, C, D ou E apresenta uma trajetória que não seria possível em um material convencional e que ocorre quando o Meio 2 é um metamaterial com índice de refração negativo. Identifique este raio e calcule o módulo do índice de refração do Meio 2, $n_2$, neste caso, utilizando a lei de Snell na forma: $|n_1|\operatorname{sen}\theta_1=|n_2|\operatorname{sen}\theta_2$. Se necessário use $\sqrt2=1{,}4$ e $\sqrt3=1{,}7$.

b) O índice de refração de um meio material, $n$, é definido pela razão entre as velocidades da luz no vácuo e no meio. A velocidade da luz em um material é dada por $v=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$, em que $\varepsilon$ é a permissividade elétrica e $\mu$ é a permeabilidade magnética do material. Calcule o índice de refração de um material que tenha $\varepsilon=2{,}0\times10^{-11}\text{ C}^2/(\text{N m}^2)$ e $\mu=1{,}25\times10^{-6}\text{ N s}^2/\text{C}^2$. A velocidade da luz no vácuo é $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$.