UNICAMP 2017 | 2ª Fase

O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares disponíveis no mercado. Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente $R_{GPS}=27.000\text{ km}$ do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é $T_{GPS}=12\text{ horas}$ e sua órbita é circular.

a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS?

b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode determinar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos relativísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios localizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero?

Lótus é uma planta conhecida por uma característica muito interessante: apesar de crescer em regiões de lodo, suas folhas estão sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofóbica. Gotas de água na folha de lótus tomam forma aproximadamente esférica e se deslocam quase sem atrito até caírem da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de água capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha.

a) Quando uma gota de água cai sobre uma folha de lótus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no chão. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de lótus plana e na horizontal, a partir de uma altura $h_i=50\text{ cm}$ acima da folha. Qual é o coeficiente de restituição da colisão se a gota sobe até uma altura de $h_f=2\text{ cm}$ após quicar a primeira vez na folha?

b) Considere uma gota de água com velocidade inicial $v_i=3\text{ mm/s}$ deslocando-se e limpando a superfície de uma folha de lótus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma área de $2\text{ cm}^2$. Suponha que a densidade superficial média de lodo na folha é de $2{,}5\times10^{-3}\text{ gramas/cm}^2$. Estime a massa da gota de água e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.

Os brinquedos de parques de diversões utilizam-se de princípios da Mecânica para criar movimentos aos quais não estamos habituados, gerando novas sensações. Por isso um parque de diversões é um ótimo local para ilustrar princípios básicos da Mecânica.

a) Considere uma montanha russa em que um carrinho desce por uma rampa de altura $H=5\text{ m}$ e, ao final da rampa, passa por um trecho circular de raio $R=2\text{ m}$, conforme mostra a figura a) abaixo. Calcule o módulo da aceleração no ponto mais baixo do circuito, considerando que o carrinho partiu do repouso.

b) Outro brinquedo comum em parques de diversões é o chapéu mexicano, em que cadeiras são penduradas com correntes na borda de uma estrutura circular que gira com seu eixo de rotação perpendicular ao solo. Considere um chapéu mexicano com estrutura circular de raio $R=6{,}3\text{ m}$ e correntes de comprimento $L=2\text{ m}$. Ao girar, as cadeiras se elevam $40\text{ cm}$, afastando-se $1{,}2\text{ m}$ do eixo de rotação, conforme mostra a figura b) abaixo. Calcule a velocidade angular de rotação do brinquedo.

A energia solar é a única fonte de energia do avião Solar Impulse 2, desenvolvido na École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suíça.

a) Para aproveitar a energia obtida dos raios solares e poder voar tanto à noite quanto de dia, o Solar Impulse 2, de massa aproximada $m=2000\text{ kg}$, voava em alta altitude e velocidade $v_{dia}=90\text{ km/h}$ durante o dia, armazenando energia solar para a noite. Ao anoitecer, o avião descia para altitudes menores e voava a uma velocidade aproximada de $v_{noite}=57{,}6\text{ km/h}$. Qual é a variação da energia cinética do avião entre o dia e a noite?

b) As asas e a fuselagem do Solar Impulse 2 são cobertas por $270\text{ m}^2$ de células solares, cuja eficiência em converter energia solar em energia elétrica é de aproximadamente 25%. O avião tem um conjunto de motores cuja potência total vale $P=50{,}0\text{ kW}$ e baterias que podem armazenar até $E=164\text{ kWh}$ de energia total. Suponha que o avião está voando com seus motores a 80% da sua potência máxima e que as baterias estão totalmente descarregadas. Considerando que a intensidade de energia solar que chega até as células solares é de $1{,}2\text{ kW/m}^2$, quanto tempo é necessário para carregar totalmente as baterias?

Um instrumento importante no estudo de sistemas nanométricos é o microscópio eletrônico. Nos microscópios ópticos, a luz é usada para visualizar a amostra em estudo. Nos microscópios eletrônicos, um feixe de elétrons é usado para estudar a amostra.

a) A vantagem em se usar elétrons é que é possível acelerá-los até energias em que o seu comprimento de onda é menor que o da luz visível, permitindo uma melhor resolução. O comprimento de onda do elétron é dado por $\lambda=h/(2m_eE_c)^{1/2}$, em que $E_c$ é a energia cinética do elétron, $m_e\sim9\times10^{-31}\text{ kg}$ é a massa do elétron e $h\sim6{,}6\times10^{-34}\text{ N}\cdot\text{m}\cdot\text{s}$ é a constante de Planck. Qual é o comprimento de onda do elétron em um microscópio eletrônico em que os elétrons são acelerados, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de $U=50\text{ kV}$? Caso necessário, use a carga do elétron $e=1{,}6\times10^{-19}\text{ C}$.

b) Uma forma usada para gerar elétrons em um microscópio eletrônico é aquecer um filamento, processo denominado efeito termiônico. A densidade de corrente gerada é dada por $J=AT^2e^{(-\Phi/(k_BT))}$, em que $A$ é a constante de Richardson, $T$ é a temperatura em kelvin, $k_B=1{,}4\times10^{-23}\text{ J/K}$ é a constante de Boltzmann e $\Phi$, denominado função trabalho, é a energia necessária para remover um elétron do filamento. A expressão para $J$ pode ser reescrita como $ln(J/T^2)=ln(A)-(\Phi/k_B)(1/T)$, que é uma equação de uma reta de $ln(J/T^2)$ versus $(1/T)$, em que $ln(A)$ é o coeficiente linear e $(\Phi/k_B)$ é o coeficiente angular da reta. O gráfico da figura abaixo apresenta dados obtidos do efeito termiônico em um filamento de tungstênio. Qual é a função trabalho do tungstênio medida neste experimento?

O controle da temperatura da água e de ambientes tem oferecido à sociedade uma grande gama de confortos muito bem-vindos. Como exemplo podemos citar o controle da temperatura de ambientes fechados e o aquecimento da água usada para o banho.

a) O sistema de refrigeração usado em grandes instalações, como centros comerciais, retira o calor do ambiente por meio da evaporação da água. Os instrumentos que executam esse processo são usualmente grandes torres de refrigeração vazadas, por onde circula água, e que têm um grande ventilador no topo. A água é pulverizada na frente do fluxo de ar gerado pelo ventilador. Nesse processo, parte da água é evaporada, sem alterar a sua temperatura, absorvendo calor da parcela da água que permaneceu líquida. Considere que 110 litros de água a $30^\circ\text{C}$ circulem por uma torre de refrigeração e que, desse volume, 2 litros sejam evaporados. Sabendo que o calor latente de vaporização da água é $L=540\text{ cal/g}$ e que seu calor específico é $c=1{,}0\text{ cal/g}\cdot^\circ\text{C}$, qual é a temperatura final da parcela da água que não evaporou?

b) A maioria dos chuveiros no Brasil aquece a água do banho por meio de uma resistência elétrica. Usualmente a resistência é constituída de um fio feito de uma liga de níquel e cromo de resistividade $\rho=1{,}1\times10^{-6}\Omega\cdot\text{m}$. Considere um chuveiro que funciona com tensão de $U=220\text{ V}$ e potência $P=5500\text{ W}$. Se a área da seção transversal do fio da liga for $A=2{,}5\times10^{-7}\text{ m}^2$, qual é o comprimento do fio da resistência?