Mecânica — Cinemática — Velocidade Média e Leitura de Sinais
A figura abaixo mostra o esquema simplificado de um dispositivo colocado em uma rua para controle de velocidade de automóveis (dispositivo popularmente chamado de radar).
Os sensores S1 e S2 e a câmera estão ligados a um computador. Os sensores enviam um sinal ao computador sempre que são pressionados pelas rodas de um veículo. Se a velocidade do veículo está acima da permitida, o computador envia um sinal para que a câmera fotografe sua placa traseira no momento em que esta estiver sobre a linha tracejada. Para um certo veículo, os sinais dos sensores foram os seguintes:
a) Determine a velocidade do veículo em km/h.
Resposta $v=72\text{ km/h}$
b) Calcule a distância entre os eixos do veículo.
Resposta $L=3{,}0\text{ m}$
Resolução
a) Para uma mesma roda, o intervalo entre os sinais de S1 e S2 é $0{,}10\text{ s}$. Como a distância entre os sensores é $2\text{ m}$:
b) Em um mesmo sensor, o intervalo entre a passagem do eixo dianteiro e do eixo traseiro é $0{,}15\text{ s}$. Logo:
$L=v\Delta t=20\cdot0{,}15=3{,}0\text{ m}$.
Q02
Mecânica — Dinâmica — Queda Livre, Aceleração e Força Média
As histórias de super-heróis estão sempre repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a situação em que a desafortunada caia, a partir do repouso, de uma altura de 81,0 m e que nosso super-herói a intercepte 1,0 m antes dela chegar ao solo, demorando 0,05 s para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mocinha é de 50 kg e despreze a resistência do ar.
a) Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a mocinha, para detê-la.
Resposta $F=4{,}05\times10^4\text{ N}$
b) Uma aceleração 8 vezes maior que a gravidade (8g) é letal para um ser humano. Determine quantas vezes a aceleração à qual a mocinha foi submetida é maior que a aceleração letal.
Resposta $\dfrac{800}{80}=10$
Resolução
A mocinha cai $80\text{ m}$ antes de ser interceptada. Pela conservação da energia, ou por Torricelli:
b) A aceleração letal é $8g=80\text{ m/s}^2$. Portanto:
$\dfrac{800}{80}=10$.
Q03
Mecânica — Cinemática — Movimento Circular Vertical
Uma atração muito popular nos circos é o “Globo da Morte”, que consiste numa gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma pessoa pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio R = 3,6 m.
a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D indicados na figura abaixo, sem incluir as forças de atrito. Para efeitos práticos, considere o conjunto piloto + motocicleta como sendo um ponto material.
Resposta Peso vertical para baixo e normal dirigida ao centro do globo em A, B, C e D
b) Qual a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo?
Resposta $v=6{,}0\text{ m/s}$
Resolução
a) Sem atrito, atuam somente o peso $P=mg$, sempre vertical para baixo, e a força normal $N$, sempre dirigida da motocicleta para o centro do globo.
Em A: $N$ para cima e $P$ para baixo. Em B: $N$ para a esquerda e $P$ para baixo. Em C: $N$ e $P$ para baixo. Em D: $N$ para a direita e $P$ para baixo.
b) No ponto C, a velocidade mínima ocorre no limite de perda de contato, quando $N=0$. Assim:
Um carregador em um depósito empurra uma caixa de 20 kg, que inicialmente estava em repouso. Para colocar a caixa em movimento, é necessária uma força horizontal de 30 N. Uma vez iniciado o deslizamento, são necessários 20 N para manter a caixa movendo-se com velocidade constante.
a) Determine os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e o solo.
Resposta $\mu_c=0{,}10$
b) Determine o trabalho realizado pelo carregador ao arrastar a caixa por 5 m.
Resposta $W=100\text{ J}$
c) Qual seria o trabalho realizado pelo carregador se a força horizontal aplicada inicialmente fosse de 20 N? Justifique sua resposta.
Resposta $W=0$
Resolução
A normal vale $N=mg=20\cdot10=200\text{ N}$.
a) No início do movimento, o atrito estático máximo vale $30\text{ N}$:
$\mu_e=\dfrac{30}{200}=0{,}15$.
Durante o movimento uniforme, o atrito cinético vale $20\text{ N}$:
$\mu_c=\dfrac{20}{200}=0{,}10$.
b) Mantendo velocidade constante, o carregador aplica $20\text{ N}$ ao longo de $5\text{ m}$:
$W=Fd=20\cdot5=100\text{ J}$.
c) Uma força inicial de $20\text{ N}$ é menor que o atrito estático máximo de $30\text{ N}$. A caixa não se desloca e, portanto:
$W=0$.
Q05
Mecânica — Quantidade de Movimento — Colisão Perfeitamente Inelástica
Imagine a seguinte situação: um dálmata corre e pula para dentro de um pequeno trenó, até então parado, caindo nos braços de sua dona. Em conseqüência, o trenó começa a se movimentar.
Considere os seguintes dados:
i. a massa do cachorro é de 10 kg; ii. a massa do conjunto trenó + moça é de 90 kg; iii. a velocidade horizontal do cachorro imediatamente antes de ser seguro por sua dona é de 18 km/h.
a) Desprezando-se o atrito entre o trenó e o gelo, determine a velocidade horizontal do sistema trenó + moça + cachorro, imediatamente após o cachorro ter caído nos braços de sua dona.
Resposta $v_f=1{,}8\text{ km/h}$
b) Determine a variação de energia cinética no processo.
Mecânica — Trabalho e Energia — Bungee Jumping e Força Elástica
Bungee jumping é um esporte radical, muito conhecido hoje em dia, em que uma pessoa salta de uma grande altura, presa a um cabo elástico. Considere o salto de uma pessoa de 80 kg. A velocidade máxima atingida pela pessoa durante a queda é de 20 m/s. A partir desse instante, a força elástica do cabo começa a agir. O cabo atinge o dobro de seu comprimento normal quando a pessoa atinge o ponto mais baixo de sua trajetória. Para resolver as questões abaixo, despreze a resistência do ar.
a) Calcule o comprimento normal do cabo.
Resposta $h=20\text{ m}$
b) Determine a constante elástica do cabo.
Resposta $k=160\text{ N/m}$
Resolução
a) Enquanto o cabo ainda não exerce força, a pessoa cai livremente. No instante em que o cabo começa a agir, $v=20\text{ m/s}$:
b) No ponto mais baixo, o cabo tem o dobro do comprimento normal. Assim, a queda total é $2h=40\text{ m}$ e a deformação é $x=h=20\text{ m}$. Pela conservação da energia entre o início e o ponto mais baixo:
$mg(2h)=\dfrac12kx^2$.
$80\cdot10\cdot40=\dfrac12k\cdot20^2$.
$k=160\text{ N/m}$.
Q07
Ondulatória — MHS — Pêndulo e Dilatação Linear
Um relógio de pêndulo marca o tempo corretamente quando funciona à temperatura de 20° C. Quando este relógio se encontra a uma temperatura de 30° C, seu período aumenta devido à dilatação da haste do pêndulo.
a) Ao final de 24 horas operando a 30° C, o relógio atrasa 8,64 s. Determine a relação entre os períodos $\tau_{30}$ a 30° C e $\tau_{20}$ a 20° C, isto é, $\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}$.
Resposta $\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}=1{,}0001$
b) Determine o coeficiente de expansão térmica linear do material do qual é feita a haste do pêndulo. Use a aproximação: $(1{,}0001)^2=1{,}0002$.
a) Em $24\text{ h}$ há $86400\text{ s}$. Como o relógio atrasa $8{,}64\text{ s}$, a razão entre o período a $30^\circ\text{C}$ e o período a $20^\circ\text{C}$ é:
Mecânica — Hidrostática — Pressão Arterial e Vazão
Se você agora está tranqüilo e em repouso, seu coração deve estar batendo cerca de 60 vezes por minuto. Sua pressão arterial deve ser de “12 por 8” ou seja, 120 mm Hg acima da atmosférica no auge da contração e 80 mm Hg no relaxamento do coração. Seu coração tem o volume externo aproximado de uma mão fechada e em cada batida consegue bombear aproximadamente a metade de seu volume em sangue. Considere a densidade do mercúrio $\rho_{Hg}=14\text{ g/cm}^3$ e a densidade do sangue igual à da água, ou seja, $\rho_{sangue}=1{,}0\text{ g/cm}^3$.
a) Até que altura máxima na vertical o coração conseguiria elevar uma coluna de sangue?
Resposta $h_{sangue}=1{,}68\text{ m}$
b) Faça uma estimativa da quantidade de sangue bombeada em cada batida do coração e calcule a vazão média de sangue através desse órgão.
Resposta $Q=9\text{ L/min}$
Resolução
a) A pressão de $120\text{ mm Hg}$ equivale à pressão exercida por uma coluna de sangue:
b) Como o item pede uma estimativa, adotamos para uma mão fechada um volume de aproximadamente $300\text{ mL}$. O coração bombeia cerca de metade desse volume em cada batida:
$V_{batida}\approx150\text{ mL}$.
A $60$ batidas por minuto, há aproximadamente uma batida por segundo. Portanto:
$Q\approx150\text{ mL/s}=9\text{ L/min}$.
Q09
Ondulatória — Conceitos Básicos — Microondas e Cavidade Ressonante
Em um forno de microondas, as moléculas de água contidas nos alimentos interagem com as microondas que as fazem oscilar com uma freqüência de 2,40 GHz ($2{,}40\times10^9\text{ Hz}$). Ao oscilar, as moléculas colidem inelasticamente entre si transformando energia radiante em calor. Considere um forno de microondas de 1000 W que transforma 50 % da energia elétrica em calor. Considere a velocidade da luz $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$.
a) Determine o comprimento de onda das microondas.
Resposta $\lambda=0{,}125\text{ m}$
b) Considere que o forno é uma cavidade ressonante, na qual a intensidade das microondas é nula nas paredes. Determine a distância entre as paredes do forno, na faixa entre 25 e 40 cm, para que a intensidade da radiação seja máxima exatamente em seu centro.
Resposta $d=0{,}3125\text{ m}$
c) Determine o tempo necessário para aquecer meio litro de água de 20 °C para 40 °C. O calor específico da água é 4000 J/kg °C.
b) As paredes são nós da onda estacionária. Para que o centro seja um máximo, a distância entre as paredes deve conter um número ímpar de meios comprimentos de onda:
$d=n\dfrac{\lambda}{2}$, com $n$ ímpar.
Como $\lambda/2=6{,}25\text{ cm}$, o único valor entre $25$ e $40\text{ cm}$ é:
Óptica — Refração — Reflexão Total e Índice de Refração
Ao vermos miragens, somos levados a pensar que há água no chão de estradas. O que vemos é, na verdade, a reflexão da luz do céu por uma camada de ar quente próxima ao solo. Isso pode ser explicado por um modelo simplificado como o da figura abaixo, onde n representa o índice de refração. Numa camada próxima ao solo, o ar é aquecido diminuindo assim seu índice de refração $n_2$.
Considere a situação na qual o ângulo de incidência é de 84°. Adote $n_1=1{,}010$ e use a aproximação $\operatorname{sen}84^\circ=0{,}995$.
a) Qual deve ser o máximo valor de $n_2$ para que a miragem seja vista? Dê a resposta com três casas decimais.
Resposta $n_2\le1{,}005$
b) Em qual das camadas (1 ou 2) a velocidade da luz é maior? Justifique sua resposta.
Resposta Na camada 2, pois $n_2\lt n_1$ e $v=c/n$
Resolução
a) No limite para ocorrer reflexão total, o raio refratado faz $90^\circ$ com a normal:
Para a miragem ser vista por reflexão total, $n_2\le1{,}005$.
b) Como $n=c/v$, menor índice de refração corresponde a maior velocidade da luz. Como $n_2\lt n_1$, a velocidade é maior na camada 2.
Q11
Eletricidade — Eletrostática — Lei de Coulomb e Equilíbrio
Uma pequena esfera isolante de massa igual a $5\times10^{-2}\text{ kg}$ e carregada com uma carga positiva de $5\times10^{-7}\text{ C}$ está presa ao teto através de um fio de seda. Uma segunda esfera com carga negativa de $5\times10^{-7}\text{ C}$, movendo-se na direção vertical, é aproximada da primeira. Considere $k=9\times10^9\text{ N C}^2/\text{m}^2$.
a) Calcule a força eletrostática entre as duas esferas quando a distância entre os seus centros é de 0,5 m.
Resposta $F=9\times10^{-3}\text{ N}$
b) Para uma distância de $5\times10^{-2}\text{ m}$ entre os centros, o fio de seda se rompe. Determine a tração máxima suportada pelo fio.
Resposta $T_{\max}=1{,}4\text{ N}$
Resolução
O enunciado original apresenta a unidade de $k$ como $\text{N C}^2/\text{m}^2$; essa grafia foi preservada. O cálculo usa o valor numérico fornecido para a constante de Coulomb.
Como a atração elétrica e o peso apontam para baixo, a tração máxima é:
$T_{\max}=F_e+P=0{,}9+0{,}5=1{,}4\text{ N}$.
Q12
Eletricidade — Eletrodinâmica — Instalação Residencial e Potência Elétrica
Algumas residências recebem três fios da rede de energia elétrica, sendo dois fios correspondentes às fases e o terceiro ao neutro. Os equipamentos existentes nas residências são projetados para serem ligados entre uma fase e o neutro (por exemplo, uma lâmpada) ou entre duas fases (por exemplo, um chuveiro). Considere o circuito abaixo, que representa, de forma muito simplificada, uma instalação elétrica residencial. As fases são representadas por fontes de tensão em corrente contínua e os equipamentos, representados por resistências. Apesar de simplificado, o circuito pode dar uma idéia das conseqüências de uma eventual ruptura do fio neutro. Considere que todos os equipamentos estejam ligados ao mesmo tempo.
a) Calcule a corrente que circula pelo chuveiro.
Resposta $I=20\text{ A}$
b) Qual é o consumo de energia elétrica da residência em kWh durante quinze minutos?
Resposta $E=1{,}25\text{ kWh}$
c) Considerando que os equipamentos se queimam quando operam com uma potência 10% acima da nominal (indicada na figura), determine quais serão os equipamentos queimados caso o fio neutro se rompa no ponto A.
Resposta $P_{TV}\approx49\text{ W}$
Resolução
a) O chuveiro está ligado entre as duas fases, portanto recebe $220\text{ V}$:
$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{220}{11}=20\text{ A}$.
b) Com o neutro intacto, todos os aparelhos operam em suas potências indicadas:
Como $49\text{ W}\lt1{,}10\cdot110\text{ W}=121\text{ W}$, a TV não queima. Geladeira, lâmpada e chuveiro permanecem nas condições nominais. Portanto, somente o ventilador queima.
