UNICAMP 2023 | 2ª Fase

Em meados de 2022 o Telescópio Espacial James Webb entrou em operação. Ele foi chamado inicialmente de Telescópio Espacial de Nova Geração por ser desenvolvido com novas tecnologias e ter o objetivo de substituir parcialmente as funções do Telescópio Espacial Hubble, lançado em 1990. O telescópio Hubble possui uma massa $m_H\simeq11000\text{ kg}$ e se move numa órbita circular em torno da Terra, a uma altura aproximada $h\simeq600\text{ km}$ da superfície terrestre. Já o Webb não orbita em torno da Terra, e sim em torno de um ponto mais distante do que a Lua; sua massa é pouco mais da metade da massa do Hubble, e pode ser aproximada por $m_W\simeq6000\text{ kg}$.

a) O período orbital do Hubble em torno da Terra pode ser aproximado por $T_H\simeq100\text{ min}$, e o raio da Terra por $R_T\simeq6400\text{ km}$. Qual o módulo da força centrípeta que atua no telescópio Hubble?

b) A figura no espaço de respostas mostra a distância percorrida pelo Webb durante as duas primeiras semanas após o lançamento. Assuma que o módulo da velocidade do Webb é aproximadamente constante no período que vai do início do 9º ao início do 19º dia de viagem (10 dias completos). Calcule, em unidades do SI, o módulo da quantidade de movimento do telescópio ao longo desse período. Aproxime $1\text{ dia}\simeq8\times10^4\text{ s}$.

O espelho primário do Telescópio Espacial James Webb é côncavo e tem diâmetro de aproximadamente seis metros – cerca de três vezes o do espelho do Telescópio Espacial Hubble. Isso permite a observação de objetos celestes ainda mais distantes.

a) A figura, no espaço de respostas, apresenta um espelho esférico de raio de curvatura $R_C=10\text{ m}$. Um objeto $O$ está posicionado no eixo óptico a uma distância $p=15\text{ m}$ do vértice do espelho, e dois raios incidentes no espelho são assinalados como (1) e (2). Encontre a distância $p'$ da imagem ao vértice do espelho. A imagem é real ou é virtual? É direita ou é invertida? É ampliada ou é reduzida?

b) Em 1929, o astrônomo Edwin Hubble observou que a velocidade $v$ de afastamento de uma galáxia é proporcional à sua distância $D$ até a Terra, estabelecendo a chamada lei de Hubble: $v=H_0D$, sendo $H_0\simeq2\times10^{-2}\dfrac{\text{m/s}}{\text{ano-luz}}$ a constante de Hubble. Para a determinação da velocidade de afastamento, os astrônomos usaram o efeito Doppler, que produz um deslocamento da frequência da luz proveniente das galáxias, de forma que, para $v\ll c$, tem-se: $\dfrac{f_{\mathrm{obser}}}{f_{\mathrm{emit}}}\simeq1-\dfrac{v}{c}$, sendo $f_{\mathrm{obser}}$ e $f_{\mathrm{emit}}$ respectivamente as frequências observada e emitida, e $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$ a velocidade da luz no vácuo. A que distância $D$ fica uma galáxia para a qual certo comprimento de onda da luz observada é 25% maior que o da luz emitida, ou seja, $\dfrac{\lambda_{\mathrm{obser}}}{\lambda_{\mathrm{emit}}}\simeq1{,}25$?

Na natureza, observa-se que a razão entre o diâmetro dos membros de sustentação de um animal e a sua altura é tanto menor quanto menor for o animal (ver figura A). Todavia, os diminutos seres humanos descritos no livro “Viagens de Gulliver” (Jonathan Swift, 1726) e no filme “Downsizing” (2017) têm essa razão mantida, diferentemente do que ocorre na natureza. Para ilustrar o comportamento da natureza, vamos tratar um caso simples: duas caixas cúbicas de água, uma grande – com lado $S=4{,}0\text{ m}$ e massa $M=6{,}4\times10^4\text{ kg}$ –, e outra pequena – com lado $s=S/4=1{,}0\text{ m}$ e massa $m=1{,}0\times10^3\text{ kg}$.

a) Suponha que cada caixa esteja em equilíbrio estático e seja sustentada por uma coluna de seção reta quadrada, centrada no fundo, conforme a figura B. Os lados das colunas são $D=0{,}4\text{ m}$ (caixa grande) e $d$ (caixa pequena). Qual deve ser o tamanho $d$ dos lados da coluna da caixa pequena para que a pressão exercida sobre essa coluna seja igual à pressão exercida pela caixa grande sobre a sua própria coluna?

b) Vamos supor agora que o equilíbrio estático da caixa grande seja garantido por duas colunas de sustentação. As forças atuando na caixa são: o peso $\vec P$, no centro de massa $CM$, e as forças $\vec F_1$ e $\vec F_2$ exercidas pelas colunas. As linhas (tracejadas) de atuação das três forças estão contidas no plano vertical mostrado na figura C (no espaço de respostas). O módulo do torque resultante sobre a caixa, em relação ao ponto $O$, é dado por: $|\vec\tau_O|=|\vec P|x_1-|\vec F_2|(x_1+x_2)$, sendo $x_1=1{,}8\text{ m}$ e $x_2=0{,}6\text{ m}$. Calcule os módulos das forças $\vec F_1$ e $\vec F_2$.

A Antártida possui centenas de lagos subglaciais, ou seja, abaixo do solo e do gelo que recobre o continente. Recentemente, lá foi descoberto um aquífero de grandes dimensões. Considere um lago de área horizontal $A=50\text{ km}^2$ e dimensão vertical $y=12\text{ m}$ (ver figura), coberto por uma camada de gelo de espessura $d=5{,}0\text{ m}$. A água líquida do lago encontra-se na temperatura do seu ponto de fusão, $\theta_{\mathrm{água}}=0^\circ\text{C}$, e o ar imediatamente acima do gelo está na temperatura $\theta_{\mathrm{ar}}=-15{,}0^\circ\text{C}$. A densidade da água líquida é $\rho=1{,}0\text{ g/cm}^3$ e $1\text{ cal}\simeq4\text{ J}$.

a) Para congelar a água, é preciso retirar calor dela. O calor latente de fusão/solidificação da água é $L_F=80\text{ cal/g}$. Qual é a quantidade de calor que deve ser retirada para congelar completamente o lago, mantendo-se a temperatura do lago a $0^\circ\text{C}$?

b) A quantidade de calor $Q$ conduzido da água do lago para o ar, num intervalo de tempo $\Delta t$, através de uma área $A$, obedece à relação: $\dfrac{Q}{\Delta t A}=\dfrac{k}{d}(\theta_{\mathrm{água}}-\theta_{\mathrm{ar}})$, sendo $k=2{,}2\text{ W/(m·°C)}$ a condutividade térmica do gelo. Calcule a potência conduzida através de toda a área $A$ acima do lago.

O jogo de malha, bastante popular no interior do estado de São Paulo, foi trazido ao Brasil por imigrantes portugueses no século XIX. Consiste em arremessar um disco metálico com o objetivo de derrubar um pino de madeira localizado na extremidade oposta de uma pista plana, horizontal e uniforme.

a) Um jogador lança o disco obliquamente a partir do solo, em um ângulo de $30^\circ$ com a horizontal, atingindo o chão a uma distância $D=36\text{ m}$ do ponto de lançamento. Qual o módulo $v_0$ da velocidade do disco no instante do arremesso?

Dado: $\operatorname{sen}30^\circ=0{,}5$; $\cos30^\circ\simeq0{,}9$; $\tan30^\circ\simeq0{,}6$.

b) Em outra jogada, o disco é lançado rente ao solo com uma velocidade inicial $v_0=16\text{ m/s}$, percorrendo uma distância $d=25{,}6\text{ m}$ até parar completamente. Qual é o coeficiente de atrito cinético, $\mu_c$, entre o disco e a pista?

a) Fibras ópticas são fibras feitas com materiais transparentes como o vidro ou plástico, amplamente utilizadas na transmissão de dados. Uma outra aplicação importante das fibras ópticas é no desenvolvimento de sensores. Por exemplo, uma fibra óptica com uma microestrutura periódica no seu núcleo reflete luz em apenas um comprimento de onda ($\lambda_B$), sendo que a luz não refletida continua seu caminho. O comprimento de onda refletido é dado por $\lambda_B=2n\Lambda$, sendo $n$ o índice de refração do núcleo da fibra e $\Lambda$ o período da microestrutura. Essa característica é explorada para monitoramento de deformações mecânicas, pois $\Lambda$ varia quando a fibra é esticada, produzindo uma variação $\Delta\lambda_B$ no comprimento de onda da luz refletida. Observa-se que $\dfrac{\Delta\lambda_B}{\lambda_B}=\mu\Delta\varepsilon$, sendo $\Delta\varepsilon$ a variação relativa do comprimento da fibra, e $\mu$ uma constante característica do sensor. O gráfico no espaço de respostas mostra a curva de $\Delta\lambda_B$ em função de $\Delta\varepsilon$ obtida na caracterização de um sensor para o qual $n=1{,}5$ e $\Lambda=3\times10^{-7}\text{ m}$. Encontre a constante característica $\mu$ desse sensor.

b) Strain-gauges (extensômetros) são sensores muito empregados em engenharia para medir a deformação de estruturas. Usualmente são resistores elétricos, fixados na estrutura, que sofrem, com a deformação, variação na sua resistência elétrica. O esquema da figura ao lado mostra um circuito elétrico com fonte de tensão $V_0=24\text{ V}$ e quatro sensores dispostos numa estrutura. Com a deformação, dois deles têm sua resistência elétrica aumentada, passando de $R=100\Omega$ para $R+\Delta R$, enquanto que os outros dois têm a resistência elétrica reduzida de $R=100\Omega$ para $R-\Delta R$. Antes da deformação ($\Delta R=0$), $\Delta V=V_a-V_b=0$. Encontre $\Delta V$ após uma deformação que produz uma variação $\Delta R=0{,}25\Omega$.