UNICAMP 2024 | 2ª Fase

O livro “O velho e o mar”, de Ernest Hemingway, publicado em 1952, relata a pesca de um peixe de mais de meia tonelada pelo velho Santiago. Após abater o peixe, Santiago pensou: “Mesmo que fôssemos dois homens e o virássemos para pô-lo cá dentro, e esvaziássemos o barco, afundaríamos com o peso. Tenho que preparar tudo, encostá-lo ao barco, prendê-lo bem, fixar o mastro e tomar a direção para a costa”.

a) Um barco de pesca tem massa total $m_B$, incluindo pescador e equipamentos, e consegue deslocar um volume máximo de água $V_B$ na iminência de ser inundado. Um peixe de massa $m_P$ e volume $V_P$ pode ser transportado no interior do barco ou amarrado do lado de fora. Com o peixe dentro, o barco fica na iminência de ser inundado (figura A); nesse caso, o volume de água deslocada pelo barco é $V_B$. Já com o peixe amarrado fora do barco, o conjunto “barco + peixe” fica parcialmente submerso (figura B), com um volume de água deslocada igual a $\alpha\cdot(V_B+V_P)$. Nesse último caso, qual é a fração submersa, $\alpha$, se $V_P=0{,}25V_B$?

b) A linha de pesca deve suportar, sem se romper, uma força de tração da ordem do peso do peixe fisgado. Antes da ruptura, a linha se deforma como uma mola sujeita à força de tração exercida pelo peixe. A constante de mola é dada por $k=E\left(\dfrac{A}{L}\right)$, sendo $E$ o módulo de Young do material, $A$ a área da seção circular reta e $L$ o comprimento da linha. Se para certa linha de pesca $E=3{,}0\times10^9\text{ N/m}^2$, qual deve ser o seu diâmetro se desejarmos que a deformação relativa, $\left(\dfrac{\Delta L}{L}\right)$, sem que haja ruptura, seja de 10% para uma força de tração de módulo $T=900\text{ N}$?

a) Um barco de pesca, com um peixe enorme amarrado do lado de fora, viaja com velocidade constante de módulo $w_B=3{,}0\text{ m/s}$. Um tubarão, inicialmente a uma distância $d_0=160\text{ m}$ em relação ao barco (e posicionado atrás dele), desloca-se – com velocidade também constante e de módulo $w_T=7{,}0\text{ m/s}$ – em busca do peixe que se encontra preso ao barco, alcançando-os após um tempo $\Delta t$ (ver figura A). Qual é o valor de $\Delta t$ e quais são as distâncias percorridas pelo barco, $d_B$, e pelo tubarão, $d_T$, até que o tubarão alcance o barco?

b) A figura B representa um barco a vela viajando com velocidade constante de módulo $w_B=3{,}0\text{ m/s}$ no sentido positivo do eixo $x$. Dentre as diferentes forças que atuam no barco, a força exercida pelo vento sobre a vela, $\vec F_{\text{vento}}$, está representada na figura B e forma um ângulo $\theta=60^\circ$ com a velocidade $\vec w_B$. Ao passar pela frente e por trás da vela de área $A=7{,}0\text{ m}^2$, o vento produz uma diferença de pressão média $\Delta p=p_{\text{trás}}-p_{\text{frente}}=300\text{ N/m}^2$ (ver figura C). Pede-se:

i) o módulo da força do vento, $|\vec F_{\text{vento}}|$, sobre a vela;

ii) o trabalho $\tau$ exercido por $\vec F_{\text{vento}}$ num deslocamento do barco de duração $\Delta t=20\text{ s}$.

A fabricação da próxima geração de chips, previstos para entrada no mercado em 2024, com maior velocidade de processamento e menor consumo de energia, é baseada na tecnologia de litografia com luz na região do ultravioleta extremo. Nesse processo, gotas de estanho são bombardeadas com pulsos de laser, o que dá origem a um plasma que emite radiação com comprimento de onda na região do ultravioleta extremo.

a) Para a formação do plasma, inicialmente eleva-se a temperatura da gota de estanho através do bombardeamento com um primeiro pulso de laser. O estanho tem densidade $\rho\approx7{,}0\times10^3\text{ kg/m}^3$ e calor específico $c_{Sn}\approx200\dfrac{\text{J}}{\text{kg}\cdot{}^\circ\text{C}}$, e o volume da gota é $V=2{,}0\times10^{-14}\text{ m}^3$. Qual a energia que um pulso de laser deve conter para elevar a temperatura da gota de $25^\circ\text{C}$ para $175^\circ\text{C}$?

b) Um pulso de laser de comprimento de onda $\lambda=10{,}5\text{ µm}$ é usado em um experimento de teste para a formação de plasma. A potência do laser, em função do tempo, tem o perfil de um triângulo retângulo, como representado na figura, de forma que a energia total do pulso é dada pela área sob a curva. Sabendo-se que a energia $E$ de um fóton é dada por $E=hf$, sendo $h\approx7\times10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$ e $f$ a frequência da radiação, quantos fótons contém o pulso de laser?

Dado: Velocidade da luz no vácuo: $c=3\times10^8\text{ m/s}$.

Num processo de produção de chips, usa-se luz gerada pelo plasma de uma gota de estanho. Essa luz é usada para gravar o desenho dos dispositivos em uma superfície.

a) Para garantir que uma gota não interfira no plasma de outra, elas devem ser injetadas, em intervalos de tempo bem definidos, na máquina que faz a escrita dos chips. Sabendo que a velocidade das gotas é $v=80\text{ m/s}$, e que elas são injetadas a uma frequência $f=50\text{ kHz}$, qual a distância $\Delta s$ entre duas gotas consecutivas?

b) Para a escrita dos chips, uma lente objetiva é utilizada na focalização de um feixe luminoso na superfície. A figura A ilustra dois raios luminosos incidindo paralelamente ao eixo óptico de uma lente convergente de diâmetro $D=6{,}0\text{ mm}$ e distância focal $F=4{,}0\text{ mm}$, imersa no ar ($n_{ar}=1$). Para mudar a trajetória do feixe luminoso e melhorar o processo de gravação, usa-se um líquido entre a lente e a superfície. A figura B representa uma situação similar à da figura A, com os raios que emergem da lente adentrando um meio líquido. Qual é o índice de refração $n_2$ do líquido?

a) Parte de um dispositivo pertencente a um chip pode ser descrita como sendo formada por duas placas condutoras paralelas de área $A=2{,}0\text{ µm}^2$, separadas por um material dielétrico de espessura $e=0{,}1\text{ µm}$ e constante dielétrica $K\approx4$. Esse conjunto forma um capacitor (ver figura), cuja capacitância $C$ é diretamente proporcional à área das placas ($A$) e inversamente proporcional à espessura do dielétrico ($e$), sendo o fator de proporcionalidade dado por $K\varepsilon_0$, com $\varepsilon_0\approx9\times10^{-12}\text{ F/m}$. Pede-se:

i) a capacitância $C$ do referido capacitor;

ii) a carga armazenada nas placas quando o capacitor é submetido a uma diferença de potencial $V=5{,}0\text{ V}$.

b) Na gravação de chips, grades de difração são usadas para a seleção de comprimentos de onda de feixes luminosos. A grade é formada por reentrâncias que dispersam a luz em diferentes direções (ângulos $\theta$ no diagrama apresentado no espaço de resposta) em função do comprimento de onda. Quando a luz incide perpendicularmente à grade, a relação entre o comprimento de onda $\lambda$ e o ângulo de difração $\theta$ é dada por $d\cdot\sen\theta=m\lambda$, sendo $d$ o espaçamento entre as reentrâncias da grade e $m=1, 2, 3...$ No diagrama, são representados dois feixes de laser, um deles de comprimento de onda $\lambda_1=192\text{ nm}$, e outro de comprimento $\lambda_2$ a ser determinado. Fazendo uso do diagrama e da Tabela 1, complete corretamente a Tabela 2, apresentada no espaço de respostas, da seguinte maneira:

i) preencha a primeira linha e determine $d$;

ii) preencha a segunda linha e determine o comprimento de onda $\lambda_2$.

O controle da interação entre uma superfície (hidrofílica ou hidrofóbica) e a água é de suma importância em muitas aplicações, como o tratamento de impermeabilização de superfícies. Em um estudo recente, observou-se que gotas de água projetadas sobre superfícies extremamente hidrofóbicas são rebatidas como se fossem bolas de borracha.

a) Qual a altura $h$ da qual uma gota deve se desprender, a partir do repouso, para chegar, com velocidade de módulo $v=40\text{ cm/s}$, ao ponto de impacto com a superfície hidrofóbica? Desconsidere o atrito da gota com o ar.

b) No estudo citado, gotas de água de diferentes diâmetros chegam à superfície hidrofóbica com velocidade de módulo $|\vec v_{\text{inicial}}|=0{,}3\text{ m/s}$, e afastam-se logo após a colisão, com coeficiente de restituição $e\approx1$. O gráfico no espaço de respostas mostra o intervalo de tempo $\Delta t$ durante o qual as gotas ficam em contato com a superfície em função da massa $m$ da gota. Qual o módulo da força média, $|\vec F_{\text{média}}|$, exercida pela superfície sobre uma gota de massa $m=8\times10^{-6}\text{ kg}$?