UNICAMP 1987 | 2ª Fase

a) A vazão total é $1000\cdot2=2000\text{ L/s}$. Em duas horas, $\Delta t=7200\text{ s}$.

$V=2000\cdot7200=1{,}44\times10^7\text{ L}$.

b) A massa de ar introduzida é

$m=1{,}3\cdot1{,}44\times10^7=1{,}872\times10^7\text{ g}$.

Como $\Delta T=20-10=10^\circ\text{C}$,

$Q=mc\Delta T=1{,}872\times10^7\cdot0{,}24\cdot10=4{,}4928\times10^7\text{ cal}$.

a) A energia cinética é máxima no ponto mais baixo da canaleta. Da conservação da energia, para uma queda vertical igual ao raio $R$:

$mgR=\dfrac12mv^2 \Rightarrow v^2=2gR$.

No ponto mais baixo, a aceleração é centrípeta:

$a=\dfrac{v^2}{R}=2g=20\text{ m/s}^2$.

b) A energia potencial é máxima no ponto P. Nesse instante $v=0$, portanto não há aceleração centrípeta e a força normal é nula. A resultante é o próprio peso:

$F_R=mg$, verticalmente para baixo.

a) Na montagem A, os três resistores devem ser ligados em série à fonte. Na montagem B, os três resistores devem ser ligados em paralelo à fonte.

b) Em cada montagem os três resistores são idênticos. Por simetria, a potência total de $15\text{ W}$ é igualmente distribuída entre eles:

$P_R=\dfrac{15}{3}=5\text{ W}$.

Logo, cada resistor dissipa $5\text{ W}$ tanto na montagem em série quanto na montagem em paralelo.

a) Para $C_1$, a velocidade cresce uniformemente de $0$ a $4{,}0\text{ m/s}$ em $10\text{ s}$:

$a_1=\dfrac{4{,}0}{10}=0{,}4\text{ m/s}^2$.

b) Os ciclistas têm a mesma velocidade quando $C_1$ atinge $2{,}4\text{ m/s}$:

$2{,}4=0{,}4t \Rightarrow t=6\text{ s}$.

O deslocamento de $C_1$ até esse instante é a área sob o gráfico:

$s_1=\dfrac12\cdot6\cdot2{,}4=7{,}2\text{ m}$.

Para $C_2$, de $0$ a $5\text{ s}$:

$s_{2a}=\dfrac12\cdot5\cdot2{,}4=6\text{ m}$.

De $5$ a $6\text{ s}$:

$s_{2b}=2{,}4\cdot1=2{,}4\text{ m}$.

Logo, $s_2=8{,}4\text{ m}$ e a distância entre eles é

$d=8{,}4-7{,}2=1{,}2\text{ m}$.

Com a lâmpada apagada, a corrente em seu ramo é nula. Portanto, a diferença de potencial entre os nós do circuito é igual à f.e.m. da bateria $\varepsilon_2$:

$U=2\text{ V}$.

No ramo superior, a bateria de $4\text{ V}$ e resistência interna $1\Omega$ estabelece uma corrente de módulo

$i=\dfrac{4-2}{1}=2\text{ A}$.

Como não há corrente no ramo da lâmpada, essa mesma corrente passa pelo resistor $R$.

a) $R=\dfrac{U}{i}=\dfrac{2}{2}=1\Omega$.

b) $i_R=2\text{ A}$.

a) A força de atrito tem módulo

$F_{at}=\mu mg=0{,}4\cdot0{,}5\cdot10=2\text{ N}$.

Durante a compressão de $0{,}1\text{ m}$:

$W_{at}=-F_{at}x=-2\cdot0{,}1=-0{,}2\text{ J}$.

b) Na compressão máxima, o bloco está momentaneamente em repouso. A energia elástica armazenada é

$E_e=\dfrac12kx^2=\dfrac12\cdot160\cdot(0{,}1)^2=0{,}8\text{ J}$.

A energia cinética inicial deve fornecer a energia elástica e compensar a energia dissipada pelo atrito:

$E_c=0{,}8+0{,}2=1{,}0\text{ J}$.

$\dfrac12mv^2=1 \Rightarrow \dfrac12\cdot0{,}5v^2=1 \Rightarrow v=2\text{ m/s}$.

No trecho $A\rightarrow B$, a reta $V\times T$ passa pela origem; portanto, $V/T$ é constante e a transformação é isobárica.

Como $A=(300\text{ K},1\text{ L})$ e $V_B=3\text{ L}$,

$\dfrac{V_A}{T_A}=\dfrac{V_B}{T_B} \Rightarrow T_B=900\text{ K}$.

O trecho $B\rightarrow C$ é isocórico $(V=3\text{ L})$ e $C\rightarrow A$ é isotérmico $(T=300\text{ K})$.

a) No diagrama $P\times V$: $A\rightarrow B$ é um segmento horizontal; $B\rightarrow C$ é um segmento vertical em $V=3\text{ L}$; $C\rightarrow A$ é uma isoterma hiperbólica.

b) A expansão ocorre em $A\rightarrow B$. Para uma transformação isobárica:

$W=nR\Delta T=1\cdot8{,}31\cdot(900-300)=4986\text{ J}$.

$W\approx5{,}0\times10^3\text{ J}$.

a) O ponto de interseção da reta que une P a P’ com o eixo principal determina o centro de curvatura, pois um raio dirigido ao centro de curvatura incide normalmente no espelho e retorna sobre si mesmo.

O vértice do espelho deve ser localizado sobre o eixo de modo que o raio que parte de P e incide no vértice seja refletido em direção a P’, com ângulos iguais em relação ao eixo. O espelho côncavo é então traçado com centro de curvatura no ponto anteriormente determinado.

b) Como P e P’ estão em lados opostos do eixo principal, a imagem é invertida. Para um espelho côncavo, nessa configuração, P’ é uma imagem real e invertida.

a) Não. As forças determinam a aceleração, não o sentido instantâneo da velocidade. O elevador pode estar subindo com velocidade crescente ou descendo com velocidade decrescente.

b) A força resultante é

$F_R=768-640=128\text{ kgf}$, dirigida para cima.

Como $640\text{ kgf}$ corresponde ao peso de uma massa de $640\text{ kg}$,

$a=\dfrac{128}{640}g=0{,}2\cdot10=2\text{ m/s}^2$.

a) Como as esferas estão distantes, cada uma pode ser tratada isoladamente:

$V_A=k\dfrac{-q}{R}$ e $V_B=k\dfrac{2q}{R}$.

Logo,

$V_A-V_B=-\dfrac{3kq}{R}$.

b) Ao tocar A, a carga total $-q$ se divide igualmente entre A e C:

$Q_A'=Q_C'=-\dfrac{q}{2}$.

Em seguida, C toca B, cuja carga é $2q$. A carga total do par B–C é

$2q-\dfrac{q}{2}=\dfrac{3q}{2}$.

Como as esferas têm o mesmo raio, a carga se divide igualmente:

$Q_C=\dfrac12\cdot\dfrac{3q}{2}=\dfrac{3q}{4}$.

Para a frequência fundamental de uma corda:

$f=\dfrac{v}{2l}=\dfrac{1}{2l}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$.

a) Mantendo $l$ e $\mu$ constantes, para dobrar $f$ é necessário quadruplicar a tração:

$T' = 4T \Rightarrow f'=2f$.

b) Mantendo $T$ e $\mu$ constantes, basta reduzir o comprimento à metade:

$l'=\dfrac{l}{2} \Rightarrow f'=2f$.

a) Em 24 minutos, o disco completa

$N=33\dfrac13\cdot24=800$ rotações.

A largura radial ocupada pela faixa é

$15-7=8\text{ cm}$.

Assim, a distância média entre sulcos é

$d=\dfrac{8\text{ cm}}{800}=0{,}01\text{ cm}=0{,}10\text{ mm}$.

b) No final da faixa, a agulha está no raio interno $r=7{,}0\text{ cm}=0{,}070\text{ m}$.

A frequência de rotação é

$f=\dfrac{33\frac13}{60}=\dfrac{5}{9}\text{ Hz}$.

Logo, $\omega=2\pi f=\dfrac{10\pi}{9}\text{ rad/s}$ e

$v=\omega r=\dfrac{10\pi}{9}\cdot0{,}070\approx0{,}24\text{ m/s}$.

a) Para pequenas oscilações, o período do pêndulo simples não depende da amplitude. Como os dois pêndulos têm o mesmo comprimento e são soltos simultaneamente do repouso, ambos levam o mesmo tempo para atingir a posição de equilíbrio. Portanto, o choque ocorre no ponto mais baixo da trajetória, na vertical do ponto de suspensão.

b) Após a colisão, as duas esferas movem-se juntas, mas o comprimento do pêndulo permanece $l=2\text{ m}$. O período não depende da massa:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\pi\sqrt{\dfrac{2}{10}}\approx2{,}8\text{ s}$.

a) Como as cargas têm sinais opostos, o ponto de campo nulo fica fora do segmento, do lado da carga de menor módulo, $Q_2$.

Se $x$ é a distância desse ponto a $Q_2$ e $d=3\sqrt2\text{ m}$:

$k\dfrac{2}{x^2}=k\dfrac{4}{(x+d)^2}$.

$x+d=\sqrt2x \Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt2}{\sqrt2-1}=6+3\sqrt2\text{ m}$.

b) No ponto médio, os campos produzidos por $Q_1$ e $Q_2$ têm o mesmo sentido, de $Q_1$ para $Q_2$.

A distância a cada carga é $r=\dfrac{3\sqrt2}{2}\text{ m}$, de modo que $r^2=4{,}5\text{ m}^2$.

$E=k\dfrac{(4+2)\times10^{-6}}{4{,}5}=1{,}2\times10^4\text{ N/C}$.

$F=Q_3E=2\times10^{-6}\cdot1{,}2\times10^4=2{,}4\times10^{-2}\text{ N}$.

a) Tomando momentos em relação à articulação A, o peso da tábua atua em seu centro, a $3\text{ m}$ de A, enquanto o apoio S está a $5\text{ m}$:

$F_S\cdot5=(50\cdot10)\cdot3$.

$F_S=300\text{ N}$.

Essa é a força do cubo sobre a tábua; pela terceira lei de Newton, a tábua aplica no cubo uma força de $300\text{ N}$ para baixo.

b) Quando o menino de $40\text{ kg}$ fica exatamente sobre S, a força adicional transmitida ao cubo é seu peso:

$\Delta F=40\cdot10=400\text{ N}$.

O empuxo adicional deve satisfazer

$\rho gA\Delta h=400$.

Como $A=1\text{ m}^2$:

$10^3\cdot10\cdot1\cdot\Delta h=400 \Rightarrow \Delta h=0{,}04\text{ m}=4\text{ cm}$.

a) Como o fio é homogêneo, a resistência é proporcional ao comprimento do arco. Assim, para a resistência total de $8\Omega$:

$R_{90}=2\Omega$ e $R_{270}=6\Omega$.

Os dois arcos estão em paralelo entre A e B. Como a corrente total é $4\text{ A}$:

$i_{90}=3\text{ A}$ e $i_{270}=1\text{ A}$.

b) No centro de um arco circular, $B$ é proporcional a $I\theta$. Para o arco de $90^\circ$:

$I\theta=3\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}$.

Para o arco de $270^\circ$:

$I\theta=1\cdot\dfrac{3\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}$.

Os campos têm módulos iguais e sentidos opostos, portanto se cancelam. Os fios retilíneos estão alinhados radialmente com O e não produzem campo nesse ponto.

$B=0$.