Provas Anteriores | UNICAMP 1995 1ª Fase

Q09

Grandezas Físicas — Leis de Escala

Se dois corpos têm todas as suas dimensões lineares proporcionais por um fator de escala $\beta$, então a razão entre suas superfícies é $\beta^2$ e entre seus volumes é $\beta^3$. Seres vivos perdem água por evaporação proporcionalmente às suas superfícies. Então eles devem ingerir líquidos regularmente para repor estas perdas de água. Considere um homem e uma criança com todas as dimensões proporcionais. Considere ainda que o homem tem $80\text{ kg}$; $1{,}80\text{ m}$ de altura e bebe $1{,}2$ litros de água por dia para repor as perdas devidas apenas à evaporação.

A) Se a altura da criança é $0{,}90\text{ m}$, qual é o seu peso?

B) Quantos litros de água por dia ela deve beber apenas para repor suas perdas por evaporação?

Resposta — UNICAMP 1995 — 1ª Fase (Q09)

a) $98\text{ N}$. b) $0{,}30$ litro de água por dia.

Resolução

As dimensões da criança e do homem são proporcionais. O fator de escala linear da criança em relação ao homem é

$\beta=\dfrac{0{,}90}{1{,}80}=\dfrac12$.

A) Para corpos geometricamente semelhantes e de mesma constituição, a massa é proporcional ao volume. Como os volumes variam com o cubo do fator de escala,

$\dfrac{m_c}{m_h}=\beta^3$.

$m_c=80\left(\dfrac12\right)^3=80\cdot\dfrac18=10\text{ kg}$.

A massa da criança é, portanto, $10\text{ kg}$. Como o item pede o peso, usando $g\approx9{,}8\text{ m/s}^2$:

$P=m_cg=10\cdot9{,}8=98\text{ N}$.

Logo, o peso da criança é $98\text{ N}$.

B) A perda de água por evaporação é proporcional à superfície corporal. Como as áreas variam com o quadrado do fator de escala,

$\dfrac{V_c}{V_h}=\beta^2$.

$V_c=1{,}2\left(\dfrac12\right)^2=1{,}2\cdot\dfrac14=0{,}30\text{ L}$.

Portanto, a criança deve beber $0{,}30$ litro de água por dia apenas para repor as perdas por evaporação.

Q10
Hidrostática — Pressão e Força

A pressão em cada um dos quatro pneus de um automóvel de massa $m=800\text{ kg}$ é de 30 libras-força/polegada-quadrada. Adote $1{,}0$ libra = $0{,}50\text{ kg}$; $1{,}0$ polegada = $2{,}5\text{ cm}$ e $g=10\text{ m/s}^2$. A pressão atmosférica é equivalente à de uma coluna de $10\text{ m}$ de água.

A) Quantas vezes a pressão dos pneus é maior do que a atmosférica?

B) Supondo que a força devida à diferença entre a pressão do pneu e a pressão atmosférica, agindo sobre a parte achatada do pneu, equilibre a força de reação do chão, calcule a área da parte achatada.

Resposta — UNICAMP 1995 — 1ª Fase (Q10)

a) $2{,}4$ vezes. b) $1{,}43\times10^{-2}\text{ m}^2\approx143\text{ cm}^2$.

Resolução

A) Uma libra-força corresponde ao peso de uma massa de $0{,}50\text{ kg}$. Assim, com $g=10\text{ m/s}^2$:

$1\text{ lbf}=0{,}50\cdot10=5\text{ N}$.

Além disso,

$1\text{ pol}=2{,}5\text{ cm}=2{,}5\times10^{-2}\text{ m}$,

portanto

$1\text{ pol}^2=(2{,}5\times10^{-2})^2=6{,}25\times10^{-4}\text{ m}^2$.

A pressão do pneu vale

$p_p=\dfrac{30\cdot5}{6{,}25\times10^{-4}}=2{,}4\times10^5\text{ Pa}$.

A pressão atmosférica equivale à pressão de uma coluna de $10\text{ m}$ de água:

$p_{atm}=\rho gh=1000\cdot10\cdot10=1{,}0\times10^5\text{ Pa}$.

Logo,

$\dfrac{p_p}{p_{atm}}=\dfrac{2{,}4\times10^5}{1{,}0\times10^5}=2{,}4$.

A pressão dos pneus é $2{,}4$ vezes a pressão atmosférica.

B) O peso do automóvel é

$P=mg=800\cdot10=8000\text{ N}$.

Admitindo que os quatro pneus dividam igualmente a força de reação do chão, cada pneu sustenta

$F=\dfrac{8000}{4}=2000\text{ N}$.

A diferença entre a pressão interna do pneu e a pressão atmosférica é

$\Delta p=p_p-p_{atm}=2{,}4\times10^5-1{,}0\times10^5=1{,}4\times10^5\text{ Pa}$.

Como $F=\Delta p A$:

$A=\dfrac{F}{\Delta p}=\dfrac{2000}{1{,}4\times10^5}\approx1{,}43\times10^{-2}\text{ m}^2$.

Como $1\text{ m}^2=10^4\text{ cm}^2$:

$A\approx143\text{ cm}^2$.

Portanto, a área da parte achatada de cada pneu é aproximadamente $1{,}43\times10^{-2}\text{ m}^2$, ou $143\text{ cm}^2$.