Provas Anteriores | UNICAMP 1996 2ª Fase

Q01

Cinemática — Velocidade Média e Deslocamento

A figura abaixo representa um mapa da cidade de Vectoria o qual indica a direção das mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os veículos trafegam com a velocidade média de $18\text{ km/h}$. Cada quadra desta cidade mede $200\text{ m}$ por $200\text{ m}$ (do centro da uma rua ao centro da outra rua). Uma ambulância localizada em A precisa pegar um doente localizado bem no meio da quadra em B, sem andar na contramão.

Mapa da cidade de Vectoria com sentidos de tráfego, ambulância em A e doente em B

a) Qual o menor tempo gasto (em minutos) no percurso de A para B?

b) Qual é o módulo do vetor velocidade média (em km/h) entre os pontos A e B?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q01)

a) $3\text{ min}$. b) $10\text{ km/h}$.

Resolução

a) A velocidade dos veículos é

$18\text{ km/h}=5\text{ m/s}$.

Respeitando as mãos do tráfego, o menor percurso possível tem comprimento

$d=200+400+200+100=900\text{ m}$.

Logo,

$t=\dfrac{900}{5}=180\text{ s}=3\text{ min}$.

b) A velocidade média vetorial depende do deslocamento entre A e B. Pela figura, as componentes do deslocamento são $400\text{ m}$ na horizontal e $300\text{ m}$ na vertical:

$|\Delta\vec r|=\sqrt{400^2+300^2}=500\text{ m}$.

Assim,

$|\vec v_m|=\dfrac{500}{180}\approx2{,}78\text{ m/s}=10\text{ km/h}$.

Q02

Cinemática e Dinâmica — Lançamento Oblíquo e Impulso

Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior distância possível. No chute, o pé do goleiro fica em contacto com a bola durante $0{,}10\text{ s}$, e a bola, de $0{,}50\text{ kg}$, atinge o campo a uma distância de $40\text{ m}$. Despreze a resistência do ar.

a) Qual o ângulo em que o goleiro deve chutar a bola?

b) Qual a intensidade do vetor velocidade inicial da bola?

c) Qual o impulso da força do pé do goleiro na bola?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q02)

a) $45^\circ$. b) $20\text{ m/s}$. c) $10\text{ N·s}$.

Resolução

a) Para um lançamento e uma chegada ao mesmo nível, o alcance é máximo quando $\sin(2\theta)=1$. Portanto,

$2\theta=90^\circ\Rightarrow\theta=45^\circ$.

b) O alcance horizontal é

$R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}$.

Como $R=40\text{ m}$, $g=10\text{ m/s}^2$ e $\sin(90^\circ)=1$:

$40=\dfrac{v_0^2}{10}\Rightarrow v_0^2=400\Rightarrow v_0=20\text{ m/s}$.

c) A bola parte do repouso. O impulso da força do pé é igual à variação da quantidade de movimento da bola:

$J=\Delta p=mv_0=0{,}50\cdot20=10\text{ N·s}$.

Q03

Dinâmica — Movimento Circular e Conservação da Energia

Uma criança de $15\text{ kg}$ está sentada em um balanço sustentado por duas cordas de $3{,}0\text{ m}$ de comprimento cada, conforme mostram as figuras (a) e (b) abaixo.

Criança em balanço parado e em movimento atingindo altura de 0,5 m

a) Qual a tensão em cada uma das duas cordas quando o balanço está parado [figura (a)]?

b) A criança passa a balançar de modo que o balanço atinge $0{,}5\text{ m}$ de altura em relação ao seu nível mais baixo, [figura (b)]. Qual a tensão máxima em cada uma das duas cordas nesta situação?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q03)

a) $75\text{ N}$ em cada corda. b) $100\text{ N}$ em cada corda.

Resolução

a) Em repouso, as duas cordas dividem igualmente o peso da criança:

$2T=mg=15\cdot10=150\text{ N}$.

$T=75\text{ N}$.

b) A tensão é máxima no ponto mais baixo, onde a velocidade é máxima. Pela conservação da energia entre a altura máxima e o ponto mais baixo:

$mgh=\dfrac12mv^2$.

$v^2=2gh=2\cdot10\cdot0{,}5=10\text{ m}^2/\text{s}^2$.

No ponto mais baixo, a resultante radial é centrípeta:

$2T-mg=\dfrac{mv^2}{L}$.

$2T-150=\dfrac{15\cdot10}{3}=50$.

$2T=200\Rightarrow T=100\text{ N}$.

Q04

Eletrodinâmica — Potência e Consumo de Energia

O gráfico abaixo mostra a potência elétrica (em kW) consumida em uma certa residência ao longo do dia. A residência é alimentada com a voltagem de $120\text{ V}$. Essa residência tem um fusível que queima se a corrente ultrapassar um certo valor, para evitar danos na instalação elétrica. Por outro lado, esse fusível deve suportar a corrente utilizada na operação normal dos aparelhos da residência.

Gráfico de potência elétrica consumida em uma residência ao longo do dia

a) Qual o valor mínimo da corrente que o fusível deve suportar?

b) Qual é a energia em kWh consumida em um dia nessa residência?

c) Qual será o preço a pagar por 30 dias de consumo se o kWh custa R$ 0,12?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q04)

a) $50\text{ A}$. b) $15\text{ kWh}$. c) R$ 54,00.

Resolução

a) A potência máxima indicada no gráfico é $6\text{ kW}=6000\text{ W}$. Como $P=UI$:

$I_{\max}=\dfrac{6000}{120}=50\text{ A}$.

Logo, o fusível deve suportar, no mínimo, $50\text{ A}$.

b) A energia consumida é a área sob o gráfico $P\times t$. Somando os retângulos:

$E=0{,}5\cdot1+2{,}5\cdot1+0{,}5\cdot3+1{,}5\cdot1+6\cdot1+1\cdot3$.

$E=15\text{ kWh}$.

c) Em 30 dias:

$E_{30}=30\cdot15=450\text{ kWh}$.

$C=450\cdot0{,}12=54$.

Preço: R$ 54,00.

Q05

Eletrodinâmica — Máxima Transferência de Potência

Um gerador de áudio de tensão $V$ tem uma resistência interna $R_i$ e alimenta um alto-falante de resistência $R_a$.

a) Qual a potência dissipada em $R_a$ em termos de $V$ e $R_i$?

b) Qual a relação entre $R_a$ e $R_i$ para que a potência dissipada no alto-falante seja máxima?

sugestão: faça $x=\dfrac{R_a}{R_i}$ e use o fato de que se $(x-1)^2\ge0$ e $x\ge0$ então $\dfrac{x^2+2x+1}{x}\ge4$.

c) Qual a potência máxima que se pode retirar desse gerador de áudio?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q05)

a) $P_a=\dfrac{V^2R_a}{(R_i+R_a)^2}$. b) $R_a=R_i$. c) $P_{\max}=\dfrac{V^2}{4R_i}$.

Resolução

a) A corrente fornecida pelo gerador é

$I=\dfrac{V}{R_i+R_a}$.

A potência dissipada no alto-falante é

$P_a=I^2R_a=\dfrac{V^2R_a}{(R_i+R_a)^2}$.

b) Fazendo $x=R_a/R_i$:

$P_a=\dfrac{V^2}{R_i}\dfrac{x}{(1+x)^2}$.

Da desigualdade fornecida:

$\dfrac{(1+x)^2}{x}\ge4\Rightarrow\dfrac{x}{(1+x)^2}\le\dfrac14$.

A igualdade ocorre para $x=1$. Logo,

$R_a=R_i$.

c) Substituindo $R_a=R_i$:

$P_{\max}=\dfrac{V^2R_i}{(2R_i)^2}=\dfrac{V^2}{4R_i}$.

Q06

Dinâmica — Velocidade Terminal e Dissipação de Energia

Um pára-quedista de $80\text{ kg}$ (pessoa + pára-quedas) salta de um avião. A força de resistência do ar no pára-quedas é dada pela expressão:

$F=-bV^2$

onde $b=32\text{ kg/m}$ é uma constante e $V$ a velocidade do pára-quedista. Depois de saltar, a velocidade de queda vai aumentando até ficar constante. O pára-quedista salta de $2.000\text{ m}$ de altura e atinge a velocidade constante antes de chegar ao solo.

a) Qual a velocidade com que o pára-quedista atinge o solo?

b) Qual foi a energia total dissipada pelo atrito com o ar na queda desse pára-quedista?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q06)

a) $5\text{ m/s}$. b) $1{,}599\times10^6\text{ J}\approx1{,}6\times10^6\text{ J}$.

Resolução

a) Na velocidade terminal, a força resultante é nula:

$mg=bV_t^2$.

$80\cdot10=32V_t^2\Rightarrow V_t^2=25$.

$V_t=5\text{ m/s}$.

b) Tomando o solo como nível de energia potencial nula, a energia dissipada pelo ar é a diferença entre a energia mecânica inicial e a final:

$E_d=mgh-\dfrac12mV_t^2$.

$E_d=80\cdot10\cdot2000-\dfrac12\cdot80\cdot25$.

$E_d=1.600.000-1.000=1.599.000\text{ J}\approx1{,}6\times10^6\text{ J}$.

Q07

Hidrodinâmica — Pressão Dinâmica e Força

“Tornado destrói telhado de ginásio da Unicamp. Um tornado com ventos de 180 km/h destruiu o telhado do ginásio de esportes da Unicamp,...Segundo engenheiros da Unicamp, a estrutura destruída pesa aproximadamente 250 toneladas.”

(Folha de São Paulo, 29/11/95).

Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição da pressão atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento de ar ideal, essa redução de pressão é dada por $\rho V^2/2$, onde $\rho=1{,}2\text{ kg/m}^3$ é a densidade do ar e $V$ a velocidade do vento. Considere que o telhado do ginásio tem $5.400\text{ m}^2$ de área e que estava apenas apoiado nas paredes.

a) Calcule a variação da pressão externa devida ao vento.

b) Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento?

c) Qual a menor velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q07)

a) redução de $1{,}5\times10^3\text{ Pa}$. b) $810\text{ t}$. c) $100\text{ km/h}$.

Resolução

A velocidade de $180\text{ km/h}$ corresponde a

$V=50\text{ m/s}$.

a) A redução de pressão é

$|\Delta p|=\dfrac{\rho V^2}{2}=\dfrac{1{,}2\cdot50^2}{2}=1{,}5\times10^3\text{ Pa}$.

b) A força vertical associada à diferença de pressão é

$F=|\Delta p|A=1{,}5\times10^3\cdot5400=8{,}1\times10^6\text{ N}$.

A massa que teria esse peso é

$m=\dfrac{F}{g}=\dfrac{8{,}1\times10^6}{10}=8{,}1\times10^5\text{ kg}=810\text{ t}$.

c) Para começar a levantar o telhado de $250\text{ t}=2{,}5\times10^5\text{ kg}$:

$\dfrac{\rho V^2}{2}A=mg$.

$V=\sqrt{\dfrac{2mg}{\rho A}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot2{,}5\times10^5\cdot10}{1{,}2\cdot5400}}\approx27{,}8\text{ m/s}$.

$V\approx27{,}8\cdot3{,}6=100\text{ km/h}$.

Q08

Quantidade de Movimento e Energia — Recuo de Patinadores

Dois patinadores inicialmente em repouso, um de $36\text{ kg}$ e outro de $48\text{ kg}$, se empurram mutuamente para tras. O patinador de $48\text{ kg}$ sai com velocidade de $18\text{ km/h}$. Despreze o atrito.

a) Qual a velocidade com que sai o patinador de $36\text{ kg}$?

b) Qual o trabalho total realizado por esses dois patinadores?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q08)

a) $24\text{ km/h}$ em sentido oposto ao patinador de $48\text{ kg}$. b) $1{,}4\times10^3\text{ J}$.

Resolução

$18\text{ km/h}=5\text{ m/s}$.

a) Como o sistema parte do repouso e não há força externa horizontal resultante, conserva-se a quantidade de movimento:

$36v+48\cdot5=0$.

$v=-\dfrac{240}{36}=-6{,}67\text{ m/s}$.

Em módulo,

$|v|=6{,}67\text{ m/s}=24\text{ km/h}$.

b) O trabalho total realizado pelos patinadores é igual ao aumento da energia cinética do sistema:

$W=\dfrac12\cdot48\cdot5^2+\dfrac12\cdot36\cdot(6{,}67)^2$.

$W\approx600+800=1{,}4\times10^3\text{ J}$.

Q09

Gravitação — Órbita Geoestacionária

Satélites de comunicações são retransmissores de ondas eletromagnéticas. Eles são operados normalmente em órbitas cuja velocidade angular $\omega_T$ é igual à da Terra, de modo a permanecerem imóveis em relação às antenas transmissoras e receptoras. Essas órbitas são chamadas de órbitas geoestacionárias.

a) Dados $\omega_T$ e a distância $R$ entre o centro da Terra e o Satélite, determine a expressão da sua velocidade em órbita geoestacionária.

b) Dados $\omega_T$, o raio da Terra $R_T$ e a aceleração da gravidade na superfície da Terra $g$, determine a distância $R$ entre o satélite e o centro da Terra para que ele se mantenha em órbita geoestacionária.

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q09)

a) $v=\omega_TR$. b) $R=\left(\dfrac{gR_T^2}{\omega_T^2}\right)^{1/3}$.

Resolução

a) Em movimento circular uniforme, a velocidade linear e a velocidade angular se relacionam por

$v=\omega_TR$.

b) A força gravitacional fornece a força centrípeta:

$\dfrac{GMm}{R^2}=m\omega_T^2R$.

Na superfície da Terra,

$g=\dfrac{GM}{R_T^2}\Rightarrow GM=gR_T^2$.

Substituindo:

$\dfrac{gR_T^2}{R^2}=\omega_T^2R$.

$R^3=\dfrac{gR_T^2}{\omega_T^2}$.

$R=\left(\dfrac{gR_T^2}{\omega_T^2}\right)^{1/3}$.

Q10

Termodinâmica — Gás Ideal e Pressão

Calibra-se a pressão dos pneus de um carro em $30\text{ psi}$ (libras-força/polegada$^2$) usando nitrogênio na temperatura ambiente ($27^\circ\text{C}$). Para simplificar os cálculos adote: $1\text{ polegada}=2{,}5\text{ cm}$; $1\text{ libra}=5{,}0\text{ N}$ e a constante universal dos gases $R=8{,}0\text{ J/mol·K}$.

a) Quanto vale essa pressão em $\text{N/m}^2$?

b) Faça uma estimativa do volume do pneu e com a mesma estime o número de moles de nitrogênio contidos no pneu.

c) Em um dia quente a temperatura do pneu em movimento atinge $57^\circ\text{C}$. Qual é a variação percentual da pressão no pneu?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q10)

a) $2{,}4\times10^5\text{ N/m}^2$. b) por exemplo, $V\approx3{,}1\times10^{-2}\text{ m}^3$ e $n\approx3{,}1\text{ mol}$. c) aumento de $10\%$.

Resolução

a) Uma polegada quadrada vale

$(2{,}5\text{ cm})^2=(0{,}025\text{ m})^2=6{,}25\times10^{-4}\text{ m}^2$.

Portanto,

$1\text{ psi}=\dfrac{5{,}0}{6{,}25\times10^{-4}}=8{,}0\times10^3\text{ N/m}^2$.

$30\text{ psi}=2{,}4\times10^5\text{ N/m}^2$.

b) Como o item pede uma estimativa, podemos modelar o pneu aproximadamente como um toro. Para dimensões típicas, com raio médio da ordem de $0{,}25\text{ m}$ e raio da seção da ordem de $0{,}08\text{ m}$:

$V\approx2\pi^2Rr^2\approx3{,}1\times10^{-2}\text{ m}^3$.

Na temperatura ambiente, $T=27+273=300\text{ K}$. Pela equação dos gases ideais:

$pV=nRT$.

$n=\dfrac{pV}{RT}\approx\dfrac{2{,}4\times10^5\cdot3{,}1\times10^{-2}}{8{,}0\cdot300}\approx3{,}1\text{ mol}$.

c) Com quantidade de gás e volume constantes, $p/T$ é constante. A nova temperatura é $T_2=57+273=330\text{ K}$:

$\dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{330}{300}=1{,}10$.

Logo, a pressão aumenta em $10\%$.

Q11

Óptica Geométrica — Miopia e Lentes Divergentes

Nos olhos das pessoas míopes, um objeto localizado muito longe, isto é, no infinito, é focalizado antes da retina. À medida que o objeto se aproxima, o ponto de focalização se afasta até cair sobre a retina. A partir deste ponto, o míope enxerga bem. A dioptria $D$, ou “grau”, de uma lente é definida como $D=1/(\text{distância focal})$ e $1\text{ grau}=1\text{ m}^{-1}$. Considere uma pessoa míope que só enxerga bem objetos mais próximos do que $0{,}40\text{ m}$ de seus olhos.

a) Faça um esquema mostrando como uma lente bem próxima dos olhos pode fazer com que um objeto no infinito pareça estar a 40 cm do olho.

b) Qual a dioptria (em graus) dessa lente?

c) A partir de que distância uma pessoa míope que usa óculos de “4 graus” pode enxergar bem sem os óculos?

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q11)

a) lente divergente formando imagem virtual a $40\text{ cm}$ do olho. b) $D=-2{,}5\text{ graus}$. c) $25\text{ cm}$.

Resolução

a) Para que um objeto no infinito possa ser visto nitidamente, a lente colocada junto ao olho deve transformar os raios paralelos em um feixe divergente cujos prolongamentos para trás se encontrem no ponto remoto do míope, a $40\text{ cm}$ do olho. Portanto, a lente deve ser divergente e formar uma imagem virtual a $0{,}40\text{ m}$ à frente do olho.

b) Para um objeto no infinito, $p\to\infty$. Pela equação das lentes:

$\dfrac1f=\dfrac1p+\dfrac1q$.

Como a imagem é virtual, $q=-0{,}40\text{ m}$:

$f=-0{,}40\text{ m}$.

$D=\dfrac1f=\dfrac1{-0{,}40}=-2{,}5\text{ m}^{-1}$.

Logo, a lente tem $-2{,}5$ graus.

c) Óculos de “4 graus” para corrigir miopia correspondem a uma lente divergente de $D=-4\text{ m}^{-1}$:

$f=\dfrac1D=-0{,}25\text{ m}$.

Assim, o ponto remoto do míope está a $0{,}25\text{ m}=25\text{ cm}$ dos olhos. Sem os óculos, ele enxerga bem objetos a partir de distâncias menores ou iguais a esse valor.

Q12

Eletromagnetismo — Espectrômetro de Massa

Espectrômetros de massa são aparelhos utilizados para determinar a quantidade relativa de isótopos dos elementos químicos. A figura (a) abaixo mostra o esquema de um destes espectrômetros. Inicialmente os íons são acelerados na região 1 pela tensão $V$. Na região 2, existe um campo magnético $B$ constante, que obriga os íons a seguirem uma trajetória circular. Se a órbita descrita pelo íon tiver raio $R$, eles atingem a fenda F e são detectados. Responda aos itens (a) e (b) literalmente e ao item (c) numericamente.

Esquema de espectrômetro de massa e gráfico de íons por segundo em função do campo magnético

a) Qual a expressão para a velocidade do íon ao entrar na região 2 em função de sua massa, sua carga e da tensão $V$?

b) Qual a expressão da massa do íon detectado em função da tensão $V$, da carga $q$, do campo magnético $B$ e do raio $R$?

c) Em um dado espectrômetro de massa com $V=10.000\text{ V}$ e $R=10\text{ cm}$, uma amostra de um elemento com carga iônica $+e$ produziu o espectro da figura (b) abaixo. Determine as massas correspondentes a cada um dos picos em unidades de massa atômica (uma) e identifique qual é o elemento químico e quais são os isótopos que aparecem no gráfico. Adote $e=1{,}6\times10^{-19}\text{ C}$ e $1\text{ uma}=1{,}6\times10^{-27}\text{ kg}$.

Resposta — UNICAMP 1996 — 2ª Fase (Q12)

a) $v=\sqrt{\dfrac{2qV}{m}}$. b) $m=\dfrac{qB^2R^2}{2V}$. c) $1\text{ uma}$ e $2\text{ uma}$; hidrogênio, isótopos $^1\mathrm{H}$ (prótio) e $^2\mathrm{H}$ (deutério).

Resolução

a) Na região 1, o trabalho da força elétrica transforma-se em energia cinética:

$qV=\dfrac12mv^2$.

$v=\sqrt{\dfrac{2qV}{m}}$.

b) Na região 2, a força magnética atua como força centrípeta:

$qvB=\dfrac{mv^2}{R}$.

Daí, $R=mv/(qB)$. Combinando essa relação com $qV=mv^2/2$:

$m=\dfrac{qB^2R^2}{2V}$.

c) Para o primeiro pico,

$B_1=\dfrac{\sqrt2}{10}\text{ T}\Rightarrow B_1^2=0{,}02\text{ T}^2$.

$m_1=\dfrac{1{,}6\times10^{-19}\cdot0{,}02\cdot(0{,}10)^2}{2\cdot10^4}=1{,}6\times10^{-27}\text{ kg}=1\text{ uma}$.

Para o segundo pico,

$B_2=\dfrac{\sqrt4}{10}=0{,}20\text{ T}\Rightarrow B_2^2=0{,}04\text{ T}^2$.

$m_2=3{,}2\times10^{-27}\text{ kg}=2\text{ uma}$.

O elemento é o hidrogênio. Os picos correspondem a $^1\mathrm{H}$ (prótio) e $^2\mathrm{H}$ (deutério).

UNICAMP 1996 | 2ª Fase

Dados da prova