Provas Anteriores | UNICAMP 1998 2ª Fase

Q01

Dinâmica — Forças e Cinemática

Considere um avião a jato, com massa total de 100 toneladas ($1{,}0\text{ x }10^5\text{ kg}$), durante a decolagem numa pista horizontal. Partindo do repouso, o avião necessita de $2000\text{ m}$ de pista para atingir a velocidade de $360\text{ km/h}$, a partir da qual ele começa a voar.

a) Qual é a força de sustentação, na direção vertical, no momento em que o avião começa a voar?

b) Qual é a força média horizontal sobre o avião enquanto ele está em contato com o solo durante o processo de aceleração?

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q01)

a) $1{,}0\times10^6\text{ N}$; b) $2{,}5\times10^5\text{ N}$.

Resolução

a) No instante em que o avião começa a voar, a sustentação equilibra o peso:

$F_s=mg=1{,}0\times10^5\cdot10=1{,}0\times10^6\text{ N}$.

b) $360\text{ km/h}=100\text{ m/s}$. Pela equação $v^2=v_0^2+2a\Delta s$:

$100^2=2a\cdot2000\Rightarrow a=2{,}5\text{ m/s}^2$.

Logo, $F=ma=1{,}0\times10^5\cdot2{,}5=2{,}5\times10^5\text{ N}$.

Q02

Cinemática — Queda e Velocidade Terminal

Um objeto é lançado horizontalmente de um avião a $2420\text{ m}$ de altura.

a) Considerando a queda livre, ou seja, desprezando o atrito com o ar, calcule quanto tempo duraria a queda.

b) Devido ao atrito com o ar, após percorrer $200\text{ m}$ em $7{,}0\text{ s}$, o objeto atinge a velocidade terminal constante de $60\text{ m/s}$. Neste caso, quanto tempo dura a queda?

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q02)

a) $22\text{ s}$; b) $44\text{ s}$.

Resolução

a) Na vertical, $h=gt^2/2$:

$2420=5t^2\Rightarrow t^2=484\Rightarrow t=22\text{ s}$.

b) Depois dos primeiros $200\text{ m}$, restam $2420-200=2220\text{ m}$. Esse trecho é percorrido a $60\text{ m/s}$:

$t_2=2220/60=37\text{ s}$.

Assim, $t=7+37=44\text{ s}$.

Q03

Hidrostática — Empuxo e Flutuação

Uma esfera de raio $1{,}2\text{ cm}$ e massa $5{,}0\text{ g}$ flutua sobre a água, em equilíbrio, deixando uma altura $h$ submersa, conforme a figura. O volume submerso como função de $h$ é dado no gráfico. Sendo a densidade da água $1{,}0\text{ g/cm}^3$,

Esfera parcialmente submersa e gráfico do volume submerso em função da altura h

a) calcule o valor de $h$ no equilíbrio;

b) ache a força vertical para baixo necessária para afundar a esfera completamente.

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q03)

a) $h\approx1{,}5\text{ cm}$; b) $F\approx2{,}2\times10^{-2}\text{ N}$.

Resolução

a) Em equilíbrio, o empuxo é igual ao peso. Portanto, a massa de água deslocada é $5{,}0\text{ g}$. Como a densidade da água é $1{,}0\text{ g/cm}^3$, o volume submerso é $5{,}0\text{ cm}^3$.

Pelo gráfico, $V(h)=5{,}0\text{ cm}^3$ corresponde a $h\approx1{,}5\text{ cm}$.

b) Com a esfera totalmente submersa:

$V=\dfrac{4}{3}\pi(1{,}2)^3\approx7{,}24\text{ cm}^3$.

O empuxo máximo vale aproximadamente $0{,}0724\text{ N}$, enquanto o peso vale $0{,}050\text{ N}$. A força adicional para baixo deve satisfazer $P+F=E$:

$F=0{,}0724-0{,}050\approx2{,}2\times10^{-2}\text{ N}$.

Q04

Termodinâmica — Gás Ideal e Ciclo P × V

Uma máquina térmica industrial utiliza um gás ideal, cujo ciclo de trabalho é mostrado na figura abaixo. A temperatura no ponto A é $400\text{ K}$.

Ciclo termodinâmico retangular no diagrama pressão por volume

Utilizando $1\text{ atm}=10^5\text{ N/m}^2$, responda os itens a e b.

a) Qual é a temperatura no ponto C?

b) Calcule a quantidade de calor trocada pelo gás com o ambiente ao longo de um ciclo.

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q04)

a) $1200\text{ K}$; b) $5{,}0\times10^4\text{ J}$ recebidos pelo gás.

Resolução

a) Para a mesma quantidade de gás ideal, $PV/T$ é constante:

$\dfrac{T_C}{T_A}=\dfrac{P_CV_C}{P_AV_A}=\dfrac{1{,}5\cdot2}{1{,}0\cdot1}=3$.

Logo, $T_C=3\cdot400=1200\text{ K}$.

b) Em um ciclo completo, $\Delta U=0$, então o calor líquido trocado é igual ao trabalho líquido realizado pelo gás. O trabalho é a área interna do ciclo:

$W=(1{,}5-1{,}0)\cdot10^5\cdot(2-1)=5{,}0\times10^4\text{ J}$.

Como o ciclo é horário, o trabalho líquido do gás é positivo; portanto, o gás recebe do ambiente $5{,}0\times10^4\text{ J}$ de calor por ciclo.

Q05

Eletrostática — Campo Elétrico e Equilíbrio

Considere uma esfera de massa $m$ e carga $q$ pendurada no teto e sob a ação da gravidade e do campo elétrico $E$ como indicado na figura abaixo.

Esfera carregada suspensa em campo elétrico horizontal

a) Qual é o sinal da carga $q$? Justifique sua resposta.

b) Qual é o valor do ângulo $\theta$ no equilíbrio?

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q05)

a) $q<0$; b) $\theta=\arctan\!\left(\dfrac{|q|E}{mg}\right)$.

Resolução

a) O campo elétrico aponta para a direita, mas a esfera está desviada para a esquerda. Portanto, a força elétrica é oposta a $\vec E$, o que exige $q<0$.

b) No equilíbrio, as componentes da tração satisfazem:

$T\sin\theta=|q|E$ e $T\cos\theta=mg$.

Dividindo as equações:

$\tan\theta=\dfrac{|q|E}{mg}\Rightarrow \theta=\arctan\!\left(\dfrac{|q|E}{mg}\right)$.

Q06

Eletrodinâmica — Gerador Real e Circuitos

Uma bateria de automóvel pode ser representada por uma fonte de tensão ideal $U$ em série com uma resistência $r$. O motor de arranque, com resistência $R$, é acionado através da chave de contato $C$, conforme mostra a figura abaixo.

Circuito equivalente de bateria de automóvel, voltímetro, amperímetro e motor de arranque

Foram feitas as seguintes medidas no voltímetro e no amperímetro ideais:

	Chave aberta	Chave fechada
V (Volts)	12	10
I (Ampères)	0	100

a) Calcule o valor da diferença de potencial $U$.

b) Calcule $r$ e $R$.

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q06)

a) $U=12\text{ V}$; b) $r=0{,}020\Omega$ e $R=0{,}10\Omega$.

Resolução

a) Com a chave aberta, $I=0$, não há queda de tensão em $r$. Assim, a leitura do voltímetro é a própria tensão ideal:

$U=12\text{ V}$.

b) Com a chave fechada, a tensão nos terminais é $10\text{ V}$ e a corrente é $100\text{ A}$. Para a resistência interna:

$10=12-100r\Rightarrow r=0{,}020\Omega$.

Para o motor:

$R=V/I=10/100=0{,}10\Omega$.

Q07

Quantidade de Movimento — Colisão Inelástica

Um objeto de massa $m_1=4{,}0\text{ kg}$ e velocidade $v_1=3{,}0\text{ m/s}$ choca-se com um objeto em repouso, de massa $m_2=2{,}0\text{ kg}$. A colisão ocorre de forma que a perda de energia cinética é máxima mas consistente com o princípio de conservação da quantidade de movimento.

a) Quais as velocidades dos objetos imediatamente após a colisão?

b) Qual a variação da energia cinética do sistema?

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q07)

a) $v'_1=v'_2=2{,}0\text{ m/s}$; b) $\Delta E_c=-6{,}0\text{ J}$.

Resolução

A máxima perda de energia cinética compatível com a conservação da quantidade de movimento ocorre quando os corpos saem juntos, isto é, numa colisão perfeitamente inelástica.

$4\cdot3+2\cdot0=(4+2)v'$.

$v'=2{,}0\text{ m/s}$.

a) Portanto, $v'_1=v'_2=2{,}0\text{ m/s}$.

b) $E_{c,i}=\dfrac12\cdot4\cdot3^2=18\text{ J}$ e $E_{c,f}=\dfrac12\cdot6\cdot2^2=12\text{ J}$.

$\Delta E_c=12-18=-6{,}0\text{ J}$.

Q08

Óptica — Refração da Luz

Um mergulhador, dentro do mar, vê a imagem do Sol nascendo numa direção que forma um ângulo agudo (ou seja, menor que $90^\circ$ ) com a vertical.

a) Faça um desenho esquemático mostrando um raio de luz vindo do Sol ao nascer e o raio refratado. Represente também a posição aparente do Sol para o mergulhador.

b) Sendo $n=1{,}33\simeq\dfrac{4}{3}$ o índice de refração da água do mar, use o gráfico abaixo para calcular aproximadamente o ângulo entre o raio refratado e a vertical.

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q08)

a) O raio refrata-se aproximando-se da normal e o Sol é visto aparentemente acima do horizonte; b) aproximadamente $49^\circ$.

Resolução

a) Ao nascer, o raio incidente chega praticamente paralelo à superfície do mar, portanto com incidência de $90^\circ$ em relação à normal. Ao entrar na água, ele se aproxima da normal. O prolongamento para trás do raio refratado determina a posição aparente do Sol.

Esquema da refração da luz do Sol no horizonte e posição aparente para o mergulhador

b) Pela lei de Snell:

$1\cdot\sin90^\circ=1{,}33\sin r$.

$\sin r\approx\dfrac{1}{1{,}33}\approx0{,}75$.

No gráfico, $\sin r\approx0{,}75$ corresponde a $r\approx49^\circ$ em relação à vertical.

Q09

Energia e Eletrodinâmica — Painéis Fotovoltaicos

Um satélite de telecomunicações em órbita em torno da Terra utiliza o Sol como fonte de energia elétrica. A luz solar incide sobre seus $10\text{ m}^2$ de painéis fotovoltaicos com uma intensidade de $1300\text{ W/m}^2$ e é transformada em energia elétrica com eficiência de 12%.

a) Qual é a energia (em kWh) gerada em 5 horas de exposição ao Sol?

b) O gráfico abaixo representa a corrente utilizada para carregar as baterias do satélite em função do tempo de exposição dos módulos fotovoltaicos ao Sol. Qual é a carga das baterias em Ah (1 Ah = 3600 C) após 5 horas de exposição dos módulos ao Sol?

Gráfico da corrente de carga das baterias em função do tempo

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q09)

a) $7{,}8\text{ kWh}$; b) aproximadamente $1{,}2\text{ Ah}$.

Resolução

a) A potência solar incidente é:

$P_i=1300\cdot10=13000\text{ W}$.

Com eficiência de 12%:

$P_e=0{,}12\cdot13000=1560\text{ W}=1{,}56\text{ kW}$.

Em $5\text{ h}$:

$E=1{,}56\cdot5=7{,}8\text{ kWh}$.

b) A carga em Ah é numericamente igual à área sob o gráfico $I\times t$, com $I$ em ampères e $t$ em horas. Estimando essa área pelo gráfico, obtém-se cerca de $1{,}2\text{ Ah}$ (aproximadamente $1{,}24\text{ Ah}$).

Q10

Gravitação — Órbita Circular

Um míssil é lançado horizontalmente em órbita circular rasante à superfície da Terra. Adote o raio da Terra $R=6400\text{ km}$ e, para simplificar, tome 3 como valor aproximado de $\pi$.

a) Qual é a velocidade de lançamento?

b) Qual é o período da órbita?

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q10)

a) $8{,}0\text{ km/s}$; b) $4800\text{ s}=80\text{ min}$.

Resolução

a) Numa órbita rasante, a aceleração centrípeta é a própria aceleração da gravidade:

$v^2/R=g$.

$v=\sqrt{gR}=\sqrt{10\cdot6{,}4\times10^6}=8{,}0\times10^3\text{ m/s}=8{,}0\text{ km/s}$.

b) $T=2\pi R/v$. Com $\pi\approx3$:

$T=\dfrac{6\cdot6400}{8}=4800\text{ s}=80\text{ min}$.

Q11

Gravitação — Leis de Kepler

A figura abaixo representa exageradamente a trajetória de um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta. O ponto V marca o início do verão no hemisfério sul e o ponto I marca o início do inverno. O ponto P indica a maior aproximação do planeta ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os pontos P, A e o Sol.

Órbita elíptica de um planeta com pontos V, I, P e A

a) Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.

b) Segundo Kepler, a linha que liga o planeta ao Sol percorre áreas iguais em tempos iguais. Coloque em ordem crescente os tempos necessários para realizar os seguintes percursos: VPI, PIA, IAV, AVP.

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q11)

a) máxima em P e mínima em A; b) $t_{VPI}<t_{PIA}=t_{AVP}<t_{IAV}$.

Resolução

a) Pela conservação da energia mecânica e pela 2ª lei de Kepler, o planeta se move mais rapidamente quando está mais próximo do Sol e mais lentamente quando está mais distante. Assim, a velocidade é máxima em P e mínima em A.

b) O tempo de cada percurso é proporcional à área varrida pelo segmento que liga o planeta ao Sol. Como PA é o eixo maior, os percursos PIA e AVP varrem as duas metades da elipse e, portanto, têm tempos iguais. A região VPI, do lado do periélio, tem área menor que meia elipse; a região IAV, do lado do afélio, tem área maior.

Logo:

$t_{VPI}<t_{PIA}=t_{AVP}<t_{IAV}$.

Q12

Eletromagnetismo — Indução Eletromagnética

Um fio condutor retilíneo longo é colocado no plano que contém uma espira condutora conforme a figura abaixo à esquerda. O fio é percorrido por uma corrente $i(t)$ cuja variação em função do tempo é representada na figura abaixo à direita.

Fio retilíneo ao lado de uma espira e gráfico triangular da corrente em função do tempo

a) Qual é a freqüência da corrente que percorre a espira?

b) Faça um gráfico do fluxo magnético que atravessa a espira em função do tempo.

c) Faça um gráfico da força eletromotriz induzida nos terminais da espira em função do tempo.

Resposta — UNICAMP 1998 — 2ª Fase (Q12)

a) $50\text{ Hz}$; b) fluxo triangular, proporcional a $i(t)$; c) f.e.m. em forma de onda retangular, proporcional a $-di/dt$.

Resolução

Para a geometria fixa, o campo magnético produzido pelo fio e o fluxo através da espira são proporcionais à corrente do fio:

$\Phi(t)=K\,i(t)$, em que $K$ depende apenas da geometria.

a) O gráfico de $i(t)$ repete o mesmo estado após $0{,}020\text{ s}$, portanto:

$f=1/T=1/0{,}020=50\text{ Hz}$.

b) O fluxo tem a mesma forma triangular e o mesmo período de $i(t)$, podendo haver apenas inversão de sinal conforme a convenção escolhida para o sentido positivo do fluxo.

Gráfico normalizado do fluxo magnético triangular em função do tempo

c) Pela lei de Faraday, $\varepsilon=-d\Phi/dt=-K\,di/dt$. Como $i(t)$ é linear por trechos, sua derivada é constante em cada trecho; assim, a f.e.m. é uma onda retangular, mudando de sinal nos máximos e mínimos de $i(t)$.

Gráfico normalizado da força eletromotriz induzida em forma de onda retangular

UNICAMP 1998 | 2ª Fase

Dados da prova