Provas Anteriores | UNICAMP 1999 2ª Fase

Q01

Cinemática — Velocidade Média e Leitura de Sinais

A figura abaixo mostra o esquema simplificado de um dispositivo colocado em uma rua para controle de velocidade de automóveis (dispositivo popularmente chamado de radar).

Esquema do dispositivo de controle de velocidade com sensores S1 e S2 e câmera

Os sensores S₁ e S₂ e a câmera estão ligados a um computador. Os sensores enviam um sinal ao computador sempre que são pressionados pelas rodas de um veículo. Se a velocidade do veículo está acima da permitida, o computador envia um sinal para que a câmera fotografe sua placa traseira no momento em que esta estiver sobre a linha tracejada. Para um certo veículo, os sinais dos sensores foram os seguintes:

Sinais dos sensores S1 e S2 em função do tempo

a) Determine a velocidade do veículo em km/h.

b) Calcule a distância entre os eixos do veículo.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q01)

a) $72\text{ km/h}$. b) $3{,}0\text{ m}$.

Resolução

a) Para uma mesma roda, o intervalo entre os sinais de S₁ e S₂ é $0{,}10\text{ s}$. Como a distância entre os sensores é $2\text{ m}$:

$v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}=\dfrac{2}{0{,}10}=20\text{ m/s}=72\text{ km/h}$.

b) Em um mesmo sensor, o intervalo entre a passagem do eixo dianteiro e do eixo traseiro é $0{,}15\text{ s}$. Logo:

$L=v\Delta t=20\cdot0{,}15=3{,}0\text{ m}$.

Q02

Dinâmica — Queda Livre, Aceleração e Força Média

As histórias de super-heróis estão sempre repletas de feitos incríveis. Um desses feitos é o salvamento, no último segundo, da mocinha que cai de uma grande altura. Considere a situação em que a desafortunada caia, a partir do repouso, de uma altura de 81,0 m e que nosso super-herói a intercepte 1,0 m antes dela chegar ao solo, demorando 0,05 s para detê-la, isto é, para anular sua velocidade vertical. Considere que a massa da mocinha é de 50 kg e despreze a resistência do ar.

a) Calcule a força média aplicada pelo super-herói sobre a mocinha, para detê-la.

b) Uma aceleração 8 vezes maior que a gravidade (8g) é letal para um ser humano. Determine quantas vezes a aceleração à qual a mocinha foi submetida é maior que a aceleração letal.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q02)

a) $4{,}05\times10^4\text{ N}$. b) $10$ vezes.

Resolução

A mocinha cai $80\text{ m}$ antes de ser interceptada. Pela conservação da energia, ou por Torricelli:

$v^2=2gh=2\cdot10\cdot80=1600\Rightarrow v=40\text{ m/s}$.

Para anular essa velocidade em $0{,}05\text{ s}$, o módulo da aceleração média é:

$a=\dfrac{40}{0{,}05}=800\text{ m/s}^2$.

a) Durante a frenagem, a força do super-herói aponta para cima e o peso para baixo:

$F-P=ma$.

$F=ma+mg=50\cdot800+50\cdot10=40500\text{ N}=4{,}05\times10^4\text{ N}$.

b) A aceleração letal é $8g=80\text{ m/s}^2$. Portanto:

$\dfrac{800}{80}=10$.

Q03

Dinâmica — Movimento Circular Vertical

Uma atração muito popular nos circos é o “Globo da Morte”, que consiste numa gaiola de forma esférica no interior da qual se movimenta uma pessoa pilotando uma motocicleta. Considere um globo de raio R = 3,6 m.

a) Faça um diagrama das forças que atuam sobre a motocicleta nos pontos A, B, C e D indicados na figura abaixo, sem incluir as forças de atrito. Para efeitos práticos, considere o conjunto piloto + motocicleta como sendo um ponto material.

b) Qual a velocidade mínima que a motocicleta deve ter no ponto C para não perder o contato com o interior do globo?

Globo da Morte com os pontos A, B, C e D

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q03)

a) Peso vertical para baixo e força de contato dirigida para o centro do globo. b) $6{,}0\text{ m/s}$.

Resolução

a) Sem atrito, atuam somente o peso $P=mg$, sempre vertical para baixo, e a força normal $N$, sempre dirigida da motocicleta para o centro do globo.

Em A: $N$ para cima e $P$ para baixo. Em B: $N$ para a esquerda e $P$ para baixo. Em C: $N$ e $P$ para baixo. Em D: $N$ para a direita e $P$ para baixo.

b) No ponto C, a velocidade mínima ocorre no limite de perda de contato, quando $N=0$. Assim:

$mg=\dfrac{mv^2}{R}$.

$v=\sqrt{gR}=\sqrt{10\cdot3{,}6}=6{,}0\text{ m/s}$.

Q04

Dinâmica — Atrito Estático e Cinético

Um carregador em um depósito empurra uma caixa de 20 kg, que inicialmente estava em repouso. Para colocar a caixa em movimento, é necessária uma força horizontal de 30 N. Uma vez iniciado o deslizamento, são necessários 20 N para manter a caixa movendo-se com velocidade constante.

a) Determine os coeficientes de atrito estático e cinético entre a caixa e o solo.

b) Determine o trabalho realizado pelo carregador ao arrastar a caixa por 5 m.

c) Qual seria o trabalho realizado pelo carregador se a força horizontal aplicada inicialmente fosse de 20 N? Justifique sua resposta.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q04)

a) $\mu_e=0{,}15$ e $\mu_c=0{,}10$. b) $100\text{ J}$. c) $0\text{ J}$.

Resolução

A normal vale $N=mg=20\cdot10=200\text{ N}$.

a) No início do movimento, o atrito estático máximo vale $30\text{ N}$:

$\mu_e=\dfrac{30}{200}=0{,}15$.

Durante o movimento uniforme, o atrito cinético vale $20\text{ N}$:

$\mu_c=\dfrac{20}{200}=0{,}10$.

b) Mantendo velocidade constante, o carregador aplica $20\text{ N}$ ao longo de $5\text{ m}$:

$W=Fd=20\cdot5=100\text{ J}$.

c) Uma força inicial de $20\text{ N}$ é menor que o atrito estático máximo de $30\text{ N}$. A caixa não se desloca e, portanto:

$W=0$.

Q05

Quantidade de Movimento — Colisão Perfeitamente Inelástica

Imagine a seguinte situação: um dálmata corre e pula para dentro de um pequeno trenó, até então parado, caindo nos braços de sua dona. Em conseqüência, o trenó começa a se movimentar.

Considere os seguintes dados:

i. a massa do cachorro é de 10 kg;
ii. a massa do conjunto trenó + moça é de 90 kg;
iii. a velocidade horizontal do cachorro imediatamente antes de ser seguro por sua dona é de 18 km/h.

a) Desprezando-se o atrito entre o trenó e o gelo, determine a velocidade horizontal do sistema trenó + moça + cachorro, imediatamente após o cachorro ter caído nos braços de sua dona.

b) Determine a variação de energia cinética no processo.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q05)

a) $0{,}5\text{ m/s}=1{,}8\text{ km/h}$. b) $\Delta E_c=-112{,}5\text{ J}$.

Resolução

$18\text{ km/h}=5\text{ m/s}$.

a) O momento linear horizontal se conserva:

$10\cdot5=(10+90)v_f$.

$v_f=0{,}5\text{ m/s}=1{,}8\text{ km/h}$.

b) Energia cinética inicial:

$E_{c,i}=\dfrac12\cdot10\cdot5^2=125\text{ J}$.

Energia cinética final:

$E_{c,f}=\dfrac12\cdot100\cdot0{,}5^2=12{,}5\text{ J}$.

$\Delta E_c=E_{c,f}-E_{c,i}=12{,}5-125=-112{,}5\text{ J}$.

Q06

Energia Mecânica — Bungee Jumping e Força Elástica

Bungee jumping é um esporte radical, muito conhecido hoje em dia, em que uma pessoa salta de uma grande altura, presa a um cabo elástico. Considere o salto de uma pessoa de 80 kg. A velocidade máxima atingida pela pessoa durante a queda é de 20 m/s. A partir desse instante, a força elástica do cabo começa a agir. O cabo atinge o dobro de seu comprimento normal quando a pessoa atinge o ponto mais baixo de sua trajetória. Para resolver as questões abaixo, despreze a resistência do ar.

a) Calcule o comprimento normal do cabo.

b) Determine a constante elástica do cabo.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q06)

a) $20\text{ m}$. b) $160\text{ N/m}$.

Resolução

a) Enquanto o cabo ainda não exerce força, a pessoa cai livremente. No instante em que o cabo começa a agir, $v=20\text{ m/s}$:

$mgh=\dfrac12mv^2$.

$h=\dfrac{v^2}{2g}=\dfrac{20^2}{2\cdot10}=20\text{ m}$.

Esse é o comprimento normal do cabo.

b) No ponto mais baixo, o cabo tem o dobro do comprimento normal. Assim, a queda total é $2h=40\text{ m}$ e a deformação é $x=h=20\text{ m}$. Pela conservação da energia entre o início e o ponto mais baixo:

$mg(2h)=\dfrac12kx^2$.

$80\cdot10\cdot40=\dfrac12k\cdot20^2$.

$k=160\text{ N/m}$.

Q07

Oscilações e Termologia — Pêndulo e Dilatação Linear

Um relógio de pêndulo marca o tempo corretamente quando funciona à temperatura de 20° C. Quando este relógio se encontra a uma temperatura de 30° C, seu período aumenta devido à dilatação da haste do pêndulo.

a) Ao final de 24 horas operando a 30° C, o relógio atrasa 8,64 s. Determine a relação entre os períodos $\tau_{30}$ a 30° C e $\tau_{20}$ a 20° C, isto é, $\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}$.

b) Determine o coeficiente de expansão térmica linear do material do qual é feita a haste do pêndulo. Use a aproximação: $(1{,}0001)^2=1{,}0002$.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q07)

a) $\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}=1{,}0001$. b) $2{,}0\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.

Resolução

a) Em $24\text{ h}$ há $86400\text{ s}$. Como o relógio atrasa $8{,}64\text{ s}$, a razão entre o período a $30^\circ\text{C}$ e o período a $20^\circ\text{C}$ é:

$\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}=\dfrac{86400+8{,}64}{86400}=1{,}0001$.

b) Para um pêndulo simples, $\tau\propto\sqrt{L}$. Logo:

$\left(\dfrac{\tau_{30}}{\tau_{20}}\right)^2=\dfrac{L_{30}}{L_{20}}=1+\alpha\Delta T$.

Usando a aproximação fornecida:

$1{,}0002=1+\alpha\cdot10$.

$\alpha=2{,}0\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.

Q08

Hidrostática — Pressão Arterial e Vazão

Se você agora está tranqüilo e em repouso, seu coração deve estar batendo cerca de 60 vezes por minuto. Sua pressão arterial deve ser de “12 por 8” ou seja, 120 mm Hg acima da atmosférica no auge da contração e 80 mm Hg no relaxamento do coração. Seu coração tem o volume externo aproximado de uma mão fechada e em cada batida consegue bombear aproximadamente a metade de seu volume em sangue. Considere a densidade do mercúrio $\rho_{Hg}=14\text{ g/cm}^3$ e a densidade do sangue igual à da água, ou seja, $\rho_{sangue}=1{,}0\text{ g/cm}^3$.

a) Até que altura máxima na vertical o coração conseguiria elevar uma coluna de sangue?

b) Faça uma estimativa da quantidade de sangue bombeada em cada batida do coração e calcule a vazão média de sangue através desse órgão.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q08)

a) $1{,}68\text{ m}$. b) Estimando $V_{coração}\approx300\text{ mL}$: $150\text{ mL}$ por batida e $150\text{ mL/s}=9\text{ L/min}$.

Resolução

a) A pressão de $120\text{ mm Hg}$ equivale à pressão exercida por uma coluna de sangue:

$\rho_{Hg}gh_{Hg}=\rho_{sangue}gh_{sangue}$.

$h_{sangue}=\dfrac{14}{1{,}0}\cdot120\text{ mm}=1680\text{ mm}=1{,}68\text{ m}$.

b) Como o item pede uma estimativa, adotamos para uma mão fechada um volume de aproximadamente $300\text{ mL}$. O coração bombeia cerca de metade desse volume em cada batida:

$V_{batida}\approx150\text{ mL}$.

A $60$ batidas por minuto, há aproximadamente uma batida por segundo. Portanto:

$Q\approx150\text{ mL/s}=9\text{ L/min}$.

Q09

Ondulatória e Calorimetria — Microondas e Cavidade Ressonante

Em um forno de microondas, as moléculas de água contidas nos alimentos interagem com as microondas que as fazem oscilar com uma freqüência de 2,40 GHz ($2{,}40\times10^9\text{ Hz}$). Ao oscilar, as moléculas colidem inelasticamente entre si transformando energia radiante em calor. Considere um forno de microondas de 1000 W que transforma 50 % da energia elétrica em calor. Considere a velocidade da luz $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$.

a) Determine o comprimento de onda das microondas.

b) Considere que o forno é uma cavidade ressonante, na qual a intensidade das microondas é nula nas paredes. Determine a distância entre as paredes do forno, na faixa entre 25 e 40 cm, para que a intensidade da radiação seja máxima exatamente em seu centro.

c) Determine o tempo necessário para aquecer meio litro de água de 20 °C para 40 °C. O calor específico da água é 4000 J/kg °C.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q09)

a) $0{,}125\text{ m}$. b) $0{,}3125\text{ m}=31{,}25\text{ cm}$. c) $80\text{ s}$.

Resolução

a) $c=\lambda f$:

$\lambda=\dfrac{3{,}0\times10^8}{2{,}40\times10^9}=0{,}125\text{ m}$.

b) As paredes são nós da onda estacionária. Para que o centro seja um máximo, a distância entre as paredes deve conter um número ímpar de meios comprimentos de onda:

$d=n\dfrac{\lambda}{2}$, com $n$ ímpar.

Como $\lambda/2=6{,}25\text{ cm}$, o único valor entre $25$ e $40\text{ cm}$ é:

$d=5\cdot6{,}25=31{,}25\text{ cm}=0{,}3125\text{ m}$.

c) Meio litro de água corresponde a $0{,}5\text{ kg}$. O calor necessário é:

$Q=mc\Delta T=0{,}5\cdot4000\cdot20=4{,}0\times10^4\text{ J}$.

A potência efetivamente convertida em calor é $0{,}50\cdot1000=500\text{ W}$. Assim:

$t=\dfrac{Q}{P}=\dfrac{4{,}0\times10^4}{500}=80\text{ s}$.

Q10

Óptica — Reflexão Total e Índice de Refração

Ao vermos miragens, somos levados a pensar que há água no chão de estradas. O que vemos é, na verdade, a reflexão da luz do céu por uma camada de ar quente próxima ao solo. Isso pode ser explicado por um modelo simplificado como o da figura abaixo, onde n representa o índice de refração. Numa camada próxima ao solo, o ar é aquecido diminuindo assim seu índice de refração $n_2$.

Considere a situação na qual o ângulo de incidência é de 84°. Adote $n_1=1{,}010$ e use a aproximação $\operatorname{sen}84^\circ=0{,}995$.

Modelo simplificado de uma miragem com duas camadas de ar de índices n1 e n2

a) Qual deve ser o máximo valor de $n_2$ para que a miragem seja vista? Dê a resposta com três casas decimais.

b) Em qual das camadas (1 ou 2) a velocidade da luz é maior? Justifique sua resposta.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q10)

a) $n_{2,\max}=1{,}005$. b) Camada 2.

Resolução

a) No limite para ocorrer reflexão total, o raio refratado faz $90^\circ$ com a normal:

$n_1\operatorname{sen}84^\circ=n_2\operatorname{sen}90^\circ$.

$n_2=1{,}010\cdot0{,}995=1{,}00495\approx1{,}005$.

Para a miragem ser vista por reflexão total, $n_2\le1{,}005$.

b) Como $n=c/v$, menor índice de refração corresponde a maior velocidade da luz. Como $n_2\lt n_1$, a velocidade é maior na camada 2.

Q11

Eletrostática — Lei de Coulomb e Equilíbrio

Uma pequena esfera isolante de massa igual a $5\times10^{-2}\text{ kg}$ e carregada com uma carga positiva de $5\times10^{-7}\text{ C}$ está presa ao teto através de um fio de seda. Uma segunda esfera com carga negativa de $5\times10^{-7}\text{ C}$, movendo-se na direção vertical, é aproximada da primeira. Considere $k=9\times10^9\text{ N C}^2/\text{m}^2$.

Duas esferas carregadas, uma presa ao teto e outra aproximando-se verticalmente

a) Calcule a força eletrostática entre as duas esferas quando a distância entre os seus centros é de 0,5 m.

b) Para uma distância de $5\times10^{-2}\text{ m}$ entre os centros, o fio de seda se rompe. Determine a tração máxima suportada pelo fio.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q11)

a) $9\times10^{-3}\text{ N}$. b) $1{,}4\text{ N}$.

Resolução

O enunciado original apresenta a unidade de $k$ como $\text{N C}^2/\text{m}^2$; essa grafia foi preservada. O cálculo usa o valor numérico fornecido para a constante de Coulomb.

a) Pela lei de Coulomb:

$F=k\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}=9\times10^9\dfrac{(5\times10^{-7})^2}{(0{,}5)^2}=9\times10^{-3}\text{ N}$.

A força é atrativa.

b) Para $r=5\times10^{-2}\text{ m}$:

$F_e=9\times10^9\dfrac{(5\times10^{-7})^2}{(5\times10^{-2})^2}=0{,}9\text{ N}$.

O peso da esfera superior é:

$P=mg=5\times10^{-2}\cdot10=0{,}5\text{ N}$.

Como a atração elétrica e o peso apontam para baixo, a tração máxima é:

$T_{\max}=F_e+P=0{,}9+0{,}5=1{,}4\text{ N}$.

Q12

Eletrodinâmica — Instalação Residencial e Potência Elétrica

Algumas residências recebem três fios da rede de energia elétrica, sendo dois fios correspondentes às fases e o terceiro ao neutro. Os equipamentos existentes nas residências são projetados para serem ligados entre uma fase e o neutro (por exemplo, uma lâmpada) ou entre duas fases (por exemplo, um chuveiro). Considere o circuito abaixo, que representa, de forma muito simplificada, uma instalação elétrica residencial. As fases são representadas por fontes de tensão em corrente contínua e os equipamentos, representados por resistências. Apesar de simplificado, o circuito pode dar uma idéia das conseqüências de uma eventual ruptura do fio neutro. Considere que todos os equipamentos estejam ligados ao mesmo tempo.

Circuito simplificado de instalação elétrica residencial com duas fases, neutro e equipamentos

a) Calcule a corrente que circula pelo chuveiro.

b) Qual é o consumo de energia elétrica da residência em kWh durante quinze minutos?

c) Considerando que os equipamentos se queimam quando operam com uma potência 10% acima da nominal (indicada na figura), determine quais serão os equipamentos queimados caso o fio neutro se rompa no ponto A.

Resposta — UNICAMP 1999 — 2ª Fase (Q12)

a) $20\text{ A}$. b) $1{,}25\text{ kWh}$. c) Somente o ventilador.

Resolução

a) O chuveiro está ligado entre as duas fases, portanto recebe $220\text{ V}$:

$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{220}{11}=20\text{ A}$.

b) Com o neutro intacto, todos os aparelhos operam em suas potências indicadas:

$P_{tot}=335+100+55+110+4400=5000\text{ W}=5{,}0\text{ kW}$.

Em quinze minutos, $\Delta t=0{,}25\text{ h}$:

$E=P\Delta t=5{,}0\cdot0{,}25=1{,}25\text{ kWh}$.

c) Com a ruptura do neutro em A, apenas o ventilador ($220\Omega$) e a TV ($110\Omega$) passam a ficar em série entre as duas fases:

$R_{eq}=220+110=330\Omega$.

$I=\dfrac{220}{330}=\dfrac23\text{ A}$.

Ventilador:

$P_v=I^2R=\left(\dfrac23\right)^2\cdot220\approx98\text{ W}$.

Como $98\text{ W}>1{,}10\cdot55\text{ W}=60{,}5\text{ W}$, o ventilador queima.

TV:

$P_{TV}=\left(\dfrac23\right)^2\cdot110\approx49\text{ W}$.

Como $49\text{ W}\lt1{,}10\cdot110\text{ W}=121\text{ W}$, a TV não queima. Geladeira, lâmpada e chuveiro permanecem nas condições nominais. Portanto, somente o ventilador queima.

UNICAMP 1999 | 2ª Fase

Dados da prova