Provas Anteriores | Unesp 2011 — 2ª Fase

Q19

Mecânica — Quantidade de Movimento — Colisão e lançamento horizontal

A montagem de um experimento utiliza uma pequena rampa AB para estudar colisões entre corpos. Na primeira etapa da experiência, a bolinha I é solta do ponto A, descrevendo a trajetória AB, escorregando sem sofrer atrito e com velocidade vertical nula no ponto B (figura 1).

Figura 1: a bolinha I é solta do ponto A, desce a rampa até B, a altura h acima do chão, e cai descrevendo trajetória parabólica até o ponto C, a certa distância de B linha, a projeção de B no chão.

Com o auxílio de uma folha carbono, é possível marcar o ponto exato C onde a bolinha I tocou o chão e com isto, conhecer a distância horizontal por ela percorrida (do ponto B’ até o ponto C de queda no chão), finalizando a trajetória ABC.

Na segunda etapa da experiência, a bolinha I é solta da mesma forma que na primeira etapa e colide com a bolinha II, idêntica e de mesma massa, em repouso no ponto B da rampa (figura 2).

Figuras 2 e 3: a bolinha I, solta de altura H, colide em B com a bolinha II em repouso; as duas caem em pontos C1 e C2. Vista de cima, B linha, C1 e C2 formam um losango: B linha a C1 e B linha a C2 têm comprimentos d1 e d2 iguais, e cada uma faz o ângulo theta com a direção B linha a C.

Admita que as bolinhas I e II chegam ao solo nos pontos $C_1$ e $C_2$, percorrendo distâncias horizontais de mesmo valor ($d_1=d_2$), conforme a figura 3.

Sabendo que $H=1\text{ m}$; $h=0{,}6\text{ m}$ e $g=10\text{ m/s}^2$, determine as velocidades horizontais da bolinha I ao chegar ao chão na primeira e na segunda etapa da experiência.

Resultado esperado

Primeira etapa: $2\sqrt2\approx2{,}8\text{ m/s}$; segunda etapa: $2{,}0\text{ m/s}$ (colisão elástica).

Resolução comentada

Primeira etapa. Sem atrito, a energia mecânica se conserva entre $A$ e $B$. No ponto $B$ a velocidade é horizontal, e a bolinha desceu $H-h=0{,}4\text{ m}$:

$$v_B=\sqrt{2g(H-h)}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}4}=2\sqrt2\approx2{,}8\text{ m/s}$$

Depois de deixar a rampa, a bolinha faz um lançamento horizontal. A componente horizontal da velocidade não muda, então ao chegar ao chão ela vale $v_1=v_B\approx2{,}8\text{ m/s}$.

Segunda etapa. Em $B$, a bolinha I (velocidade $v_B$) colide com a II, de mesma massa, em repouso. Como as duas caem da mesma altura $h$, o tempo de queda é o mesmo; logo, $d_1=d_2$ significa que as duas saem de $B$ com velocidades horizontais de mesmo módulo $v_2$, simétricas em relação à direção $B’C$, cada uma formando o ângulo $\theta$ com ela.

Na colisão elástica entre massas iguais com uma delas em repouso, as velocidades finais são perpendiculares. Com a simetria da figura 3, isso dá $\theta=45^{\circ}$. A conservação da quantidade de movimento na direção $B’C$ fornece:

$$m\,v_B=2\,m\,v_2\cos45^{\circ}\Rightarrow v_2=\dfrac{v_B}{2\cos45^{\circ}}=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt2}=2{,}0\text{ m/s}$$

A mesma conclusão sai da conservação da energia cinética, $v_B^2=2v_2^2$, que dá $v_2=2{,}0\text{ m/s}$.

Observação: o enunciado não diz que a colisão é elástica; essa é a hipótese que permite determinar o ângulo $\theta$ e é a usual nesse tipo de experimento com bolinhas idênticas.

Q20

Óptica — Reflexão e Espelhos — Espelho plano em rotação

Considere um objeto luminoso pontual, fixo no ponto P, inicialmente alinhado com o centro de um espelho plano E. O espelho gira, da posição $E_1$ para a posição $E_2$, em torno da aresta cujo eixo passa pelo ponto O, perpendicularmente ao plano da figura, com um deslocamento angular de $30^{\circ}$, como indicado

Objeto pontual P sobre uma reta horizontal que passa pelo centro do espelho; o espelho está na vertical (E1) e gira em torno do ponto O, na base, até a posição E2, inclinada de 30 graus em relação a E1.

Copie no espaço específico para Resolução e Resposta, o ponto P, o espelho em $E_1$ e em $E_2$ e desenhe a imagem do ponto P quando o espelho está em $E_1$ ($P_1’$) e quando o espelho está em $E_2$ ($P_2’$). Considerando um raio de luz perpendicular a $E_1$, emitido pelo objeto luminoso em P, determine os ângulos de reflexão desse raio quando o espelho está em $E_1$ ($\alpha_1’$) e quando o espelho está em $E_2$ ($\alpha_2’$).

Resultado esperado

$\alpha_1’=0^{\circ}$ e $\alpha_2’=30^{\circ}$.

Resolução comentada

Imagens. Em um espelho plano, a imagem é simétrica do objeto em relação ao plano do espelho. Com o espelho em $E_1$, $P_1’$ fica sobre a reta $PO$ estendida, atrás do espelho, à mesma distância dele que $P$. Com o espelho em $E_2$, $P_2’$ é a simétrica de $P$ em relação a $E_2$: está na circunferência de centro $O$ que passa por $P$ e por $P_1’$, e a reta $PP_2’$ é perpendicular a $E_2$. Como o espelho girou $30^{\circ}$, a imagem girou $2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}$ em torno de $O$.

Ângulos de reflexão. O ângulo de reflexão é medido entre o raio refletido e a normal ao espelho, e é igual ao de incidência. Com o espelho em $E_1$, o raio emitido por $P$ é perpendicular ao espelho, ou seja, incide ao longo da normal:

$$\alpha_1’=0^{\circ}$$

Ao girar o espelho de $30^{\circ}$, a normal também gira $30^{\circ}$. O mesmo raio, que não mudou de direção, passa a formar $30^{\circ}$ com a nova normal. Portanto:

$$\alpha_2’=30^{\circ}$$

Observação: o enunciado pede também a construção gráfica das imagens $P_1’$ e $P_2’$; aqui ela é descrita em palavras, e a resposta numérica pedida são os ângulos $\alpha_1’$ e $\alpha_2’$.

Q21

Eletromagnetismo — Indução Eletromagnética — Fluxo magnético em espira girante

Um gerador eletromagnético é constituído por uma espira com seção reta e área $S$, que gira com velocidade angular $\omega$ no interior de um campo magnético uniforme de intensidade $B$. À medida que a espira gira, o fluxo magnético $\Phi$ que a atravessa varia segundo a expressão $\Phi(t)=B\cdot S\cdot\cos\omega t$ onde $t$ é o tempo, produzindo uma força eletromotriz nos terminais do gerador eletromagnético, cujo sentido inverte-se em função do giro da espira. Assim, a corrente no resistor $R$, cujo sentido inverte a cada meia volta, é denominada corrente alternada.

Espira retangular que gira entre dois ímãs, em torno de um eixo perpendicular ao campo magnético B, ligada a um resistor R; o sentido da corrente i alterna a cada meia volta.

Considere a espira com seção reta de $10\text{ cm}^2$, girando à razão de $20$ voltas por segundo, no interior de um campo magnético de intensidade igual a $2\times10^{-5}\text{ T}$.

Trace o gráfico do fluxo magnético $\Phi(t)$ que atravessa a espira em função do tempo, durante um período ($T$) indicando os valores do fluxo magnético nos instantes $\dfrac T4$, $\dfrac T2$, $\dfrac{3T}{4}$ e $T$.

Resultado esperado

Fluxo em $t=0$: $2\times10^{-8}\text{ Wb}$; em $T/4$: $0$; em $T/2$: $-2\times10^{-8}\text{ Wb}$; em $3T/4$: $0$; em $T$: $2\times10^{-8}\text{ Wb}$ (período $T=0{,}05\text{ s}$).

Resolução comentada

A amplitude do fluxo é $\Phi_{\text{máx}}=B\,S$. Com $S=10\text{ cm}^2=1{,}0\times10^{-3}\text{ m}^2$:

$$\Phi_{\text{máx}}=2\times10^{-5}\cdot1{,}0\times10^{-3}=2\times10^{-8}\text{ Wb}$$

A espira dá $20$ voltas por segundo, então a frequência é $f=20\text{ Hz}$ e o período é:

$$T=\dfrac1f=\dfrac1{20}=0{,}05\text{ s}\qquad\left(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\right)$$

Com $\Phi(t)=\Phi_{\text{máx}}\cos\dfrac{2\pi t}{T}$, os valores pedidos são:

$$\Phi(0)=\Phi(T)=+2\times10^{-8}\text{ Wb},\quad \Phi\!\left(\tfrac T4\right)=\Phi\!\left(\tfrac{3T}4\right)=0,\quad \Phi\!\left(\tfrac T2\right)=-2\times10^{-8}\text{ Wb}$$

O gráfico é uma cossenoide que começa no máximo, cruza o zero em $T/4$, atinge o mínimo em $T/2$, volta a cruzar o zero em $3T/4$ e retorna ao máximo em $T$:

Gráfico do fluxo magnético em unidades de 10 elevado a menos 8 weber em função do tempo: cossenoide que vale 2,0 em t igual a 0, zero em T sobre 4, menos 2,0 em T sobre 2, zero em 3T sobre 4 e 2,0 em T.