Provas Anteriores | Unesp 2019 — 2ª Fase

Q19

Mecânica — Pêndulo e Conservação da Energia

Um caminhão de brinquedo move-se em linha reta sobre uma superfície plana e horizontal com velocidade constante. Ele leva consigo uma pequena esfera de massa $m=600\text{ g}$ presa por um fio ideal vertical de comprimento $L=40\text{ cm}$ a um suporte fixo em sua carroceria.

Caminhão de brinquedo em movimento com esfera suspensa verticalmente por um fio de comprimento L, antes da colisão

Em um determinado momento, o caminhão colide inelasticamente com um obstáculo fixo no solo, e a esfera passa a oscilar atingindo o ponto mais alto de sua trajetória quando o fio forma um ângulo $\theta=60^\circ$ em relação à vertical.

Caminhão parado após a colisão e esfera no ponto mais alto da oscilação, com velocidade nula e fio formando ângulo theta com a vertical

Adotando $g=10\text{ m/s}^2$, $\cos 60^\circ=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ e desprezando a resistência do ar, calcule:

a) a intensidade da tração no fio, em N, no instante em que a esfera para no ponto mais alto de sua trajetória.

b) a velocidade escalar do caminhão, em m/s, no instante em que ele se choca contra o obstáculo.

Resultado esperado

a) $3{,}0\text{ N}$; b) $2{,}0\text{ m/s}$.

Resolução

a) No ponto mais alto da trajetória, a velocidade instantânea da esfera é nula. Assim, a aceleração centrípeta também é nula nesse instante.

Na direção radial, a componente do peso voltada para o ponto de suspensão é $mg\cos\theta$. Portanto:

$T=mg\cos\theta$

$T=0{,}600\cdot10\cdot\dfrac12=3{,}0\text{ N}$.

b) No instante da colisão, o caminhão para, mas a esfera mantém inicialmente a velocidade horizontal que possuía imediatamente antes do choque. Essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional durante a subida.

A elevação da esfera é:

$h=L-L\cos\theta=L(1-\cos\theta)$

$h=0{,}40\left(1-\dfrac12\right)=0{,}20\text{ m}$.

Aplicando a conservação da energia mecânica à esfera:

$\dfrac12mv^2=mgh$

$v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}20}=2{,}0\text{ m/s}$.

Q20

Ondulatória — Ondas Estacionárias em Cordas

Uma corda elástica, de densidade linear constante $\mu=0{,}125\text{ kg/m}$, tem uma de suas extremidades presa a um vibrador que oscila com frequência constante. Essa corda passa por uma polia, cujo ponto superior do sulco alinha-se horizontalmente com o vibrador, e, na outra extremidade, suspende uma esfera de massa $1{,}8\text{ kg}$, em repouso. A configuração da oscilação da corda é mostrada pela figura 1.

Figura 1: onda estacionária no trecho horizontal de 2,4 m da corda, com a esfera suspensa no ar

Em seguida, mantendo-se a mesma frequência de oscilação constante no vibrador, a esfera é totalmente imersa em um recipiente contendo água, e a configuração da oscilação na corda se altera, conforme figura 2.

Figura 2: nova onda estacionária no trecho horizontal de 2,4 m da corda, com a esfera totalmente imersa em água

Adotando $g=10\text{ m/s}^2$ e sabendo que a velocidade de propagação de uma onda em uma corda de densidade linear $\mu$, submetida a uma tração $T$, é dada por $v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}$, calcule:

a) a frequência de oscilação, em Hz, do vibrador.

b) a intensidade do empuxo, em N, exercido pela água sobre a esfera, na situação da figura 2.

Resultado esperado

a) $5{,}0\text{ Hz}$; b) $16\text{ N}$.

Resolução

a) Na figura 1, a esfera está fora da água. Logo, a tração na corda é igual ao peso da esfera:

$T_1=mg=1{,}8\cdot10=18\text{ N}$.

A velocidade da onda na corda é:

$v_1=\sqrt{\dfrac{T_1}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{18}{0{,}125}}=12\text{ m/s}$.

A figura 1 apresenta dois ventres no trecho de comprimento $L=2{,}4\text{ m}$. Assim, nesse trecho cabem dois meios comprimentos de onda:

$L=2\dfrac{\lambda_1}{2}$

$\lambda_1=2{,}4\text{ m}$.

Portanto, a frequência do vibrador é:

$f=\dfrac{v_1}{\lambda_1}=\dfrac{12}{2{,}4}=5{,}0\text{ Hz}$.

b) Na figura 2, o mesmo trecho de $2{,}4\text{ m}$ apresenta seis ventres:

$L=6\dfrac{\lambda_2}{2}$

$\lambda_2=\dfrac{2L}{6}=0{,}80\text{ m}$.

A frequência permanece a mesma. Logo:

$v_2=f\lambda_2=5\cdot0{,}80=4{,}0\text{ m/s}$.

Da relação entre a velocidade da onda e a tração:

$T_2=\mu v_2^2=0{,}125\cdot(4)^2=2{,}0\text{ N}$.

Com a esfera totalmente imersa e em equilíbrio vertical:

$T_2+E=mg$

$E=18-2=16\text{ N}$.

Q21

Eletromagnetismo — Campo Elétrico e Força Magnética

Em um equipamento utilizado para separar partículas eletrizadas atuam dois campos independentes, um elétrico, $\vec E$, e um magnético, $\vec B$, perpendiculares entre si. Uma partícula de massa $m=4\times10^{-15}\text{ kg}$ e carga $q=8\times10^{-6}\text{ C}$ parte do repouso no ponto $P$, é acelerada pelo campo elétrico e penetra, pelo ponto $Q$, na região onde atua o campo magnético, passando a descrever uma trajetória circular de raio $R$, conforme a figura.

Região com campo elétrico uniforme entre P e Q e campo magnético perpendicular ao plano, onde a partícula descreve trajetória semicircular de raio R

Sabendo que entre os pontos $P$ e $Q$ existe uma diferença de potencial de $40\text{ V}$, que a intensidade do campo magnético é $B=10^{-3}\text{ T}$ e desprezando ações gravitacionais sobre a partícula eletrizada, calcule:

a) a intensidade do campo elétrico $\vec E$, em N/C.

b) o raio $R$, em m, da trajetória circular percorrida pela partícula na região em que atua o campo magnético $\vec B$.

Resultado esperado

a) $2{,}0\times10^2\text{ N/C}$; b) $0{,}20\text{ m}$.

Resolução

a) Entre $P$ e $Q$, o campo elétrico é uniforme e a distância indicada na figura é $d=0{,}20\text{ m}$. Assim:

$\Delta V=Ed$

$E=\dfrac{40}{0{,}20}=200\text{ N/C}$.

b) A partícula parte do repouso. O trabalho realizado pela força elétrica transforma-se em energia cinética:

$q\Delta V=\dfrac12mv^2$.

Substituindo os valores:

$8\times10^{-6}\cdot40=\dfrac12\cdot4\times10^{-15}v^2$

$v=4\times10^5\text{ m/s}$.

Na região magnética, como a velocidade é perpendicular a $\vec B$, a força magnética atua como força centrípeta:

$qvB=\dfrac{mv^2}{R}$.

Portanto:

$R=\dfrac{mv}{qB}$

$R=\dfrac{4\times10^{-15}\cdot4\times10^5}{8\times10^{-6}\cdot10^{-3}}=0{,}20\text{ m}$.