Provas Anteriores | Unifesp 2024 | Prof. Ricardo Bastos

Q11

Estática — Equilíbrio de Corpo Extenso e Torque

As figuras 1 e 2 mostram uma caixa de massa 4 kg apoiada, em repouso, sobre uma barra AB de massa desprezível ligada, pela articulação O, a uma torre vertical fixa. Na situação da figura 1, a barra é mantida em repouso na horizontal por uma corrente de massa desprezível. Quando a corrente é retirada, deixa-se a barra AB girar lentamente no sentido horário até ser novamente colocada em repouso, presa por uma trava (T), como mostra a figura 2.

Figura 1 descrita no enunciado: barra horizontal AB articulada em O sobre uma torre vertical. O ponto A fica 0,4 m à esquerda de O, preso por uma corrente que desce até a torre fazendo 45° com a vertical. A caixa está apoiada sobre a barra 1,0 m à direita de O (lado B).

Figura 2 descrita no enunciado: com a corrente retirada, a barra gira no sentido horário até ser travada por T. A extremidade A fica elevada, formando 30° com a vertical (linha tracejada de referência), e a caixa permanece apoiada na extremidade B, agora inclinada.

Adotando g = 10 m/s² e desprezando o atrito na articulação O, calcule, em newtons:

a)a intensidade da força aplicada pela barra AB sobre a caixa e a intensidade da força de tração aplicada pela corrente sobre a barra AB, na situação da figura 1.

RespostaForça da barra sobre a caixa = $40$ N; tração na corrente = $100\sqrt{2} \approx 141{,}4$ N.

b)a intensidade da força aplicada pela barra AB sobre a caixa, na situação da figura 2.

Resposta$40$ N (a mesma da figura 1).

Resolução

A caixa está em equilíbrio apoiada sobre a barra, sujeita a apenas duas forças: seu peso ($P = mg = 4\times10 = 40$ N, vertical para baixo) e a força normal que a barra exerce sobre ela. Como são só duas forças e a caixa está em repouso, elas devem ser iguais em módulo e opostas em direção — logo, a força da barra sobre a caixa é $40$ N, na vertical, para cima.

Pela 3ª Lei de Newton, a caixa empurra a barra para baixo com $40$ N, aplicados a $1{,}0$ m de O. Como a barra é horizontal, o braço de alavanca dessa força é a própria distância horizontal: torque $= 40 \times 1{,}0 = 40$ N·m (sentido horário).

A corrente traciona o ponto A, a $0{,}4$ m de O, fazendo $45°$ com a vertical — logo, a componente vertical da tração é $T\cos45° = T\dfrac{\sqrt2}{2}$. Como A também está sobre a barra horizontal, o braço de alavanca dessa componente também é a distância horizontal, $0{,}4$ m, e o torque que ela gera é anti-horário (equilibra a caixa). Igualando os torques: $0{,}4 \times T\dfrac{\sqrt2}{2} = 40 \Rightarrow T = \dfrac{80}{0{,}4\sqrt2} = \dfrac{200}{\sqrt2} = 100\sqrt2 \approx 141{,}4$ N.

Na figura 2, a barra está inclinada, mas a caixa continua apoiada nela em repouso, sujeita apenas ao próprio peso e à força de contato da barra. O mesmo argumento de duas forças em equilíbrio vale para qualquer inclinação: a força resultante que a barra aplica na caixa precisa anular o peso, então continua valendo $40$ N, para cima — independentemente do ângulo da barra.

Q12

Termologia — Calorimetria e Mudança de Estado

Em um dia em que a temperatura ambiente estava elevada no litoral, uma pessoa retirou 3 litros de água a 40 ºC de um reservatório por meio de uma torneira com vazão constante de 4,5 L/min e, para resfriar essa água, acrescentou a ela vários cubos de gelo iguais, cada um com massa de 50 g e temperatura de –12 ºC, retirados de um freezer.

a)Expresse a vazão da torneira em unidades do Sistema Internacional de Unidades (m³/s) e calcule o intervalo de tempo, em segundos, em que a pessoa retirou os 3 litros de água do reservatório, utilizando essa torneira.

RespostaVazão $= 7{,}5\times10^{-5}$ m³/s; tempo $= 40$ s.

b)Sabe-se que o calor específico do gelo é 0,5 cal/(g·ºC), que o calor específico da água líquida é 1 cal/(g·ºC), que o calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g, que a densidade da água é 1 g/cm³ = 10³ kg/m³, que a capacidade térmica do recipiente no qual a água foi colocada é desprezível e que não ocorreu perda de calor para o ambiente. Calcule quantos cubos de gelo foram acrescentados aos três litros de água para que, depois de atingido o equilíbrio térmico, a pessoa tivesse apenas água no estado líquido, a 22 ºC.

Resposta$10$ cubos de gelo.

Resolução

Convertendo a vazão: $4{,}5$ L/min $= \dfrac{4{,}5\times10^{-3}\text{ m}^3}{60\text{ s}} = 7{,}5\times10^{-5}$ m³/s. Para retirar $3$ L $=3\times10^{-3}$ m³: $\Delta t = \dfrac{V}{\text{vazão}} = \dfrac{3\times10^{-3}}{7{,}5\times10^{-5}} = 40$ s.

Os $3$ L de água têm massa $3.000$ g (densidade $1$ g/cm³). Calor perdido pela água ao esfriar de $40$ ºC para $22$ ºC: $Q_{\text{água}} = m c \Delta T = 3.000 \times 1 \times (40-22) = 54.000$ cal.

Cada grama de gelo, para terminar como água líquida a $22$ ºC, precisa: aquecer de $-12$ ºC a $0$ ºC ($0{,}5 \times 12 = 6$ cal/g), fundir ($80$ cal/g) e aquecer de $0$ ºC a $22$ ºC ($1 \times 22 = 22$ cal/g) — total $6+80+22=108$ cal/g.

No equilíbrio, o calor perdido pela água é absorvido pelo gelo: $m_{\text{gelo}} \times 108 = 54.000 \Rightarrow m_{\text{gelo}} = 500$ g. Como cada cubo tem $50$ g, o número de cubos é $500/50 = 10$.

Q13

Óptica — Reflexão, Refração e Reflexão Total

Para demonstrar as leis da reflexão e da refração luminosa, foi montado o aparato ilustrado na figura, constituído por um aquário de vidro transparente contendo glicerina até certa altura, por dois espelhos planos, $E_1$ e $E_2$, e por uma fonte de laser. O espelho $E_1$ está apoiado na parede lateral esquerda e no fundo do aquário. O espelho $E_2$ está apoiado no fundo horizontal do aquário, com sua face refletora voltada para cima.

Figura descrita no enunciado: um feixe de laser vertical entra pelo topo do aquário, incide perpendicularmente na glicerina (sem desviar), desce até o espelho $E_1$ (inclinado, no canto inferior esquerdo) fazendo um ângulo de incidência $i$ com a normal. Reflete, sobe e atinge a superfície glicerina–ar fazendo $60°$ com a normal vertical ali — ângulo maior que o limite, sofrendo reflexão total. O feixe desce novamente, reflete no espelho $E_2$ (horizontal, no fundo) e sobe até a parede lateral direita, onde refrata para o ar fazendo um ângulo de refração $r$ com a normal horizontal.

Um feixe de laser propagando-se pelo ar incide perpendicularmente na superfície da glicerina e, após a refração, sofre uma reflexão no espelho $E_1$, uma reflexão total na interface glicerina–ar, nova reflexão no espelho $E_2$ e refrata para o ar na face lateral direita do aquário. Adote 1,0 e 1,5 para os índices de refração absolutos do ar e da glicerina, respectivamente, e $c = 3,0 \times 10^8$ m/s.

a)Calcule, em m/s, a velocidade de propagação do laser na glicerina e, considerando as informações da figura, obtenha, em graus, o ângulo de incidência (i) desse feixe no espelho $E_1$.

Resposta$v = 2{,}0\times10^{8}$ m/s; $i = 30°$.

b)Obtenha o seno do ângulo limite para refração na interface glicerina–ar e o seno do ângulo de refração (r) quando o feixe de laser emerge para o ar, na face lateral direita do aquário.

RespostaSendo $L$ o ângulo limite: $\text{sen}(L) = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$; $\text{sen}(r) = 0{,}75$.

Resolução

A velocidade na glicerina vem direto da definição de índice de refração: $n = \dfrac{c}{v} \Rightarrow v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3{,}0\times10^8}{1{,}5} = 2{,}0\times10^8$ m/s.

Como o feixe entra perpendicular à superfície, ele desce em linha reta (vertical) até $E_1$ sem desviar. Esse mesmo raio, após refletir em $E_1$, é o que incide na superfície superior fazendo $60°$ com a normal vertical ali. A direção do raio não muda entre as duas reflexões — então o ângulo entre o raio refletido e a vertical também é $60°$ logo após $E_1$. Pela lei da reflexão em $E_1$, a normal do espelho biseta o ângulo entre o raio incidente (vertical) e o refletido ($60°$ da vertical): a normal de $E_1$ fica a $30°$ da vertical, e o ângulo de incidência — medido entre o raio vertical e essa normal — é $i = 30°$.

O seno do ângulo limite é $\text{sen}(L) = \dfrac{n_{ar}}{n_{glicerina}} = \dfrac{1{,}0}{1{,}5} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$. Como $\text{sen}(60°) = \dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}87 > 0{,}67$, o ângulo de $60°$ excede o limite e ocorre reflexão total, confirmando o enunciado.

Refletindo em $E_2$ (espelho horizontal), o raio mantém o mesmo ângulo com a vertical ($60°$), só troca o sentido vertical — logo, ao chegar na parede lateral direita (normal horizontal), o ângulo de incidência ali é o complementar, $90°-60°=30°$. Pela lei de Snell: $n_{glicerina}\,\text{sen}(30°) = n_{ar}\,\text{sen}(r) \Rightarrow 1{,}5\times0{,}5 = 1{,}0\times\text{sen}(r) \Rightarrow \text{sen}(r) = 0{,}75$. Como $0{,}75$ ainda é maior que $\text{sen}(L)\approx0{,}67$ mas agora o ângulo de incidência ($30°$) é menor que o limite (cujo seno é $0{,}67$), a luz refrata normalmente para o ar, como descrito no enunciado.

Q14

Ondulatória — Refração de Ondas em Cordas

A figura mostra, fora de escala, duas cordas homogêneas, 1 e 2, de densidades lineares de massa $\mu_1$ e $\mu_2 = 3\mu_1$, conectadas no ponto P. Nessa figura, observa-se uma onda propagando-se para a direita na corda 1, com velocidade $v_1$ e frequência $f_1$, antes de refratar para a corda 2, onde se propagará com velocidade e frequência $v_2$ e $f_2$, respectivamente.

Figura descrita no enunciado: onda senoidal na corda 1 se propagando para a direita com velocidade $v_1$. O ponto C está marcado sobre a corda; x é a distância entre duas cristas consecutivas; y é a distância, mais à frente na corda 1 (já sem ondulação visível no trecho reto até o ponto P), até a conexão com a corda 2.

Sabe-se que no mesmo intervalo de tempo $\Delta t = 2$ s em que essa onda percorrer o trecho de comprimento y, na corda 1, o ponto C, indicado na figura, realizará quatro oscilações completas na vertical. Sendo x a distância entre duas cristas consecutivas na corda 1 e sabendo que o sistema formado pelas duas cordas é submetido a uma força de tração de intensidade constante,

a)obtenha o valor de $f_1$, em Hz, e calcule o valor da razão $\dfrac{y}{x}$.

Resposta$f_1 = 2$ Hz; $\dfrac{y}{x} = 4$.

b)obtenha o valor de $f_2$, em Hz, e calcule o valor da razão $\dfrac{v_1}{v_2}$.

Resposta$f_2 = 2$ Hz; $\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt3 \approx 1{,}73$.

Resolução

O ponto C completa 4 oscilações no mesmo intervalo $\Delta t = 2$ s, então o período é $T_1 = \dfrac{\Delta t}{4} = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$ s, e a frequência é $f_1 = \dfrac{1}{T_1} = 2$ Hz.

A distância x entre duas cristas consecutivas é, por definição, o comprimento de onda na corda 1: $\lambda_1 = x$. A velocidade é $v_1 = \lambda_1 f_1 = 2x$.

Por outro lado, esse mesmo intervalo $\Delta t=2$ s é o tempo para a onda percorrer o trecho y: $v_1 = \dfrac{y}{\Delta t} = \dfrac{y}{2}$. Igualando as duas expressões de $v_1$: $2x = \dfrac{y}{2} \Rightarrow y = 4x \Rightarrow \dfrac{y}{x}=4$.

No ponto de conexão P, as duas cordas oscilam junto — a frequência não muda ao passar de uma corda para a outra: $f_2 = f_1 = 2$ Hz.

Como a tração T é a mesma nas duas cordas, a velocidade de propagação é $v=\sqrt{T/\mu}$. Logo $\dfrac{v_1}{v_2} = \sqrt{\dfrac{T/\mu_1}{T/\mu_2}} = \sqrt{\dfrac{\mu_2}{\mu_1}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.

Q15

Eletrodinâmica — Resistores e Resistividade

Em cursos relacionados à área da saúde, é comum a utilização de bonecos no estudo do comportamento eletrofisiológico do corpo humano. Considere que um desses bonecos seja feito de um material externo isolante e tenha, em seu interior, cinco cilindros constituídos de um mesmo material condutor representando os braços direito e esquerdo (BD e BE), o tórax (T) e as pernas direita e esquerda (PD e PE). Os cilindros são conectados entre si por fios de resistência desprezível e são conectados com o exterior por meio de eletrodos fixados na superfície do boneco. As características geométricas de cada cilindro estão indicadas na tabela.

Admita que a resistência elétrica de cada braço do boneco seja $R_B$ e que dois experimentos diferentes sejam realizados com esse boneco. Em cada experimento, é estabelecida uma mesma diferença de potencial U entre os pontos A e B, e uma corrente elétrica atravessa o boneco pelos caminhos indicados em destaque nas figuras 1 e 2.

Figura 1 descrita no enunciado: caminho em destaque liga o eletrodo A, na ponta de um braço, ao eletrodo B, na ponta do outro braço, passando pelos dois braços e pela conexão entre eles nos ombros — sem passar pelo tórax nem pelas pernas.

Figura 2 descrita no enunciado: caminho em destaque liga o eletrodo A, na ponta de um braço, ao eletrodo B, na ponta de uma perna, passando por esse braço, pelo tórax e por essa perna — o outro braço e a outra perna ficam de fora do caminho.

a)Responda em função apenas de $R_B$ e de U: qual a resistência equivalente do boneco e a intensidade da corrente elétrica que o atravessa na montagem indicada na figura 1?

Resposta$R_{eq} = 2R_B$; $I = \dfrac{U}{2R_B}$.

b)Qual a resistência equivalente do boneco na montagem indicada na figura 2?

Resposta$R_{eq} = \dfrac{5R_B}{3}$.

Resolução

Como todos os cilindros são do mesmo material (mesma resistividade $\rho$) e $R=\rho\dfrac{L}{\text{Área}}$, e sabendo que o braço tem $R_B = \rho\dfrac{L}{A}$, dá para escrever as outras resistências em função de $R_B$:

Tórax: $R_T = \rho\dfrac{1{,}5L}{9A} = \dfrac{1{,}5}{9}\rho\dfrac{L}{A} = \dfrac{R_B}{6}$.

Cada perna: $R_{perna} = \rho\dfrac{2L}{4A} = \dfrac{2}{4}\rho\dfrac{L}{A} = \dfrac{R_B}{2}$.

Na figura 1, os eletrodos estão nas pontas dos dois braços. O tórax e as pernas ficam pendurados num "beco sem saída" a partir do nó dos ombros — sem outro eletrodo ligado a eles, nenhuma corrente os atravessa (não formam malha fechada). Toda a corrente passa só pelos dois braços, em série: $R_{eq} = R_B + R_B = 2R_B$, e $I = \dfrac{U}{R_{eq}} = \dfrac{U}{2R_B}$.

Na figura 2, o caminho vai de um braço, desce pelo tórax, e segue por uma perna até B — o outro braço e a outra perna, sem eletrodo nas pontas, também ficam sem corrente pelo mesmo motivo. O caminho é braço + tórax + perna, todos em série: $R_{eq} = R_B + \dfrac{R_B}{6} + \dfrac{R_B}{2} = R_B\left(\dfrac{6}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{6}\right) = \dfrac{10R_B}{6} = \dfrac{5R_B}{3}$.