IME 2007 — Questões de Física comentadas — Método TEF

Os dois resistores de $8\ \Omega$ em paralelo valem $4\ \Omega$.
• Posição 1. $R$ fica em paralelo com os $4\ \Omega$; a malha da direita (resistor de $4\ \Omega$ e bateria de $10\text{ V}$) fica aberta. A bateria de $12\text{ V}$ vê $2+\dfrac{4R}{4+R}=\dfrac{8+6R}{4+R}$, e \[P_1=\frac{144\,(4+R)}{8+6R}.\]
• Posição 2. $R$ sai da malha da esquerda e passa a formar, com o resistor de $4\ \Omega$ e a bateria de $10\text{ V}$, uma malha isolada. A malha da esquerda tem $2+4=6\ \Omega$ e dissipa $\dfrac{144}6=24\text{ W}$, e a da direita dissipa $\dfrac{100}{R+4}$.

Igualdade das potências. \[\frac{144\,(4+R)}{8+6R}=24+\frac{100}{4+R}\ \Rightarrow\ 144\,(4+R)^2=24\,(8+6R)(4+R)+100\,(8+6R)\] \[2304+1152R=1568+1368R\ \Rightarrow\ 216\,R=736\ \Rightarrow\ R\approx3{,}4\ \Omega.\]

Para um peso $m$ pendurado, $T-mg=ma$, com $a$ positiva para cima: \[T=m\,(g+a).\] A tração depende da aceleração do elevador, e não da velocidade.

Com velocidade constante (subindo, descendo ou parado), $a=0$ e $T=mg$. Descendo com aceleração de $1\text{ m/s}^2$, $a=-1$ e $T=m(g-1)$. Subindo com aceleração de $1\text{ m/s}^2$, $a=+1$ e $T=m(g+1)$, o maior valor.

Em colisões de um sistema isolado, a quantidade de movimento (momento linear) e a energia total se conservam sempre, tanto nas elásticas quanto nas inelásticas. A energia cinética total só se conserva na colisão elástica: na inelástica, parte dela é convertida em calor e deformação.

A única grandeza conservada nas elásticas e não nas inelásticas é a energia cinética.

(I) Na água (índice de refração maior que o do ar), a velocidade da luz é $v=\dfrac cn$, menor: diminui. (II) A freqüência é determinada pela fonte e não muda na refração: permanece constante. (III) De $v=\lambda f$, com $f$ constante e $v$ menor, o comprimento de onda também diminui.

A partícula entra em $(0,0)$ e sai em $(0,2R)$: o segmento entre os pontos é um diâmetro, então o raio da trajetória é $R$ e o movimento é circular uniforme, com velocidade angular $\omega=\dfrac vR$.

Como o campo é ortogonal à velocidade e o diâmetro é vertical, a velocidade inicial é horizontal ($v_x=v$, $v_y=0$). A velocidade gira com ângulo $\omega t=\dfrac{vt}R$, e a componente $x$ é \[v_x(t)=v\cos\!\left(\frac{vt}{R}\right).\]

Dimensões. Força e peso: $M\,L\,T^{-2}$; velocidade: $L\,T^{-1}$; aceleração: $L\,T^{-2}$. A grandeza é \[G=\frac{F\,v}{P^2\,a^3}.\]

Numerador: $M\,L\,T^{-2}\cdot L\,T^{-1}=M\,L^2\,T^{-3}$. Denominador: $(M\,L\,T^{-2})^2(L\,T^{-2})^3=M^2L^2T^{-4}\cdot L^3T^{-6}=M^2L^5T^{-10}$. Então \[[G]=M^{1-2}\,L^{2-5}\,T^{-3+10}=[L]^{-3}[M]^{-1}[T]^{7}.\]

Pelo teorema de Stevin, em um fluido em equilíbrio a pressão é $p=p_0+\mu g h$, e depende apenas da profundidade $h$. O segmento $X$-$Y$ é horizontal e está todo dentro da água (abaixo do casco e acima da pedra): todos os seus pontos têm a mesma profundidade.

A pressão é, portanto, constante ao longo de $X$-$Y$, e o gráfico é uma reta horizontal (alternativa E).

Unidades. $k=1\text{ N/cm}=100\text{ N/m}$ e $m=0{,}5\text{ g}=5\times10^{-4}\text{ kg}$.

Conservação da energia. \[\frac12kx^2=\frac12mv^2\ \Rightarrow\ 100\,x^2=5\times10^{-4}\cdot2500=1{,}25\ \Rightarrow\ x^2=0{,}0125\] \[x\approx0{,}112\text{ m}\approx11{,}2\text{ cm}.\]

A freqüência percebida depende da componente da velocidade da fonte na direção que a liga ao observador: é mais aguda quando a fonte se aproxima, e mais grave quando se afasta.

Análise dos pontos. No ponto $1$, o trecho retilíneo vem inclinado, e a velocidade aponta diretamente para $P$ (ao longo da reta tracejada $1$-$P$): a componente de aproximação é máxima, igual a $v$. Nos pontos $2$ e $4$, a velocidade é perpendicular ou oblíqua em relação à reta que os liga a $P$, e em $3$ a velocidade é perpendicular à reta $3$-$P$ (sem aproximação nem afastamento). No ponto $5$, a velocidade aponta no sentido oposto, para longe de $P$: freqüência mais grave.

O som mais agudo ocorre quando a fonte passa pelo ponto $1$.

Ângulos com a vertical. Cabo $1$: $\tan\alpha=\dfrac{1{,}732}{1}\Rightarrow\alpha=60^\circ$. Cabo $2$: $\tan\beta=\dfrac11\Rightarrow\beta=45^\circ$. O cabo vertical sustenta o bloco com $Mg=200\text{ N}$, e então o nó equilibra o peso.

Equilíbrio do nó. \[\text{horizontal: }T_1\,\mathrm{sen}\,60^\circ=T_2\,\mathrm{sen}\,45^\circ\ \Rightarrow\ T_2=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\,T_1\] \[\text{vertical: }T_1\cos60^\circ+T_2\cos45^\circ=200\ \Rightarrow\ T_1\left(\frac12+\frac{\sqrt3}2\right)=200.\] Então \[T_1=\frac{400}{1+\sqrt3}\approx146{,}4\text{ N},\qquad T_2=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}T_1\approx1{,}225\cdot146{,}4\approx179{,}3\text{ N}.\]

Imagens direitas são virtuais. Para serem coincidentes, devem ter a mesma posição e o mesmo tamanho.
• A imagem virtual do espelho fica atrás dele.
• A imagem virtual de uma lente divergente fica entre o objeto e a lente (do mesmo lado do objeto, mais perto da lente): nunca atrás do espelho, e então não pode coincidir com a do espelho.
• A imagem virtual de uma lente convergente (objeto dentro do foco) fica mais longe que o objeto e é ampliada, e pode chegar atrás do espelho.

Tamanho. Se a imagem da lente é ampliada, a do espelho também deve ser, e só o espelho côncavo (com o objeto entre o foco e o vértice) forma imagem virtual ampliada; o convexo só dá imagens reduzidas. Logo: espelho côncavo e lente convergente.

Tipo de máquina. Ela recebe calor da fonte quente e realiza trabalho: é um motor térmico.

Primeira Lei. $Q_q=W+Q_f$: $300=150+150$. A energia se conserva, e a Primeira Lei é atendida. Segunda Lei. O rendimento da máquina é $\eta=\dfrac{150}{300}=50\%$, mas o máximo permitido entre $400\text{ K}$ e $300\text{ K}$ é o de Carnot, $\eta_C=1-\dfrac{300}{400}=25\%$. Como $\eta>\eta_C$, a Segunda Lei é violada.

A velocidade de salto é a mesma nos dois planetas, e $h=\dfrac{v^2}{2g}$, então $h\propto\dfrac1g$. Como $h_2=6\,h_1$, $g_2=\dfrac{g_1}{6}$.

Gravidade e raio. Para um planeta de densidade uniforme, $g=\dfrac{GM}{R^2}=\dfrac43\pi G\mu R$, e então $g\propto\mu R$: \[\frac{g_2}{g_1}=\frac{\mu_2R_2}{\mu_1R_1}=\frac23\cdot\frac{R_2}{R_1}=\frac16\quad\Rightarrow\quad\frac{R_2}{R_1}=\frac14.\]

Flutuação. O empuxo iguala o peso do cubo: $\mu\,V_{imerso}\,g=P$. Com um líquido mais denso, o volume imerso diminui, e o cubo (com a placa $P_1$) sobe, aproximando-se de $P_2$.

Capacitor. A distância $d$ entre as placas diminui, e $C=\dfrac{\varepsilon A}{d}$ aumenta. A carga $Q$ não muda (as placas estão carregadas e isoladas), e então $V=\dfrac QC$ diminui e a energia $E=\dfrac{Q^2}{2C}$ também diminui. Resposta: aumenta, diminui, diminui.

No movimento circular uniforme:
• a velocidade muda de direção, e há aceleração centrípeta, então a força resultante tem módulo diferente de zero;
• o vetor $\vec p=m\vec v$ muda com o tempo (muda de direção, embora o módulo se mantenha);
• a força centrípeta é perpendicular ao deslocamento, e o trabalho é nulo;
• o módulo da velocidade é constante, e a energia cinética é constante.

Essas quatro propriedades estão na alternativa B.