IME 2027 — Física discursiva resolvida — Método TEF
Instituto Militar de Engenharia
Concurso 2026/2027 · Física discursiva · Q01–Q10.
Dados da prova
IME · Concurso 2026/2027 · Física discursiva · 10 questões de 1,0 ponto.
Fonte: PDF “prova fisica ime 2027.pdf” fornecido pelo professor. Respostas e resoluções independentes Método TEF, não oficiais.
Q3: pequena dilatação e área inicial. Q4: leitura gráfica aproximada. Q7: estimativa quase estática de mola muito rígida, com ressalva dinâmica.
Q01
Mecânica — Cinemática — Lançamento oblíquo e primeira lei da termodinâmica
Um foguete é lançado para atingir um alvo localizado no topo de uma montanha. O centro do alvo encontra-se a uma distância horizontal de 2,0 km e vertical de 1,0 km da plataforma de lançamento. O projeto prevê que o foguete deixe o lançador à velocidade de 200 m/s, formando um ângulo de 45° com a horizontal. Nessas condições, o ponto mais alto da trajetória coincide com o centro do alvo. A temperatura de projeto da câmara de combustão do foguete é 2560 K.
Entretanto, uma falha na combustão elevou a temperatura dos gases, sem alterar o ângulo de lançamento. Em consequência, ao passar pela vertical do alvo, o foguete encontrava-se 360 m acima do alvo e ainda em movimento ascendente. Para avaliar os efeitos energéticos da falha, considere que 2,0 kg de gases ideais foram aquecidos, a pressão constante, desde a temperatura de projeto até a temperatura atingida.
Dados:
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²;
• calor específico dos gases, a pressão constante: 1,0 kJ/(kg·K);
• aumento da energia interna dos gases durante a falha: 2016 kJ.
Observações:
• admita que a temperatura absoluta da câmara de combustão seja diretamente proporcional ao quadrado da velocidade de lançamento do foguete;
• despreze a resistência do ar.
Mediante as informações acima, na condição de falha, determine:
a) a velocidade de lançamento do foguete;
b) a temperatura atingida na câmara de combustão;
c) o trabalho realizado durante o aquecimento.
Resposta Método TEF — não oficial
a) 250 m/s; b) 4000 K; c) 864 kJ de trabalho realizado pelos gases.
Resolução comentada — Método TEF
a) Para o lançamento a 45°, eliminando o tempo, $y=x-gx^2/v_0^2$. Na vertical do alvo, $x=2000$ m e $y=1360$ m.
Verificação: o vértice está em $x_v=v_0^2/(2g)=3125$ m; em 2000 m o foguete ainda sobe.
b) De $T\propto v_0^2$, $\dfrac{T}{2560}=\dfrac{250^2}{200^2}$, portanto $\boxed{T=4000\ \mathrm K}$.
c) $\Delta T=1440$ K e $Q=mc_p\Delta T=2\cdot1\cdot1440=2880$ kJ. Pela primeira lei, $\Delta U=Q-W$, com W positivo na expansão: $\boxed{W=2880-2016=864\ \mathrm{kJ}}$.
Q02
Mecânica — Estática — Equilíbrio de treliças e barras de esforço nulo
A figura representa esquematicamente um guindaste em equilíbrio quando está sendo aplicada uma força P na junção C.
Dado:
• força vertical para baixo aplicada em C: P = 100 kN.
Observação:
• despreze os pesos das barras do guindaste.
Para esse guindaste:
a) determine as reações (módulo, direção e sentido) em A e B;
b) determine os esforços normais nas barras da estrutura (CD, CF, DF, AD, AE, DE, BE e EF), discriminando também se são de tração ou de compressão;
c) explique a função da barra AE.
Resposta Método TEF — não oficial
a) A: 200 kN para cima; B: 100 kN para baixo; componentes horizontais nulas. b) CD e DE: 75 kN, compressão; CF e EF: 125 kN, tração; DF e AD: 200 kN, compressão; BE: 100 kN, tração; AE: zero. c) AE estabiliza a estrutura.
Resolução comentada — Método TEF
a) Como BE é vertical e o nó B não recebe outra barra, a reação horizontal em B é nula. Pelo equilíbrio global, a de A também é nula.
Momentos em A: $3P+3B_y=0\Rightarrow B_y=-100$ kN. Do equilíbrio vertical, $A_y+B_y-P=0$. Logo, $\boxed{A_y=200\ \mathrm{kN}\ \uparrow,\quad B_y=100\ \mathrm{kN}\ \downarrow}$. B deve ser ancorado para fornecer reação para baixo.
b) Adotamos esforço positivo para tração. As diagonais têm proporções 3–4–5. No nó C: $(4/5)N_{CF}=100$ e $N_{CD}+(3/5)N_{CF}=0$. Logo, CF tem 125 kN de tração e CD, 75 kN de compressão.
No nó F, o equilíbrio horizontal dá $N_{EF}=125$ kN (tração); o vertical dá $N_{DF}=-200$ kN (compressão). No nó D, $N_{AD}=-200$ kN e $N_{DE}=-75$ kN. No nó A, o equilíbrio horizontal fornece $N_{AE}=0$. No nó E, $N_{BE}=100$ kN (tração).
Barra
Esforço
Natureza
CD
75 kN
Compressão
CF
125 kN
Tração
DF
200 kN
Compressão
AD
200 kN
Compressão
AE
Zero
Nulo neste carregamento
DE
75 kN
Compressão
BE
100 kN
Tração
EF
125 kN
Tração
c) AE triangula o painel A–D–E e impede sua deformação como mecanismo. Ela garante estabilidade geométrica e pode receber esforço sob outras cargas. Esforço nulo não significa barra dispensável.
Q03
Termologia — Dilatação térmica — Dilatação, equilíbrio e irradiância
Num determinado planeta, um objeto metálico escuro em forma de paralelepípedo encontra-se apoiado à esquerda e pendurado por uma haste inextensível com uma argola retangular de apoio à direita. Ao nascer de seu Sol (25% do dia), a extremidade direita do objeto está rigorosamente abaixo da haste, como mostra a Figura 1. Neste momento, a haste está quase se rompendo e só conseguirá suportar 0,1% a mais de tração. Ao amanhecer, a irradiância do Sol, cujo gráfico se encontra na Figura 2, incide sobre o objeto, sendo totalmente absorvida em sua área superior paralela ao plano horizontal.
Dados:
• densidade homogênea do objeto ao amanhecer: 2000 kg/m³;
• dimensões do objeto: 2 m x 25 cm x 5 cm;
• comprimento do objeto: L = 2 m;
• coeficiente de dilatação linear e calor específico do objeto metálico: 10⁻⁵ °C⁻¹ e 1,0 J/(g·°C);
• constante universal da gravitação: G;
• massa e raio do planeta: M e R;
• G · M/R² = 12 m/s²;
• duração de um dia no planeta: 8·10⁴ s.
Observações:
• o esquema da Figura 1 foi montado sobre a superfície do planeta;
• para efeito de cálculo, não considere as áreas laterais e nem a área de baixo para a absorção da irradiância;
• durante o processo de dilatação, o objeto desliza apenas à direita e sem atrito pela argola mantendo o ponto de sustentação fixo, sendo que a haste se mantém na vertical;
• o objeto permanece com a massa homogeneamente distribuída durante todo o aquecimento.
Diante do exposto, determine:
a) a reação no apoio à esquerda ao amanhecer;
b) a variação da temperatura do objeto desde o amanhecer até o momento do rompimento da haste;
c) o horário, em % do dia, no qual ocorre o rompimento da haste.
Resposta Método TEF — não oficial
a) 300 N para cima; b) 100 °C; c) aproximadamente 37,5% do dia.
Resolução comentada — Método TEF
a) $V_0=2\cdot0{,}25\cdot0{,}05=0{,}025$ m³, $m=2000V_0=50$ kg e $P=mg=600$ N. Inicialmente o centro de massa está no meio do vão: $\boxed{R_A=T_0=300\ \mathrm N}$.
b) O apoio direito permanece em $x=L$, enquanto o comprimento se torna $L'=L(1+\alpha\Delta T)$. O centro de massa passa a $L'/2$. Pelo equilíbrio de momentos, $TL=P\,L'/2$, logo $T=T_0(1+\alpha\Delta T)$.
No limite de ruptura, $T/T_0=1{,}001$. Assim, $\alpha\Delta T=0{,}001\Rightarrow\boxed{\Delta T=100\ ^\circ\mathrm C}$.
c) $Q=mc\Delta T=50\cdot1000\cdot100=5{,}0\times10^6$ J. Seja $\tau$ o tempo desde o amanhecer. A irradiância vai de zero a 4000 W/m² em 20000 s: $I(\tau)=0{,}2\tau$ W/m². A área superior inicial é $A_0=2\cdot0{,}25=0{,}50$ m².
A energia é a área triangular sob o gráfico, multiplicada por $A_0$: $Q=A_0(0{,}2\tau)\tau/2=0{,}05\tau^2$. Portanto, $\tau=10000$ s, ou 12,5% do dia. Somando os 25% do amanhecer, $\boxed{\text{horário}\approx37{,}5\%\ \text{do dia}}$.
Aproximação: considera-se a área inicial e desprezam-se perdas térmicas. A dilatação linear é só 0,1%; incluir a expansão da área altera apenas casas decimais seguintes do horário.
Q04
Eletricidade — Eletrodinâmica — Geradores, receptores e proteção por fusível
A Figura 1 apresenta um gerador com força eletromotriz de 1000 V e resistência interna de 2 Ω que alimenta dois receptores, denominados Rec1 e Rec2, representados por uma força contra eletromotriz (fcem) e uma resistência interna (Rint), dadas por: Receptor Rec1: fcem 850 V; resistência interna 1 Ω. Receptor Rec2: fcem 900 V; resistência interna 2 Ω.
O gerador é protegido por um fusível F, cuja característica de tempo de rompimento (ruptura) versus razão I/IFUSÍVEL é dada pela curva, em escala linear, apresentada na Figura 2. Nela, I representa a corrente que passa pelo fusível e IFUSÍVEL a corrente máxima admitida pelo fusível.
Dados:
• corrente de projeto do fusível: IFUSÍVEL = 20 A;
• máximo tempo durante o qual o gerador pode operar em curto-circuito sem ser danificado: 50 ms.
No instante t = 0, a chave S é fechada. Assim:
a) determine as correntes em cada receptor imediatamente após o fechamento de S;
b) verifique, com a devida justificativa, se e quando ocorrerá o rompimento do fusível nessa condição de operação;
c) supondo agora que o sistema seja reiniciado depois da condição de operação do item (a), havendo se necessário a reposição de fusível, e que haja um curto-circuito entre os pontos A e B, indicados do circuito, no momento em que a chave S é fechada, verifique se o fusível conseguirá proteger a fonte de tensão.
Resposta Método TEF — não oficial
a) Rec1: 50 A; Rec2: zero. b) O fusível rompe em aproximadamente 1,5 s, por leitura do gráfico. c) Não protege: 100 ms de ruptura excedem o limite de 50 ms.
Resolução comentada — Método TEF
a) Seja U a tensão AB. $U=1000-2I$, $I_1=(U-850)/1$, $I_2=(U-900)/2$ e $I=I_1+I_2$.
$I=(1000-2I-850)+(1000-2I-900)/2=200-3I$. Portanto, $I=50$ A e $U=900$ V: $\boxed{I_1=50\ \mathrm A,\quad I_2=0}$.
b) $I/I_{\mathrm{FUSÍVEL}}=50/20=2{,}5$. A curva indica $\boxed{t_{\mathrm{ruptura}}\approx1{,}5\ \mathrm s}$. A corrente excede a de projeto e o fusível rompe.
c) No curto AB, a corrente do gerador é $I_{cc}=1000/2=500$ A. A razão $I_{cc}/I_{\mathrm{FUSÍVEL}}=25$ já está no patamar de ruptura $10^{-1}$ s, isto é, 100 ms.
Como $100$ ms $>50$ ms, $\boxed{\text{o fusível não protege o gerador nesse curto}}$.
O valor do item b é uma leitura aproximada da curva impressa.
Q05
Termologia — Termodinâmica — Máquinas térmicas e cogeração
Tendo em vista a expectativa de um aumento populacional associado à instalação de algumas unidades fabris em futuro próximo, a autoridade local de certo município conduz uma série de audiências públicas visando à aquisição de uma nova turbina, operando em um ciclo termodinâmico, para a geração de energia elétrica residencial.
A empresa A sugere um equipamento de 80 HP de potência útil, no qual calor é extraído de uma fonte quente a 900 K para o ciclo térmico, a uma taxa de 150 kW. Além disto, calor é rejeitado para uma fonte fria de temperatura não mencionada.
Uma segunda proposta, apresentada pela empresa B, recomenda a aquisição de um produto que opere em um ciclo termodinâmico “multifonte”. Nessa opção, calor é rejeitado a taxas distintas, para duas fontes frias: uma delas possui a mesma temperatura da concorrente recebendo, no entanto, metade do calor associado ao correspondente da empresa A. Já a segunda fonte encontra-se à temperatura de 300 K, recebendo certa quantidade de calor inicialmente não especificado. Ainda de acordo com o representante da empresa B, a temperatura de fonte quente e o calor recebido por seu ciclo termodinâmico são os mesmos do concorrente. O representante da empresa B argumenta que seu produto é capaz de suprir as necessidades de energia elétrica residencial de 350 unidades ao mesmo tempo, sendo ainda possível aquecer água para um posto de atendimento médico próximo, a uma taxa de 50 L por minuto, como subproduto da rejeição de calor para a fonte de 300 K.
Dados:
• 1HP = 3/4 kW;
• eficiência do ciclo termodinâmico da máquina da empresa A: 80 % do máximo admissível;
• consumo mensal no município por residência: 240 kW·h por unidade;
• calor específico da água: 4000 J/(kg·K);
• variação de temperatura da água a ser aquecida: +10 K;
• número de horas em um mês: 720 h;
• massa específica da água: 1 kg/L.
Considerando o ativo adicional apresentado pela proposta da empresa B, conduza uma análise termodinâmica da situação descrita e:
a) determine a temperatura da fonte fria do ciclo termodinâmico referente à empresa A;
b) avalie a taxa de calor rejeitada para a fonte fria no projeto da empresa A;
c) argumente conclusivamente se os aspectos mencionados pelo representante da empresa B são realísticos.
Resposta Método TEF — não oficial
a) 450 K; b) 90 kW; c) proposta incompatível com os dados: sobram 71,67 kW, equivalentes ao consumo médio de 215 residências, não 350.
Resolução comentada — Método TEF
a) $P_A=80(3/4)=60$ kW e $\eta_A=60/150=0{,}40=0{,}80\eta_{\max}$. Logo, $\eta_{\max}=0{,}50$. De $\eta_{\max}=1-T_f/900$, resulta $\boxed{T_f=450\ \mathrm K}$.
b) Pela primeira lei no ciclo, $\dot Q_{f,A}=150-60=\boxed{90\ \mathrm{kW}}$.
c) Cada residência consome em média $240/720=1/3$ kW. Para 350 unidades seriam necessários $350/3=116{,}67$ kW.
B rejeita 45 kW à fonte de 450 K. Para o aquecimento de água anunciado, $\dot Q_{300}=(50/60)\cdot4000\cdot10=33333$ W $=33{,}33$ kW.
A potência útil seria $P_B=150-45-33{,}33=\boxed{71{,}67\ \mathrm{kW}}$, equivalente ao consumo médio de 215 residências.
A segunda lei impõe $\dot S_{\mathrm{ger}}=45/450+\dot Q_{300}/300-150/900\ge0$. Assim, $\dot Q_{300}\ge20$ kW e $P_B\le85$ kW, mesmo sem exigir todo o aquecimento anunciado. A potência prometida de 116,67 kW também excede esse limite.
Com $\dot Q_{300}=33{,}33$ kW, $\dot S_{\mathrm{ger}}\approx0{,}0444$ kW/K é positiva: a operação com 71,67 kW é termodinamicamente possível, mas a promessa simultânea de 350 residências e aquecimento é incompatível com os dados.
Q06
Ondas — Acústica — Efeito Doppler, movimento circular e empuxo
As figuras mostram uma fonte sonora de frequência f0 acoplada a um objeto motorizado em forma de casca esférica preso por um fio de comprimento L ao fundo de uma piscina. Tomando como referência a vista superior, o objeto executa um movimento circular uniforme no sentido anti-horário. Um observador localizado em O, na superfície da piscina, percebe as frequências 5f0/4 e 10f0/11 quando o objeto emite ao passar pelos pontos A e B, respectivamente.
Dados:
• massa do objeto: m = √3 kg;
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²;
• comprimento do fio: L = 10 m;
• distância AO: d = 10 m;
• massa específica da água: ρ = 1000 kg/m³;
• velocidade do som no ar: vsom = 340 m/s;
• √3 = 1,732;
• 34²/√3 = 667,4.
Observações:
• o observador está no mesmo plano que o movimento circular da fonte sonora;
• considere que o volume submerso do objeto não se altera durante o movimento;
• para efeito de cálculos desconsidere a resistência da água e as dimensões do objeto, que só devem ser consideradas no cálculo do empuxo.
Diante do exposto, determine:
a) a velocidade escalar do objeto;
b) o raio da trajetória;
c) a tração no fio;
d) o volume do objeto que permanece submerso durante o movimento.
Resposta Método TEF — não oficial
a) 68 m/s; b) $5\sqrt3$ m ≈ 8,66 m; c) 1067,84 N; d) 0,055124 m³ ≈ 55,12 L.
Resolução comentada — Método TEF
a) Em A a velocidade aponta diretamente para O. Para observador parado, $f_A=f_0\,340/(340-v)=5f_0/4$, logo $\boxed{v=68\ \mathrm{m/s}}$.
b) Em B a fonte se afasta com componente radial $v_r$: $340/(340+v_r)=10/11$, dando $v_r=34$ m/s.
Na vista superior, $BO=\sqrt{d^2+4r^2}$ e $v_r=v\,d/BO$. Portanto, $34=68\cdot10/\sqrt{100+4r^2}$, de onde $\boxed{r=5\sqrt3\ \mathrm m\approx8{,}66\ \mathrm m}$.
c) Para o ângulo do fio com a vertical, $\sin\theta=r/L=\sqrt3/2$ e $\cos\theta=1/2$. A componente horizontal da tração é centrípeta: $T\sin\theta=mv^2/r$.
$T=mv^2L/r^2=\dfrac85\dfrac{34^2}{\sqrt3}=\boxed{1067{,}84\ \mathrm N}$, usando o valor fornecido.
d) A tração aponta para o fundo. O empuxo equilibra peso e componente vertical da tração: $\rho gV=mg+T\cos\theta$.
Nas Figuras 1 e 2, a partícula P1, positivamente carregada, é abandonada a partir do repouso no vértice B de um dodecágono regular e pode deslizar sobre o segmento BC. No vértice C, encontra-se fixado um anteparo que prende uma das extremidades de uma mola, inicialmente relaxada. Na outra extremidade da mola, foi fixada a partícula P2, também positivamente carregada e que também pode deslizar sobre BC.
Considere que, assim que as partículas alcancem a aproximação máxima entre elas, todo o sistema será instantaneamente girado no sentido anti-horário, de 30°, sem adicionar energia cinética às partículas. A partir dessa nova configuração, a mola é desacoplada do sistema e totalmente retirada do vértice C e da partícula P2, sendo que as duas partículas passam a interagir entre si livremente. Essa situação está representada na Figura 3.
Dados:
• massas das partículas P1 e P2: m = 0,4 kg;
• distância inicial entre as partículas: d0 = 1,0 m;
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²;
• comprimento da mola relaxada: L0 = 0,15 m;
• carga de P1 e carga de P2: q1 = +20 µC e q2 = +5 µC;
• constante elástica da mola: muito alta;
• constante eletrostática do vácuo: Ke = 9·10⁹ N·m²/C².
Observações:
• todo o sistema encontra-se no vácuo;
• despreze as dimensões das partículas e do anteparo;
• como a constante elástica da mola é muito alta, despreze a variação da posição da partícula P2 para efeitos de cálculo no movimento da partícula P1;
• as partículas deslizam sem atrito sobre o segmento BC;
• durante o giro, as posições relativas das partículas não se alteram.
Diante do exposto:
a) na condição de aproximação máxima entre as partículas, determine a distância entre P1 e P2;
b) na condição de aproximação máxima entre as partículas, estime a razão aproximada entre a energia potencial elástica da mola e a variação da energia potencial gravitacional de P2;
c) após a condição da Figura 2, determine a velocidade de P2 ao atingir um vértice do dodecágono.
Resposta Método TEF — não oficial
a) 0,45 m; b) $-29/18$ para a variação gravitacional algébrica, ou $29/18$ em módulo, na estimativa quase estática; c) $\sqrt2$ m/s ≈ 1,41 m/s.
Resolução comentada — Método TEF
O ângulo externo do dodecágono é 30°; inicialmente BC faz 30° abaixo da horizontal. $K_eq_1q_2=0{,}90$ N·m².
a) Com P2 aproximadamente fixa, P1 desce $d_0-d$ ao longo do lado até parar. A perda gravitacional torna-se energia elétrica:
$mg\sin30°(d_0-d)=K_eq_1q_2(1/d-1/d_0)$.
$2(1-d)=0{,}9(1/d-1)$. Descartando a raiz inicial $d=1$ m, $\boxed{d=0{,}45\ \mathrm m}$.
b) Seja $\delta$ a pequena compressão. Na estimativa quase estática, $k\delta\simeq mg\sin30°+K_eq_1q_2/d^2=2+0{,}9/0{,}45^2=58/9$ N.
$U_e=k\delta^2/2$ e $\Delta U_{g,2}=-mg\delta\sin30°=-2\delta$. Logo, $\boxed{U_e/\Delta U_{g,2}\simeq-29/18\approx-1{,}61}$. A razão entre os módulos é $29/18$.
Limite da estimativa: o item b usa o limite quase estático de mola muito rígida. Rigorosamente, rigidez alta sozinha não elimina oscilações rápidas de P2; sem essa aproximação, a solução dinâmica depende da constante elástica e da fase da oscilação. A variação gravitacional é negativa porque P2 desce ao comprimir a mola.
c) Após o giro, BC fica horizontal. No mesmo limite de mola rígida, as velocidades iniciais são aproximadamente nulas. Massas iguais adquirem velocidades opostas e deslocamentos de mesmo módulo.
P2 percorre $L_0=0{,}15$ m até C; P1 recua 0,15 m. A distância final é $d_f=0{,}45+2(0{,}15)=0{,}75$ m.
A energia liberada é $0{,}9(1/0{,}45-1/0{,}75)=0{,}80$ J. Cada partícula recebe 0,40 J: $0{,}4v_2^2/2=0{,}40$, portanto $\boxed{v_2=\sqrt2\ \mathrm{m/s}\approx1{,}41\ \mathrm{m/s}}$.
Q08
Óptica — Óptica física — Rede de difração e contagem de máximos
Um feixe de luz monocromática incide ortogonalmente em uma rede de difração. As franjas resultantes são estreitas e projetadas em um anteparo plano centralizado, sendo este paralelo ao plano da rede, conforme apresentado na figura. Sabe-se que o anteparo está em movimento retilíneo uniforme na direção de propagação do feixe de luz. Num instante t1, o número de franjas (máximos de interferência) observados no anteparo passa de 7 para 5. Já no instante t1 + 2 s, esse número se reduz a 3.
Dados:
• comprimento de onda do feixe de luz: λ = 625 nm;
• resolução vertical da rede de difração: 400 linhas por mm;
Com base nas informações apresentadas, determine (justificando):
a) se o anteparo está afastando-se ou aproximando-se da rede;
b) a distância do anteparo à rede no instante t1;
c) o módulo da velocidade do anteparo;
d) a distância percorrida desde o instante t1 para que, a partir desse momento, só fique possível observar 1 máximo no anteparo.
Resposta Método TEF — não oficial
a) Afasta-se. b) $0{,}2\sqrt7$ m ≈ 0,53 m; c) $0{,}3\sqrt3-0{,}1\sqrt7$ m/s ≈ 0,254 m/s; d) $0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7$ m ≈ 1,79 m.
Resolução comentada — Método TEF
O espaçamento é $a=1/(400\cdot10^3)=2{,}5\times10^{-6}$ m. Como $\lambda/a=1/4$, $\sin\theta_m=m/4$. A posição de um máximo no anteparo é $y_m=D\tan\theta_m$.
a) Aumentando D, os máximos se afastam do centro e saem do anteparo de tamanho fixo. A redução 7 → 5 → 3 indica que o anteparo se afasta.
b) Na transição 7 → 5, os máximos $\pm3$ cruzam as bordas a $L/2=0{,}6$ m. Como $\tan\theta_3=3/\sqrt7$, $\boxed{D_1=0{,}2\sqrt7\ \mathrm m\approx0{,}53\ \mathrm m}$.
c) Dois segundos depois saem os máximos $\pm2$. $\tan\theta_2=1/\sqrt3$, então $D_2=0{,}6\sqrt3$ m.
$\boxed{v=(D_2-D_1)/2=0{,}3\sqrt3-0{,}1\sqrt7\ \mathrm{m/s}\approx0{,}254\ \mathrm{m/s}}$, usando as raízes da tabela.
d) Para restar apenas o máximo central, $\pm1$ devem sair. Como $\tan\theta_1=1/\sqrt{15}$, $D_3=0{,}6\sqrt{15}$ m.
$\boxed{\Delta D=D_3-D_1=0{,}6\sqrt{15}-0{,}2\sqrt7\approx1{,}79\ \mathrm m}$. Imediatamente após esse limite, apenas $m=0$ permanece.
Q09
Óptica — Reflexão e espelhos — Reflexão em esfera de raio variável
Uma esfera, cuja superfície externa é perfeitamente refletora, tem seu centro fixo no ponto de coordenadas (L, h). Seu raio R aumenta linearmente com o tempo segundo a equação: R(t) = ut.
No instante t = 0, um fóton parte da origem propagando-se à velocidade da luz na direção da reta x = √3 y, nos sentidos positivos de ambos os eixos. Em determinado instante, o fóton atinge a superfície da esfera e passa a propagar-se paralelamente ao eixo y, em seu sentido negativo.
Dado:
• velocidade da luz: c.
Observações:
• t ≥0;
• h > 0;
• L > 0;
• u < c;
• para determinar a direção do fóton refletido, despreze os efeitos do movimento da superfície da esfera e os efeitos relativísticos.
Determine:
a) a velocidade u de expansão do raio da esfera em função de h, L e c;
b) a condição à qual as coordenadas h e L devem satisfazer para que a imposição física do problema seja possível.
Resposta Método TEF — não oficial
a) $u=c(\sqrt3h-L)/(\sqrt3L-h)$; b) $L/\sqrt3<h<L$.
Resolução comentada — Método TEF
a) A direção incidente faz 30° com x. No instante de incidência, $P=(\sqrt3ct/2,\ ct/2)$.
Os versores incidente e refletido são $\hat s_i=(\sqrt3/2,1/2)$ e $\hat s_r=(0,-1)$. A normal é paralela a $\hat s_i-\hat s_r$. A normal externa voltada para o fóton que chega é $\hat n=(-1/2,-\sqrt3/2)$.
Como $P-(L,h)=ut\,\hat n$, $2L=t(\sqrt3c+u)$ e $2h=t(c+\sqrt3u)$. Combinando, $ct=\sqrt3L-h$ e $ut=\sqrt3h-L$.
$$\boxed{u=c\,\frac{\sqrt3h-L}{\sqrt3L-h}}.$$
b) Colisão em $t>0$ e expansão $u>0$ exigem $\sqrt3L-h>0$ e $\sqrt3h-L>0$. Além disso, $u<c$ implica $\sqrt3h-L<\sqrt3L-h$, ou seja, $h<L$.
$$\boxed{L/\sqrt3<h<L}.$$
Os extremos não são admitidos: o primeiro daria ausência de expansão; o segundo exigiria $u=c$.
Q10
Eletromagnetismo — Força magnética — Estabilidade e pequenas oscilações
Numa situação a ser escolhida, uma partícula carregada positivamente se desloca à velocidade v vertical de forma equidistante a dois fios infinitos e no mesmo plano deles, sendo que, supondo haver um pequeno desvio horizontal de trajetória, haverá uma força restauradora sobre a partícula, mantendo-a no movimento quase vertical.
Dados:
• distância entre os dois fios: d ;
• massa da partícula: m ;
• carga positiva da partícula: q ;
• correntes elétricas rigorosamente iguais em cada fio: i ;
• velocidade escalar da partícula: v ;
• permeabilidade magnética do meio: µ0;
• 1/(1 + x) ≈1 −x para |x| ≪1.
Observação:
• assume-se que o movimento continua confinado ao plano dos fios mesmo após eventuais desvios.
Considerando as 4 situações ilustradas, determine:
a) a(s) que poderá(ão) ser escolhida(s) para satisfazer à condição de restauração horizontal supracitada, justificando a escolha ou não para cada uma das situações;
b) o valor aproximado do passo p, indicado na figura mais à direita, para oscilações de pequenas amplitudes, que caracteriza a distância entre dois cruzamentos pelo eixo y na(s) situação(ões) escolhida(s) no item anterior.
Resposta Método TEF — não oficial
a) Apenas a situação 2. b) $p=(\pi d/2)\sqrt{\pi m v/(\mu_0 i q)}$.
Resolução comentada — Método TEF
a) Tome x para a direita, y para cima e z para fora do papel. Na situação 2, as duas correntes sobem e a partícula desce. No meio, os campos cancelam-se. Um desvio para a direita aproxima a partícula do fio direito, cujo campo sai do papel. Para $q>0$ e $\vec v=-v\hat y$, a força aponta para a esquerda, restaurando o equilíbrio. À esquerda ocorre o inverso.
Na situação 3, inverter a velocidade inverte a força e reforça os desvios: equilíbrio instável. Nas situações 1 e 4, os campos dos fios somam-se entre eles e entram no papel. Já na posição central existe força horizontal: para a direita em 1 e para a esquerda em 4. Não há equilíbrio na linha central. Portanto, $\boxed{\text{apenas a situação 2}}$.
