OBF 2004

Antes do contato, o pêndulo descreve uma circunferência de raio L senθ. No primeiro contato, θ = θ₀ e a normal ainda é zero.

$$T\cos\theta_0=mg$$

$$T\sin\theta_0=\frac{mv_{min}^2}{L\sin\theta_0}$$

$$v_{min}=\sqrt{\frac{gL\sin^2\theta_0}{\cos\theta_0}}$$

Em contato com a face interna do cone invertido, a normal aponta para dentro e para baixo. Projete as forças radial e verticalmente:

$$T\sin\theta_0+N\cos\theta_0=\frac{mv^2}{L\sin\theta_0}$$

$$T\cos\theta_0-N\sin\theta_0=mg$$

Eliminando T:

$$N=\frac{mv^2\cos\theta_0}{L\sin\theta_0}-mg\sin\theta_0$$

$$N=\frac{m\cos\theta_0}{L\sin\theta_0}(v^2-v_{min}^2)$$

A expressão fica positiva precisamente para v maior que o limiar, como exige uma força de contato repulsiva.

Os dois sólidos têm a mesma densidade ρ. O volume do bloco é d³/2 e o da cunha triangular é 6d³.

$$m=\frac12\rho d^3$$

$$M=6\rho d^3=12m$$

$$\sin\theta=\frac35$$

$$\cos\theta=\frac45$$

Se s é o deslocamento do bloco relativo à cunha e X é o deslocamento horizontal da cunha, a conservação do momento horizontal fornece:

$$(M+m)\ddot X+m\ddot s\cos\theta=0$$

Projetando a segunda lei no plano inclinado:

$$\ddot s+\ddot X\cos\theta=g\sin\theta$$

$$\ddot s=\frac{(M+m)g\sin\theta}{M+m\sin^2\theta}=\frac{65}{103}g$$

O comprimento da rampa é 5d. Pela posição inicial desenhada, a aresta traseira do bloco coincide com o topo e a dianteira já está d abaixo ao longo da rampa; faltam 4d para a dianteira tocar o chão.

$$4d=\frac12\frac{65g}{103}t^2$$

$$t=\sqrt{\frac{824d}{65g}}$$

O bloco parte do repouso, permanece orientado como na figura e se translada até o primeiro contato com o plano horizontal. Tratá-lo como um ponto situado no topo mudaria a distância e o tempo.

Resolução TEF: os dados fornecem aproximadamente 9,8 mm para baixo. O comentário de questão idêntica na prova da 1ª e 2ª séries publica 1,0 mm, valor dez vezes menor.

O volume inicial é 10⁻³ m³ e a densidade inicial do mercúrio é 13600 kg/m³. O coeficiente volumétrico do chumbo é aproximadamente três vezes o linear.

$$\beta_{Pb}=3\alpha_{Pb}=8{,}7\times10^{-5}\ \mathrm{^{\circ}C^{-1}}$$

$$E_0=13600(10)(10^{-3})=136\ \mathrm N$$

Ao aquecer 200 °C, o volume da esfera aumenta e a densidade do mercúrio diminui.

$$E_f=E_0\frac{1+\beta_{Pb}\Delta T}{1+\beta_{Hg}\Delta T}$$

$$E_f=136\frac{1{,}0174}{1{,}036}\approx133{,}56\ \mathrm N$$

O peso permanece constante. A variação da tração da mola é a própria variação do empuxo.

$$\Delta x=\frac{E_f-E_0}{250}\approx-9{,}77\times10^{-3}\ \mathrm m$$

A esfera desce aproximadamente 9,8 mm. Na aproximação de primeira ordem, obtém-se cerca de 10,1 mm. Desprezam-se mudanças térmicas da mola e da geometria de sua fixação.

Considere um raio na borda superior do feixe. As posições radiais de entrada e saída fazem 135° e 15° com o eixo horizontal positivo. A corda que as une faz −15° com esse eixo. Assim, o ângulo de incidência na entrada é 45° e o de refração é 30°.

$$n=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2$$

Na saída, a incidência interna também é 30°. Pela reversibilidade e pela lei de Snell, a refração no ar é de 45° com a normal, e o raio emergente faz 30° abaixo da horizontal.

$$h=R\sin15^\circ$$

$$\ell=\frac{h}{\tan30^\circ}$$

Desprezando a curvatura da calota de saída, conforme a aproximação pedida, a distância ao plano de saída é:

$$\ell=20\sqrt3\sin15^\circ\ \mathrm{cm}\approx8{,}97\ \mathrm{cm}$$

Se a superfície esférica for conservada e a distância for medida a partir do vértice mais à direita do recipiente, subtraia a flecha da calota:

$$\ell_{vert}=R\left(\cos15^\circ-1+\frac{\sin15^\circ}{\tan30^\circ}\right)\approx8{,}28\ \mathrm{cm}$$

As duas distâncias usam referências geométricas diferentes; a primeira corresponde ao plano de saída adotado na aproximação do enunciado.

Deslocar um espelho de Δx muda o caminho de ida e volta em 2Δx. Cada ciclo completo das franjas corresponde a uma variação de caminho igual a um comprimento de onda.

$$N\lambda=2\Delta x$$

$$\lambda=\frac{2(0{,}010)}{40}\ \mathrm{mm}$$

$$\lambda=0{,}00050\ \mathrm{mm}=500\ \mathrm{nm}$$

O fator dois decorre da reflexão no espelho móvel, não do número de feixes na recombinação.

Na carga até metade do valor máximo, a função dada fornece:

$$\frac12=1-e^{-t_c/(RC)}$$

$$t_c=RC\ln2$$

Na descarga da carga máxima até a metade:

$$\frac12=e^{-t_d/(RC)}$$

$$t_d=RC\ln2$$

$$\frac{t_c}{t_d}=1$$

A maior corrente de carga ocorre no instante inicial, quando a tensão do capacitor é nula.

$$i_{max}=\frac VR=\frac{20}{50}=0{,}40\ \mathrm A$$

Quando i = 0,10 A, a queda no resistor vale 5 V e restam 15 V no capacitor.

$$U_C=V-Ri=20-50(0{,}10)=15\ \mathrm V$$

$$Q=CU_C=5(15)=75\ \mathrm{\mu C}$$

A energia máxima armazenada, liberada na descarga completa ideal pelo resistor, é:

$$E_{max}=\frac12CV^2=\frac12(5\times10^{-6})(20)^2=1{,}0\times10^{-3}\ \mathrm J$$

O capacitor só chega à carga máxima exatamente no limite de tempo infinito do modelo exponencial.

Ao fechar a chave, a corrente no eletroímã cresce e aumenta o fluxo magnético através do anel condutor. A variação do fluxo induz uma corrente no alumínio.

Pela lei de Lenz, essa corrente cria um campo que se opõe ao aumento do fluxo imposto. A interação entre a corrente induzida e o campo não uniforme próximo à extremidade do núcleo exerce uma força para cima, afastando o anel da região de campo mais intenso.

Durante o transitório de ligação, o impulso pode superar o efeito do peso e lançar o anel. A energia mecânica vem da fonte elétrica. Com corrente contínua já estabilizada e anel parado, o fluxo não varia e a corrente induzida desaparece; o salto não implica levitação permanente.

Com os dois campos ligados e forças canceladas, o feixe selecionado tem velocidade E/B. Ao desligar somente o campo elétrico, a força magnética curva o movimento sem mudar a rapidez.

$$v_{sel}=\frac EB$$

$$r=\frac{mv}{eB}$$

O elétron entra na linha média, a d/2 de cada placa. No arco que avança ao longo das placas, a deflexão após percorrer a projeção horizontal L é:

$$y(L)=r-\sqrt{r^2-L^2}$$

Na configuração usual, d ≤ 2L. O limiar corresponde a tangenciar a borda de saída:

$$r-\sqrt{r^2-L^2}=\frac d2$$

$$r_{min}=\frac{L^2}{d}+\frac d4$$

$$v_{min}=\frac{eB}{m}\left(\frac{L^2}{d}+\frac d4\right)$$

Se d for muito menor que L, pode-se desprezar d/4. Para não tocar a borda, a rapidez deve superar estritamente o limiar. O feixe originalmente selecionado emerge se E/B satisfizer essa condição.

Para a geometria menos usual d > 2L, a condição de alcançar x = L domina: r deve ser ao menos L, dando limiar eBL/m. Aqui e é o módulo da carga e m é a massa do elétron.