OBF 2007

Enquanto não há deslizamento, o conjunto acelera a F/(M+m), e o atrito deve fornecer ma ao bloco.

$$\frac{mF}{M+m}\leq\mu_e mg$$

$$F_{lim}=\mu_e(M+m)g$$

Para F maior que esse limiar, o bloco desliza e as acelerações são:

$$a_m=\mu_cg$$

$$a_M=\frac{F-\mu_cmg}{M}$$

$$a_{rel}=a_M-a_m=\frac{F-\mu_c(M+m)g}{M}$$

Na aproximação de bloco puntiforme inicialmente na extremidade indicada, a tábua avança ℓ relativamente a ele antes da queda.

$$t=\sqrt{\frac{2M\ell}{F-\mu_c(M+m)g}}$$

Se a distância efetiva até a borda for diferente de ℓ por causa do tamanho do bloco, deve-se substituí-la por essa distância.

Meça θ em relação à vertical para baixo e adote y positivo para cima. A conservação de energia dá:

$$v^2=2g\ell\cos\theta$$

Na direção radial:

$$T_f-mg\cos\theta=\frac{mv^2}{\ell}$$

$$T_f=3mg\cos\theta$$

Logo a componente vertical da aceleração é:

$$a_y=\frac{T_f\cos\theta-mg}{m}=g(3\cos^2\theta-1)$$

Ela aponta para baixo nas partes superiores, |θ| > arccos(1/√3), e para cima perto do fundo, |θ| < arccos(1/√3). O limite de aceleração horizontal é:

$$|\theta|=\arccos\frac1{\sqrt3}\approx54{,}7^\circ$$

Há dois pontos simétricos da trajetória com essa condição.

No trecho 1→2, V/T é constante, pois a reta passa pela origem: trata-se de expansão isobárica. No trecho 2→3, V é constante e T diminui: resfriamento isocórico. No trecho 3→1, T = T₁: compressão isotérmica.

No plano PV, 1→2 é uma horizontal para a direita; 2→3 é uma vertical para baixo; 3→1 é uma hipérbole que sobe para a esquerda.

$$P_1=P_2=\frac{NRT_1}{V_1}=\frac{NRT_2}{V_2}$$

$$P_3=\frac{NRT_1}{V_2}

Na expansão isobárica o gás recebe calor (ΔU > 0 e W > 0). No resfriamento isocórico perde calor (W = 0, ΔU < 0). Na compressão isotérmica de gás ideal perde calor (ΔU = 0 e W < 0, logo Q < 0).

A temperatura inicial é 600 K. Em uma adiabática de gás ideal com γ constante:

$$p_f=p_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^\gamma$$

$$p_f=3(9)^{1{,}5}=81\ \mathrm{atm}$$

$$T_f=T_i\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}$$

$$T_f=600\sqrt9=1800\ \mathrm K$$

$$T_f=1527\ ^\circ\mathrm C$$

A redução de volume é uma compressão; pressão e temperatura aumentam mesmo sem calor trocado.

A densidade linear da corda é:

$$\mu=\frac{0{,}5}{20}=0{,}025\ \mathrm{kg/m}$$

$$v=\sqrt{\frac{1000}{0{,}025}}=200\ \mathrm{m/s}$$

$$\lambda=\frac{200}{5}=40\ \mathrm m$$

Duplicar a tensão multiplica a rapidez por √2. Para conservar λ, a frequência precisa mudar pelo mesmo fator.

$$f'=5\sqrt2\ \mathrm{Hz}\approx7{,}07\ \mathrm{Hz}$$

A frequência é determinada pelo movimento da extremidade; ela não muda espontaneamente quando a tensão muda, devendo ser ajustada como pede o item.

A frequência da luz não muda ao atravessar os materiais.

$$n_1=\frac{600}{400}=1{,}5$$

$$n_2=\frac{3\times10^8}{1{,}5\times10^8}=2$$

Para raio de 40 cm e lentes delgadas no ar:

$$f_1=\frac{40}{1{,}5-1}=80\ \mathrm{cm}$$

$$f_2=-\frac{40}{2-1}=-40\ \mathrm{cm}$$

$$\frac1f=\frac1{80}-\frac1{40}=-\frac1{80}$$

$$f=-80\ \mathrm{cm}$$

Com p = 20 cm:

$$q=\frac{fp}{p-f}=-16\ \mathrm{cm}$$

$$h'=-\frac qp h=\frac{16}{20}(5)=4\ \mathrm{cm}$$

A imagem é virtual, direita e reduzida.

O preço e a duração permitem recuperar as potências totais.

$$P_s=\frac{150/0{,}60}{1000}=0{,}250\ \mathrm{kW}=250\ \mathrm W$$

$$R_1+R_2=\frac{250^2}{250}=250\ \Omega$$

$$P_p=\frac{144/0{,}60}{1000}=0{,}240\ \mathrm{kW}=240\ \mathrm W$$

$$R_p=\frac{120^2}{240}=60\ \Omega$$

$$R_1R_2=60(250)=15000\ \Omega^2$$

As raízes de R²−250R+15000 = 0 são 100 Ω e 150 Ω. Em série a corrente é 1 A, dando potências 100 W e 150 W. Em paralelo:

$$P_{100}=\frac{120^2}{100}=144\ \mathrm W$$

$$P_{150}=\frac{120^2}{150}=96\ \mathrm W$$

O caderno trata as resistências como constantes; filamentos incandescentes reais variam com a temperatura.

No ponto A, a mola está alongada de 3d e as cargas estão separadas por d. Igualando os módulos das forças:

$$k(3d)=\frac{12k_e q^2}{d^2}$$

$$k=\frac{4k_e q^2}{d^3}$$

$$U_e=-\frac{12k_e q^2}{d}$$

Retirada a carga fixa e supondo que a esfera esteja em repouso em A, a amplitude é 3d.

$$T=2\pi\sqrt{\frac mk}=\pi\sqrt{\frac{md^3}{k_e q^2}}$$

$$E_m=\frac12k(3d)^2=\frac{18k_e q^2}{d}$$

O equilíbrio eletrostático em A é instável: a atração cresce mais rapidamente que a restauração para um pequeno avanço. A frase se desloca e fica em equilíbrio deve ser entendida como estado preparado, não como chegada espontânea e repouso a partir de O sem dissipação ou intervenção.