Prova escrita de 2007. Expressões matemáticas recompostas e dados dos textos de apoio reunidos em cada questão. Figuras extraídas do caderno original; trajetórias da questão 17 do Ensino Fundamental redesenhadas separadamente. Resoluções próprias e análises editoriais do Método TEF. Use g = 10 m/s² e, quando solicitado, π = 3. As aproximações trigonométricas e constantes específicas estão indicadas nas questões ou no PDF original. A designação 8ª série é a identificação original do Ensino Fundamental da época. Erros numéricos, ambiguidades e diferenças editoriais são explicados nas respectivas resoluções.
Q01
Ciclo lunar e rapidez orbital — Fase em dezembro a partir de outubro
Os ritmos e periodicidades são anteriores à existência do homem na Terra. Aliás, os seres humanos (seres vivos) se adaptaram a eles. A Terra gira em torno de seu próprio eixo em um dia e leva um ano (365 dias e seis horas) para completar um ciclo em torno do Sol. Um outro ciclo usado é o mensal, originado do movimento de translação da Lua em torno da Terra. Esta translação está mostrada na figura1, onde a parte clara representa a face da Lua iluminada pelo Sol. http://www.physics.sjsu.edu/tomley/MoonPhase.html Iniciando-se o ciclo mensal com a Lua Nova, quando ela estiver entre a Terra e o Sol, a face voltada para a Terra estará escura. Este evento ocorrerá no próximo dia 10, de acordo com o calendário lunar mensal da figura 2. Em pouco mais de uma semana, o movimento de translação da Lua irá alcançar a fase denominada Quarto Crescente (aproximadamente no dia 18). Na semana seguinte, quando a Lua e o Sol estiverem em lados opostos da Terra, a face da Lua da voltada para a Terra estará toda iluminada, tendo-se a chamada Lua Cheia (dia 25). Nas duas semanas seguintes, a iluminação da Lua irá minguando tendo-se, então a fase Quarto Minguante (tendo o auge em 1º de novembro), quando apenas meio disco da Lua receberá a luz Solar e, após o Minguante, a Lua chegará outra vez à sua Fase Nova (9 de novembro), quando não será mais vista no céu, fechando o ciclo. As principais fases do ciclo lunar são, portanto: Nova, Quarto Crescente, Cheia e Quarto Minguante. Considerando o tempo de revolução da Lua como 29 dias e 12 horas, e a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua igual a 384.000 km, pergunta-se:
a) Qual a velocidade média, em km/h, da Lua em relação à Terra?
b) Em que fase a Lua se encontrará no dia 22 de dezembro, quando se estima publicar o resultado da OBF2007? Apresente o raciocínio integral na folha de resoluções e esboce que tipo de Lua será vista na Terra. Tome como base as fotos do Calendário Lunar no mês de outubro.
Resposta TEF: a) Aproximadamente 3254 km/h, no modelo dado. b) Crescente gibosa, próxima de cheia; aproximadamente cheia na classificação simplificada.
Resolução comentada · Método TEF
A questão usa período sinódico de 29,5 dias como aproximação do período de uma volta circular. Com π = 3:
Essa é rapidez média, não velocidade vetorial média de uma volta. O período orbital sideral real é diferente, mas o cálculo solicitado usa a aproximação do enunciado.
De 10 de outubro até 22 de dezembro passam 73 dias.
$$73=2(29{,}5)+14$$
Quatorze dias depois da nova, a Lua está crescente gibosa, muito próxima de cheia. No calendário simplificado de quatro fases, a resposta é aproximadamente Lua cheia. Um esboço deve mostrar o disco quase todo iluminado, e não um quarto.
Aspecto quase cheio, ainda crescente, previsto pelo modelo de período constante adotado no enunciado. Esboço sem orientação geográfica.
Q02
Gráfico do quadrado do período — Pêndulo de Galileu
“Galileu Galilei foi um dos maiores cientistas da história. Ele nasceu em 1564, na cidade de Pisa, Itália. Na época, não havia relógios mecânicos a corda muito menos os eletrônicos (o uso da eletricidade é bem posterior a Galileu: a pilha elétrica, por exemplo, foi inventada em 1800). O passar das horas do dia era acompanhado por meio de relógios do sol. Pequenos intervalos de tempo podiam ser marcados pelo escoar da areia, nas ampulhetas, ou da água, nos relógios de água. Era, portanto, muito difícil marcar com precisão intervalos de tempo da ordem de minutos e segundos. Conta-se que, aos 19 anos, Galileu estava na catedral de Pisa e observou atentamente um candelabro que, preso ao teto por uma corrente, balançava de um lado para outro. Ele percebeu que o período de oscilação parecia ser o mesmo, qualquer que fosse a amplitude das oscilações. Sendo estudante de Medicina na época, Galileu usou a contagem de suas próprias pulsações como “relógio” improvisado para confirmar essa suposição. Seu interesse pela Medicina, contudo, não foi longe. Ele desistiu do curso antes de se formar e dedicou a vida ao estudo das aplicações da Matemática à Astronomia e à Ciência posteriormente denominada Física. Mais tarde, Galileu estudaria detalhadamente o comportamento dos pêndulos e, nos últimos anos de sua vida, trabalharia na tentativa de utilizá-los para a marcação do tempo.” (Texto do livro – Ciências Naturais – Aprendendo com o cotidiano – 8ª série – de Eduardo Leite do Canto) Esquematicamente podemos representar o pêndulo de Galileu na figura 3. Chegou-se à conclusão que, fazendo o gráfico da figura 3, do quadrado do período - período do pêndulo é definido como o tempo necessário para voltar ao ponto inicial - com o comprimento ℓ do fio, resulta em uma reta.
(a) Determine o coeficiente angular da reta.
(b) Escreva o período T em função do comprimento ℓ.
(c) Reproduza o esboço do Pêndulo de Galileu no caderno de respostas e desenhe as forças que atuam no mesmo.
Resposta TEF: a) 4 s²/m. b) T² = (4 s²/m)ℓ. c) Peso para baixo e tração para o suporte.
Resolução comentada · Método TEF
A reta passa pela origem e por ℓ = 1 m, T² = 4 s².
No desenho das forças, represente o peso mg vertical para baixo e a tração T_f ao longo do fio em direção ao ponto de suspensão. A componente tangencial do peso é a restauradora; não acrescente uma terceira força chamada centrípeta.
Forças sobre a massa pendular: peso vertical para baixo e tração ao longo do fio para o apoio.
Q03
Lançamento horizontal — Distância entre extremos e tempo de queda
Observe, atentamente, as fotografias figura 4 a seguir. A primeira é um arco duplo anunciando a presença de uma conhecida rede de lanchonetes. Embaixo dela vemos uma foto noturna de uma saltadora de trampolim, quase reproduzindo uma das parábolas do arco duplo. Ao seu lado, na parte de cima, temos um chafariz “jorrando parábolas”, que são também reproduzidas pela erupção de um vulcão, vista na foto de baixo. Estas parábolas podem ser obtidas para finalidades didáticas em fotografias estroboscópicas* (vejam a foto da figura 5) representando o conhecido fenômeno de lançamento de projéteis. A última foto da figura 5 representa um dos lados da parábola, obtido a partir do lançamento horizontal de uma bola branca em um campo gravitacional (g = 10 m/s²), com velocidade inicial de 2,0 m/s e de uma altura de 5,0 m do solo. O movimento da bola pode ser representado matematicamente pela função parábola y = 5,0 - 1,25 x², com y e x em metros. Pergunta-se:
(a) Qual será a menor distância entre o ponto inicial e o ponto final da trajetória? Ainda na última fotografia da figura 5 se solta, simultaneamente com a bola branca, uma bola cinza em queda livre. Observe que as coordenadas verticais (y) das duas bolas são idênticas, a cada instante, e a função em y da bola em queda livre, em relação ao tempo, é y = 5,0 - 5 t². De acordo com esta equação:
(b) Quanto tempo levará a bola cinza para atingir o solo? * Na fotografia estroboscópica temos apenas uma bola fotografada várias vezes, ou seja, fotografias estroboscópicas são aquelas que o filme ou o ccd (ocupa o lugar do filme da máquina digital) são expostos em um tempo maior que o usual e o objeto de estudo é iluminado algumas vezes resultando numa foto onde parecem existir múltiplas bolas.
Resposta TEF: a) √29 m ≈ 5,39 m. b) 1,0 s.
Resolução comentada · Método TEF
A bola branca parte de (0,5 m) e atinge o chão quando y = 0.
$$0=5-1{,}25x^2$$
$$x=2\ \mathrm m$$
A menor distância entre os pontos inicial e final é o segmento de reta, não o comprimento da parábola.
Os dois corpos chegam ao nível do chão ao mesmo tempo no modelo sem arrasto.
Q04
Lançamento em caminhão uniforme — Composição de movimentos
Para complementar a questão anterior, apresenta-se na figura 6 acima uma seqüência de quatro ilustrações. Na última, observe a semelhança com as fotos da questão anterior, onde os pontos de uma parábola completa são obtidos do lançamento, na direção vertical, de um objeto a partir de um caminhão em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). Este MRU é representado pela seqüência uniforme de pontilhados horizontais.
a) Se a função que representa a evolução temporal do caminhão é x = 2,0 t, qual é a velocidade do caminhão? Como na questão anterior, a única força atuante é a da gravidade, cuja aceleração é aproximada para g = 10 m/s². A descrição completa da ascensão e queda, na coordenada vertical, do objeto lançado do caminhão em função do tempo, é y = 10t -5t², e na coordenada horizontal temos o MRU (x = 2,0 t).Com essas informações:
(b) Calcule o módulo da velocidade inicial vertical, representado no primeiro quadro da seqüência de ilustrações. Combinando-se os dois movimentos (horizontal e vertical):
(c) Qual é a equação da trajetória parabólica (y) em termos de x?
d) Qual será a altura máxima atingida pelo objeto?
Resposta TEF: a) 2,0 m/s. b) 10 m/s. c) y = 5x − 1,25x², no SI. d) 5,0 m.
Resolução comentada · Método TEF
Das equações horárias, as velocidades iniciais são vₓ = 2 m/s e vᵧ₀ = 10 m/s. Elimine o tempo usando t = x/2.
As coordenadas são medidas a partir do lançamento, como nas expressões fornecidas.
Q05
Atraso entre clarão e som — Explosão a duzentos metros de altura
O morteiro pirotécnico é um fogo de artifício que, lançado verticalmente, explode à altura de 200 m. Suponha que você, situado a certa distância do lançamento de um morteiro, mediu o tempo de 3 s entre o clarão e o som da explosão correspondente. A velocidade da luz é extremamente alta (300.000 km/s) de modo que, para efeito prático, o clarão do morteiro chega instantaneamente aos nossos olhos. Por outro lado, a velocidade do som no ar é bem menor e perceptível aos nossos sentidos, sendo igual a 340m/s.
a) Determine a distância percorrida pelo som do ponto da explosão até você.
b) Determine a distância entre o ponto de lançamento do morteiro e a posição onde você ouviu a explosão.
Resposta TEF: a) 1020 m. b) Aproximadamente 1000,2 m.
Resolução comentada · Método TEF
A luz é tratada como instantânea na escala de segundos. A distância inclinada do som é:
$$d=vt=340(3)=1020\ \mathrm m$$
A projeção horizontal entre observador e ponto de lançamento segue do triângulo retângulo.
O percurso acústico é a hipotenusa, não a distância horizontal pedida no segundo item.
Q06
Velocidade relativa de sombra — Avião ultrapassando motocicleta
Um eclipse solar ocorre quando a Lua se coloca entre o Sol e a Terra projetando sua sombra na superfície do nosso planeta. Os astrônomos calculam com muita precisão, entre outras grandezas, o tempo de duração do eclipse numa determinada cidade. SOL LUA TERRA ECLIPSE Podemos ter uma idéia aproximada de como esse cálculo é feito, resolvendo o seguinte problema (figura 9): O Sol, encontrando-se a pino, produz um feixe de luz paralelo e perpendicular ao solo. Entre o Sol e uma estrada plana e retilínea voa um avião de 80 m de comprimento com velocidade de 540 km/h em relação ao solo. A sombra produzida pelo avião atinge, em um determinado instante, uma motocicleta que se move no mesmo sentido e com velocidade de 180 km/h. Durante quanto tempo a sombra permanece sobre a moto? Observação: uma das propriedades de luz paralela em incidência normal é formar sombra com o mesmo tamanho do objeto.
Resposta TEF: 0,80 s.
Resolução comentada · Método TEF
Sob iluminação paralela vertical, a sombra tem 80 m e se move com a velocidade horizontal do avião.
$$v_a=\frac{540}{3{,}6}=150\ \mathrm{m/s}$$
$$v_m=\frac{180}{3{,}6}=50\ \mathrm{m/s}$$
$$v_{rel}=150-50=100\ \mathrm{m/s}$$
$$\Delta t=\frac{80}{100}=0{,}80\ \mathrm s$$
O intervalo começa quando a frente da sombra alcança a motocicleta e termina quando sua parte traseira a ultrapassa.
Q07
Inclinação de T em função de Q — Água, solo e pequena massa incandescente
Veja na figura 10 faíscas de um “fósforo de festas juninas”, usualmente denominado de chuvas de prata. A temperatura de sua chama pode atingir valores maiores que 2000 °C mas, quando ela atinge a pele humana, sente-se apenas uma ligeira “beliscada”. Desta forma, alta temperatura não necessariamente significa alta quantidade de calor. De fato, a variação de calor (ΔQ) é relacionada com a variação de Temperatura (ΔT) através da massa (m) e de uma quantidade chamada calor específico (c), resultando na fórmula. ΔQ = mcΔT Consideremos (figura 11) um gráfico da Temperatura T em função da quantidade de calor adicionado Q, para o caso da água e do solo, cujos calores específicos c são 4,18 J/(g·°C) e 0,80 J/(g·°C) , respectivamente. No gráfico nota-se que, para aumentar de 1 °C a temperatura de uma quantidade de água ou de solo igual a 1,0 g, é necessário a energia de 4,18 J ou 0,80 J, respectivamente. Considerando este gráfico:
(a) Determine o coeficiente angular da reta referente à água e da reta referente ao solo.
b) Ao adicionarmos a quantidade de calor de 1,0 J, a uma mesma quantidade m de água e de solo, qual será a diferença de temperatura entre os dois materiais?
(c) Supondo que 1,0 mg (miligrama) do material “chuveirinho”, de calor específico igual a 0,20 J/g°C, sofre uma variação de temperatura igual a 2000 °C, calcule a variação da quantidade de calor.
Resposta TEF: a) 0,239 e 1,25 °C/J. b) 1,011/m °C, com m em gramas; 1,01 °C para 1 g. c) 0,40 J em módulo.
Resolução comentada · Método TEF
Como ΔT = Q/(mc), a inclinação da reta T × Q é 1/(mc). Para 1 g:
No exemplo do gráfico, m = 1 g e a diferença é 1,01 °C. Para o fragmento de 1 mg:
$$|Q|=0{,}001(0{,}20)(2000)=0{,}40\ \mathrm J$$
A pequena energia do exemplo decorre da pequena massa, mas a narrativa não permite generalizar que faíscas sejam inofensivas à pele.
Q08
Campo na superfície dos astros — Peso em diferentes planetas
Pela lei de Newton, F = GMm/r². Na superfície de um astro, o peso é mg e g = GM/r².
a) Calcule g na Terra com M = 6 × 10²⁴ kg, R = 6 × 10⁶ m e G = 6 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²).
b) Um objeto pesa 10 N na Terra. Quanto pesará na Lua, em Marte e em Saturno? Use a tabela de massas e raios relativos à Terra: Lua (0,012; 0,27), Marte (0,1; 0,5), Saturno (95; 9,5).
Resposta TEF: a) 10 m/s². b) Lua: 1,65 N; Marte: 4,0 N; Saturno: 10,53 N.
