OBF 2014 — 2ª fase · Nível II (1ª e 2ª séries) | Física resolvida

Q01

Física geral — Cristalografia — Volume da célula e densidade do cristal

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

a) Qual o volume de uma célula unitária? b) Qual a densidade do cristal? (Cada célula unitária possui apenas 1 átomo.)

Rede cúbica de átomos, com a célula unitária destacada e os átomos numerados de 1 a 8; eixos x (direita), y (para cima) e z (para o observador)

Resposta TEF: a) $V=d^3$; b) $\rho=\dfrac{M}{d^3}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Cubo de aresta $d$: $V=d^3$.

b) Com 1 átomo (massa $M$) por célula (volume $d^3$): $\rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{d^3}$.

Q02

Física geral — Cristalografia — Primeiros, segundos e terceiros vizinhos em uma célula cúbica

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

Para o átomo 1, os átomos 2, 4 e 5 são os primeiros vizinhos (os mais próximos). Analogamente definimos segundos e terceiros vizinhos. Qual(is) o(s) segundo(s) vizinho(s) do átomo 1? Qual(is) o(s) terceiro(s) vizinho(s)?

Resposta TEF: Segundos vizinhos: 3, 6 e 8; terceiro vizinho: 7.

Resolução comentada · Método TEF

As distâncias a partir do átomo 1 são: arestas ($d$): átomos 2, 4 e 5 (primeiros vizinhos); diagonais de face ($d\sqrt2$): átomos 3 (face inferior), 6 (face da frente) e 8 (face da esquerda) — segundos vizinhos; diagonal do cubo ($d\sqrt3$): átomo 7 — terceiro vizinho.

Q03

Física geral — Cristalografia — Número de células unitárias em um cristal

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

Quantas células unitárias um cristal de $1\ \text{cm}^3$ possui para $d=2\times10^{-10}\ \text{m}$?

Resposta TEF: $N=1{,}25\times10^{23}$.

Resolução comentada · Método TEF

$V_{cel}=(2\times10^{-10})^3=8\times10^{-30}\ \text{m}^3$ e $V=10^{-6}\ \text{m}^3$:

$$N=\frac{10^{-6}}{8\times10^{-30}}=1{,}25\times10^{23}$$

Q04

Física geral — Cristalografia — Densidade de empacotamento hexagonal e quadrada

Deseja-se empacotar discos idênticos de modo a obter a máxima densidade. A figura mostra dois arranjos: (a) hexagonal e (b) quadrado. Em cada caso, determine a densidade de empacotamento (fração de área ocupada pelos discos).

Dois empacotamentos de discos: (a) hexagonal, com um hexágono desenhado, e (b) quadrado, com um quadrado desenhado

Resposta TEF: (a) $\dfrac{\pi}{2\sqrt3}\approx0{,}91$ (com $\pi=3$ e $\sqrt3=1{,}7$: $\approx0{,}88$); (b) $\dfrac\pi4\approx0{,}79$ ($0{,}75$ com $\pi=3$).

Resolução comentada · Método TEF

(b) Quadrado. Célula: quadrado de lado $D$ (diâmetro) com um disco: $f=\dfrac{\pi D^2/4}{D^2}=\dfrac\pi4\approx0{,}79$.

(a) Hexagonal. Célula: hexágono regular de lado $D/\sqrt3$ e área $\dfrac{\sqrt3}{2}D^2$ com o equivalente a 1 disco: $f=\dfrac{\pi D^2/4}{\sqrt3D^2/2}=\dfrac{\pi}{2\sqrt3}\approx0{,}91$.

Q05

Óptica — Interferência — Lei de Bragg: diferença de caminho

Os raios X incidentes e refletidos por átomos em planos de Bragg (separados por $d$, com ângulo $\theta$ entre o raio e o plano) interferem construtivamente quando a diferença de caminho ABC é igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda $\lambda$. Determine o valor do segmento ABC em função de $d$ e $\theta$.

Raios X incidentes e refletidos em dois planos atômicos separados por d, com ângulo θ e pontos A, B e C

Resposta TEF: $\overline{ABC}=2\,d\,\text{sen}\,\theta$.

Resolução comentada · Método TEF

O raio que reflete no plano inferior percorre a mais os trechos AB e BC. Com os planos separados por $d$ e o raio fazendo o ângulo $\theta$ com o plano, no triângulo retângulo de cateto $d$ (vertical) vale $\overline{AB}=d\,\text{sen}\,\theta$ (projeção da separação sobre a direção do raio), e do mesmo modo $\overline{BC}=d\,\text{sen}\,\theta$.

Logo $\overline{ABC}=\overline{AB}+\overline{BC}=2\,d\,\text{sen}\,\theta$, e a interferência construtiva exige $2\,d\,\text{sen}\,\theta=n\,\lambda$ ($n=1,2,\dots$) — a lei de Bragg.

Q06

Ondas — Ondas sonoras — Velocidade do som e distâncias em um estádio

Dois torcedores estão num estádio quando veem o juiz levar o apito à boca para encerrar a partida. Após $0{,}250\ \text{s}$ o torcedor A ouve o apito; o torcedor B ouve após $0{,}155\ \text{s}$. As linhas de visão dos torcedores até o juiz formam entre si $90^\circ$. Calcule: a) as distâncias dos torcedores até o juiz; b) a distância entre os dois torcedores (em linha reta). (Velocidade do som: $340\ \text{m/s}$.)

Resposta TEF: a) $d_A=85\ \text{m}$ e $d_B\approx53\ \text{m}$; b) $\approx100\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) $d_A=v\,t_A=340\cdot0{,}250=85\ \text{m}$ e $d_B=340\cdot0{,}155=52{,}7\ \text{m}$.

b) Os segmentos juiz–A e juiz–B são perpendiculares; a distância A–B é a hipotenusa:

$$AB=\sqrt{85^2+52{,}7^2}=\sqrt{7225+2777}\approx100\ \text{m}$$

Q07

Mecânica — Cinemática — Gotas de óleo: velocidade e aceleração médias

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Um veículo, viajando em linha reta do ponto A ao ponto B, tem um vazamento de óleo: uma gota cai do motor a cada $3\ \text{s}$, e a figura mostra o padrão das marcas no asfalto (posições aproximadas, em m: $0$; $14$; $58$; $134$; $224$; $315$; $406$). a) Qual a velocidade média do carro entre $0$ e $18\ \text{s}$? b) Qual a aceleração média entre $0$ e $6\ \text{s}$? c) Qual a aceleração média entre $12$ e $18\ \text{s}$?

Régua de 0 a 420 m com as marcas das gotas de óleo entre A e B

Resposta TEF: a) $\approx23\ \text{m/s}$; b) $\approx3{,}3\ \text{m/s}^2$; c) $\approx0$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as posições foram lidas na figura (±2 m).

a) As 7 marcas correspondem a $t=0,3,\dots,18\ \text{s}$ e a distância total é $\approx406\ \text{m}$: $v_m=\dfrac{406}{18}\approx22{,}6\ \text{m/s}$.

Velocidades médias em cada intervalo de $3\ \text{s}$: $\dfrac{14}{3}=4{,}7$; $\dfrac{44}{3}=14{,}7$; $\dfrac{76}{3}=25{,}3$; $\dfrac{90}{3}=30$; $\dfrac{91}{3}=30{,}3$; $\dfrac{91}{3}=30{,}3\ \text{m/s}$.

b) Entre $0$ e $6\ \text{s}$ a variação das velocidades médias consecutivas é $\dfrac{14{,}7-4{,}7}{3}\approx3{,}3\ \text{m/s}^2$ (e $\dfrac{25{,}3-14{,}7}{3}\approx3{,}5$): aceleração média $\approx3{,}3\ \text{m/s}^2$.

c) Entre $12$ e $18\ \text{s}$ os deslocamentos são iguais ($91\ \text{m}$ a cada $3\ \text{s}$): velocidade constante, $a\approx0$.

Q08

Mecânica — Trabalho e energia — Colisão com o piso: energia perdida e velocidade após o choque

Exclusiva do aluno da 1ª série no caderno original

Uma bola de futebol é deixada cair de uma altura de 2,4 m, colide com o piso rígido e retorna à altura de 1,8 m. Que fração da energia inicial é perdida na colisão e qual a velocidade da bola imediatamente após a colisão? Despreze a resistência do ar.

Resposta TEF: $25\%$ da energia; $v=6\ \text{m/s}$ (para cima).

Resolução comentada · Método TEF

Energia (potencial) antes: $m\,g\cdot2{,}4$; depois: $m\,g\cdot1{,}8$. Fração perdida: $\dfrac{2{,}4-1{,}8}{2{,}4}=0{,}25=25\%$.

Imediatamente após o choque, a energia cinética se converte em energia potencial até $1{,}8\ \text{m}$:

$$v=\sqrt{2\,g\,h}=\sqrt{2\cdot10\cdot1{,}8}=6\ \text{m/s}$$ (antes do choque: $\sqrt{48}\approx6{,}9\ \text{m/s}$).

Q09

Mecânica — Cinemática — Lançamento oblíquo: velocidade e ângulo a partir do alcance e do tempo de voo

Na Copa do Mundo de 1970, num lance que ficou conhecido como “o gol que Pelé não fez”, Pelé chutou a bola de alguns metros atrás da linha central. A bola viajou por aproximadamente 3 s, e estima-se que o alcance tenha sido de 60 m. Com esses dados, determine a velocidade inicial e o ângulo com que a bola foi lançada. Despreze a resistência do ar e considere a trajetória plana.

Resposta TEF: $v_0=25\ \text{m/s}$ e $\theta\approx37^\circ$.

Resolução comentada · Método TEF

Horizontal (uniforme): $v_x=\dfrac{60}{3}=20\ \text{m/s}$. Vertical: o tempo de voo (lançamento e chegada no mesmo nível) é $T=\dfrac{2\,v_y}{g}\Rightarrow v_y=\dfrac{g\,T}{2}=15\ \text{m/s}$.

$$v_0=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{400+225}=25\ \text{m/s}\qquad\tan\theta=\frac{15}{20}=0{,}75\Rightarrow\theta\approx37^\circ$$

Q10

Termologia — Gases — Perda de pressão a volume constante

Para que uma bola seja aprovada pela federação de futebol, é aceitável uma perda máxima de pressão de 20% em 72 h, partindo de 0,8 bar ao nível do mar. Suponha que o interior da bola contenha um gás ideal e que a temperatura e o volume sejam constantes. Que fração máxima de gás pode ser liberada da bola para que, ainda assim, seja reconhecida pela federação?

Resposta TEF: $20\%$.

Resolução comentada · Método TEF

Com $V$ e $T$ constantes, $P\,V=n\,R\,T$ dá $P\propto n$: uma queda de $20\%$ na pressão corresponde a uma perda de $20\%$ da quantidade de gás.

Q11

Ondas — Ondas eletromagnéticas — Tempos de propagação: satélite, fibra óptica e som

Um jogo de futebol é transmitido via satélite geoestacionário para a residência A e via cabo de fibra óptica (índice de refração 1,5) para a residência B. A velocidade orbital do satélite é de $3{,}0\ \text{km/s}$. As casas A e B são vizinhas e estão a $100\ \text{km}$ do estádio. A residência C não recebe sinal elétrico, mas, por estar a $170\ \text{m}$ do estádio, ouve o som direto do público. Qual das residências receberá primeiro o sinal? Qual é o atraso, em relação ao momento do evento, em cada uma? ($g=10\ \text{m/s}^2$, $R_T=6400\ \text{km}$, $c=3{,}0\times10^{8}\ \text{m/s}$, $v_{som}=340\ \text{m/s}$.)

Satélite, estádio, casas A e B (próximas) e casa C (próxima do estádio)

Resposta TEF: B primeiro ($\approx0{,}5\ \text{ms}$); depois A ($\approx0{,}26\ \text{s}$) e, por último, C ($0{,}5\ \text{s}$).

Resolução comentada · Método TEF

B (fibra): velocidade $v=\dfrac cn=2{,}0\times10^{8}\ \text{m/s}$: $t_B=\dfrac{10^5}{2\times10^{8}}=5\times10^{-4}\ \text{s}=0{,}5\ \text{ms}$.

A (satélite geoestacionário). O raio da órbita vem da velocidade orbital: $\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{GM}{v^2}=\dfrac{g\,R_T^2}{v^2}=\dfrac{10\cdot(6{,}4\times10^{6})^2}{(3\times10^{3})^2}\approx4{,}5\times10^{7}\ \text{m}$, ou seja, altitude $h\approx3{,}9\times10^{7}\ \text{m}$. O sinal sobe e desce: $t_A\approx\dfrac{2h}{c}=\dfrac{7{,}8\times10^{7}}{3\times10^{8}}\approx0{,}26\ \text{s}$ (a distância horizontal de $100\ \text{km}$ é desprezível frente a $h$).

C (som): $t_C=\dfrac{170}{340}=0{,}50\ \text{s}$.

Ordem de chegada: B ($0{,}5\ \text{ms}$), A ($\approx0{,}26\ \text{s}$), C ($0{,}50\ \text{s}$).

Q12

Óptica — Refração da luz — Ângulo limite e área iluminada na superfície

Uma fonte de luz monocromática é instalada no centro do fundo de uma piscina de 10 m de comprimento, 5 m de largura e aproximadamente $1{,}61\ \text{m}$ de profundidade, cheia de água com índice de refração $\tfrac43$. Se o índice de refração do ar é igual a 1 e as paredes da piscina não refletem luz, que fração da superfície da piscina é iluminada?

Resposta TEF: $\approx21\%$ da superfície.

Resolução comentada · Método TEF

A luz só sai pela superfície se o ângulo de incidência for menor que o ângulo limite: $\text{sen}\,\theta_c=\dfrac{n_{ar}}{n_{água}}=\dfrac34$, logo $\tan\theta_c=\dfrac{3}{\sqrt7}\approx1{,}13$.

A região iluminada na superfície é um círculo de raio $r=h\,\tan\theta_c=1{,}61\cdot1{,}134\approx1{,}83\ \text{m}$ (cabe na largura de $5\ \text{m}$ e as paredes não refletem).

$$A_{ilum}=\pi r^2\approx10{,}5\ \text{m}^2\ \Rightarrow\ \frac{A_{ilum}}{A_{piscina}}=\frac{10{,}5}{50}\approx0{,}21$$

Dados da prova