OBF 2014 — 2ª fase · Nível III (3ª série) | Física resolvida

Q01

Eletricidade — Eletrostática — Lei de Coulomb em uma célula cúbica

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Considere que todos os átomos têm carga $+q$ e que as únicas forças são eletrostáticas (constante de Coulomb $k$). Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

Determine: a) o módulo da força elétrica no átomo 6 devido ao átomo 2; b) o módulo da força elétrica no átomo 6 devido ao átomo 4; c) a razão entre os módulos das forças elétricas no átomo 6 devido ao átomo 2 e ao átomo 3.

Rede cúbica de átomos, com a célula unitária destacada e os átomos numerados de 1 a 8; eixos x (direita), y (para cima) e z (para o observador)

Resposta TEF: a) $\dfrac{k\,q^2}{d^2}$; b) $\dfrac{k\,q^2}{3\,d^2}$; c) $2$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Os átomos 6 e 2 estão ligados por uma aresta (vertical), à distância $d$: $F=\dfrac{k\,q^2}{d^2}$.

b) Os átomos 6 e 4 estão nos extremos de uma diagonal do cubo, à distância $d\sqrt3$: $F=\dfrac{k\,q^2}{3\,d^2}$.

c) Os átomos 6 e 3 estão em extremos de uma diagonal de face (face direita), a $d\sqrt2$: $F_{63}=\dfrac{k\,q^2}{2\,d^2}$, então $\dfrac{F_{62}}{F_{63}}=\dfrac{1/d^2}{1/(2d^2)}=2$.

Q02

Eletricidade — Eletrostática — Direção de forças entre cargas em um cubo

a) Determine o ângulo (em graus) entre o eixo $x$ e a força que atua na carga 2 devido à carga 7. b) Determine o ângulo (em graus) entre o eixo $y$ e a força que atua na carga 1 devido à carga 7.

Resposta TEF: a) $90^\circ$; b) $\approx125^\circ$ (ou $\approx55^\circ$ com a direção do eixo $y$ no sentido oposto).

Resolução comentada · Método TEF

Com o átomo 1 na origem: $1=(0,0,0)$, $2=(d,0,0)$, $7=(d,d,-d)$. Como as cargas são iguais, a força sobre uma carga tem a direção que se afasta de 7.

a) Sobre 2: direção $\vec r_2-\vec r_7=(0,-d,+d)$, perpendicular ao eixo $x$: ângulo de $90^\circ$ com o eixo $x$.

b) Sobre 1: direção $\vec r_1-\vec r_7=(-d,-d,+d)$. O cosseno do ângulo com $+\hat y$ é $\dfrac{-d}{d\sqrt3}=-0{,}577$: $\varphi\approx125^\circ$ (a força forma $\approx55^\circ$ com o eixo $-y$).

Q03

Física geral — Cristalografia — Densidade de empacotamento hexagonal e quadrada

Deseja-se empacotar discos idênticos de modo a obter a máxima densidade. A figura mostra dois arranjos: (a) hexagonal e (b) quadrado. Em cada caso, determine a densidade de empacotamento (fração de área ocupada pelos discos).

Dois empacotamentos de discos: (a) hexagonal, com um hexágono desenhado, e (b) quadrado, com um quadrado desenhado

Resposta TEF: (a) $\dfrac{\pi}{2\sqrt3}\approx0{,}91$ (com $\pi=3$ e $\sqrt3=1{,}7$: $\approx0{,}88$); (b) $\dfrac\pi4\approx0{,}79$ ($0{,}75$ com $\pi=3$).

Resolução comentada · Método TEF

(b) Quadrado. Célula: quadrado de lado $D$ (diâmetro) com um disco: $f=\dfrac{\pi D^2/4}{D^2}=\dfrac\pi4\approx0{,}79$.

(a) Hexagonal. Célula: hexágono regular de lado $D/\sqrt3$ e área $\dfrac{\sqrt3}{2}D^2$ com o equivalente a 1 disco: $f=\dfrac{\pi D^2/4}{\sqrt3D^2/2}=\dfrac{\pi}{2\sqrt3}\approx0{,}91$.

Q04

Física geral — Cristalografia — Distância entre planos de Bragg em uma rede quadrada

A figura mostra um arranjo de íons num cristal cúbico (NaCl), e as linhas pontilhadas representam as interseções de planos de íons (planos de Bragg) com o plano da folha. $r$ é a separação entre os íons (parâmetro de rede) e $d$, a separação entre os planos. Note que essa família de planos não é única. Calcule a distância entre os planos de Bragg em função de $r$.

Rede quadrada de íons de espaçamento r com planos de Bragg inclinados (linhas tracejadas) separados por d

Resposta TEF: $d=\dfrac{r}{\sqrt5}\approx0{,}45\,r$.

Resolução comentada · Método TEF

Na figura, cada plano passa pelos íons deslocados de $(1,\,-2)$ em unidades de $r$ (uma coluna para a direita e duas linhas para baixo). O vetor ao longo do plano é $\vec u=(r,\,-2r)$, de comprimento $r\sqrt5$.

Os planos vizinhos passam pelos íons vizinhos, deslocados de $(0,\,r)$ em relação ao primeiro. A distância entre planos é a componente de $(0,r)$ perpendicular a $\vec u$: $$d=\frac{|\vec u\times(0,r)|}{|\vec u|}=\frac{r\cdot r}{r\sqrt5}=\frac{r}{\sqrt5}\approx0{,}45\,r$$

Q05

Óptica — Interferência — Lei de Bragg: ângulos de interferência construtiva

A figura mostra os raios X incidentes e refletidos pelos elétrons nos átomos contidos nos planos de Bragg. a) Calcule a diferença de caminho ABC. b) Para que valores de $\theta$ os raios refletidos produzirão interferência construtiva?

Raios X incidentes e refletidos em dois planos atômicos separados por d, com ângulo θ e pontos A, B e C

Resposta TEF: a) $\overline{ABC}=2\,d\,\text{sen}\,\theta$; b) $\text{sen}\,\theta=\dfrac{n\,\lambda}{2\,d}$ ($n=1,2,\dots$, com $n\lambda\le2d$).

Resolução comentada · Método TEF

a) No triângulo retângulo, cada trecho extra vale $\overline{AB}=\overline{BC}=d\,\text{sen}\,\theta$ (projeção da separação $d$ sobre a direção do raio, com $\theta$ medido entre o raio e o plano): $\overline{ABC}=2\,d\,\text{sen}\,\theta$.

b) Interferência construtiva: diferença de caminho múltipla de $\lambda$: $$2\,d\,\text{sen}\,\theta=n\,\lambda\ \Rightarrow\ \theta_n=\arcsin\frac{n\,\lambda}{2\,d}\qquad(n=1,2,3,\dots,\ n\lambda\le2d)$$ (lei de Bragg).

Q06

Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão elástica oblíqua entre bolas idênticas

Para aperfeiçoar o desempenho dos goleiros, uma bola B é colocada a 5 m do goleiro, sobre a linha que parte do centro do gol, e o treinador chuta outra bola A, com velocidade de 20 m/s, que colide com B. A trajetória do centro da bola A coincide com a tangente à bola B, como mostra a figura (a bola A se move paralelamente à linha do goleiro). O treino é feito com o gramado molhado (atrito desprezível); as bolas não saem do plano do gramado e a colisão é elástica. A trave tem $3{,}66\ \text{m}$ de cada lado do centro do gol. Calcule em que ponto as bolas cruzarão a linha do gol e suas respectivas velocidades.

Goleiro no centro do gol (trave de 3,66 m para cada lado), bola B a 5,00 m e bola A deslocada lateralmente, com detalhe da colisão tangente

Resposta TEF: B: $17{,}3\ \text{m/s}$, cruza a linha do gol a $\approx2{,}9\ \text{m}$ do centro (dentro do gol); A: $10\ \text{m/s}$, cruza a $\approx8{,}7\ \text{m}$ do centro (fora do gol).

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: desprezou-se o raio das bolas na posição do choque; incluí-lo (≈0,11 m) altera os resultados em menos de 5%.

A trajetória de A é tangente a B: no instante do choque a distância entre os centros é $2r$ e a distância da trajetória de A ao centro de B é $r$; assim, o ângulo $\varphi$ entre a velocidade de A e a linha dos centros satisfaz $\text{sen}\,\varphi=\dfrac{r}{2r}\Rightarrow\varphi=30^\circ$.

Em um choque elástico de bolas idênticas, com B em repouso, B sai ao longo da linha dos centros e A sai perpendicularmente a ela: $v_B=v\cos30^\circ=17{,}3\ \text{m/s}$ (a $30^\circ$ da direção original de A) e $v_A=v\,\text{sen}\,30^\circ=10\ \text{m/s}$ (a $60^\circ$ da direção original de A).

Considerando a bola B em $x=5\ \text{m}$ do gol (desprezando o raio da bola), e A movendo-se no sentido do gol, as componentes são: B: $(-15\ \text{m/s},\ +8{,}7\ \text{m/s})$ e A: $(-5\ \text{m/s},\ -8{,}7\ \text{m/s})$.

Até a linha do gol ($\Delta x=-5\ \text{m}$): B leva $t=\dfrac5{15}=\dfrac13\ \text{s}$ e se desloca lateralmente $\dfrac{8{,}7}{3}\approx2{,}9\ \text{m}$ (dentro do gol, pois $2{,}9<3{,}66$). A leva $t=1\ \text{s}$ e se desloca $8{,}7\ \text{m}$ para o lado oposto (fora do gol).

Q07

Mecânica — Cinemática — Lançamento oblíquo: velocidade e ângulo a partir do alcance e do tempo de voo

Na Copa do Mundo de 1970, num lance que ficou conhecido como “o gol que Pelé não fez”, Pelé chutou a bola de alguns metros atrás da linha central. A bola viajou por aproximadamente 3 s, e estima-se que o alcance tenha sido de 60 m. Com esses dados, determine a velocidade inicial e o ângulo com que a bola foi lançada. Despreze a resistência do ar e considere a trajetória plana.

Resposta TEF: $v_0=25\ \text{m/s}$ e $\theta\approx37^\circ$.

Resolução comentada · Método TEF

Horizontal (uniforme): $v_x=\dfrac{60}{3}=20\ \text{m/s}$. Vertical: o tempo de voo (lançamento e chegada no mesmo nível) é $T=\dfrac{2\,v_y}{g}\Rightarrow v_y=\dfrac{g\,T}{2}=15\ \text{m/s}$.

$$v_0=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{400+225}=25\ \text{m/s}\qquad\tan\theta=\frac{15}{20}=0{,}75\Rightarrow\theta\approx37^\circ$$

Q08

Termologia — Gases — Perda de gás com variação de volume

Para que uma bola seja aprovada pela federação, é aceitável uma perda máxima de 20% da pressão em 72 h, partindo de 0,8 bar ao nível do mar. Suponha que o interior da bola contenha um gás ideal e que a temperatura seja constante, mas com o volume variando 3% devido à perda de ar. Que fração máxima de gás pode ser liberada da bola para que, ainda assim, seja reconhecida pela federação?

Resposta TEF: $\approx22\%$.

Resolução comentada · Método TEF

Com $T$ constante, $n\propto P\,V$. A pressão final é $0{,}80\,P_i$ e o volume cai $3\%$: $V_f=0{,}97\,V_i$.

$$\frac{n_f}{n_i}=\frac{P_fV_f}{P_iV_i}=0{,}80\cdot0{,}97=0{,}776\ \Rightarrow\ \text{fração liberada}\approx22{,}4\%$$

Dados da prova