OBF 2014 — 2ª fase · Nível I (8º e 9º anos) | Física resolvida

Q01

Física geral — Cristalografia — Geometria da célula cúbica: distâncias e volume

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

Assuma $d=10^{-10}\ \text{m}$. a) Qual a distância entre os átomos 1 e 2? b) Qual a distância entre os átomos 1 e 3? c) Determine o volume de uma célula unitária do sólido.

Rede cúbica de átomos, com a célula unitária destacada e os átomos numerados de 1 a 8; eixos x (direita), y (para cima) e z (para o observador)

Resposta TEF: a) $10^{-10}\ \text{m}$ ($1\ \text{Å}$); b) $1{,}4\times10^{-10}\ \text{m}$; c) $10^{-30}\ \text{m}^3$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Os átomos 1 e 2 estão em vértices vizinhos (uma aresta): $d=1\times10^{-10}\ \text{m}$.

b) Os átomos 1 e 3 estão em extremos da diagonal da face inferior: $d\sqrt2=1{,}4\times10^{-10}\ \text{m}$.

c) $V=d^3=(10^{-10})^3=10^{-30}\ \text{m}^3$.

Q02

Física geral — Cristalografia — Número de células unitárias em um cristal

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

a) Quantas células unitárias um cristal de $1\ \text{cm}^3$ possui para $d=10^{-10}\ \text{m}$? b) Quantos átomos existem num cristal de $1\ \text{cm}^3$? (Cada célula unitária possui apenas 1 átomo.)

Resposta TEF: a) $10^{24}$ células; b) $10^{24}$ átomos.

Resolução comentada · Método TEF

$1\ \text{cm}^3=10^{-6}\ \text{m}^3$ e cada célula ocupa $10^{-30}\ \text{m}^3$.

a) $N=\dfrac{10^{-6}}{10^{-30}}=10^{24}$.

b) Com 1 átomo por célula, o número de átomos é o mesmo: $10^{24}$.

Q03

Física geral — Cristalografia — Primeiros, segundos e terceiros vizinhos em uma célula cúbica

Contexto (Ano Internacional da Cristalografia). Cristais são arranjos periódicos de átomos. A figura representa um arranjo de átomos (esféricos) com simetria cúbica, com os átomos de um dado elemento nos vértices dos cubos (numerados de 1 a 8 na célula unitária destacada). O menor cubo do cristal é a célula unitária. Parâmetros: $M$ = massa do átomo; $d$ = aresta do cubo da célula unitária; $a$ = raio do átomo. Eixos: $x$ para a direita, $y$ para cima e $z$ para o observador; átomos 1, 2, 3, 4 na face inferior (1 e 2 na frente) e 5, 6, 7, 8 sobre eles.

Para o átomo 1, os átomos 2, 4 e 5 são os primeiros vizinhos (os mais próximos). Analogamente definimos segundos e terceiros vizinhos. Qual(is) o(s) segundo(s) vizinho(s) do átomo 1? Qual(is) o(s) terceiro(s) vizinho(s)?

Resposta TEF: Segundos vizinhos: 3, 6 e 8; terceiro vizinho: 7.

Resolução comentada · Método TEF

As distâncias a partir do átomo 1 são: arestas ($d$): átomos 2, 4 e 5 (primeiros vizinhos); diagonais de face ($d\sqrt2$): átomos 3 (face inferior), 6 (face da frente) e 8 (face da esquerda) — segundos vizinhos; diagonal do cubo ($d\sqrt3$): átomo 7 — terceiro vizinho.

Q04

Física geral — Cristalografia — Densidade de empacotamento: comparação

Deseja-se empacotar discos idênticos (como moedas) de modo a obter a máxima densidade (fração de área ocupada). A figura mostra dois arranjos: (I) hexagonal e (II) quadrado. Para decidir qual tem maior densidade de empacotamento, pode-se desenhar em cada um uma figura-base que contenha um disco inscrito. Qual é o padrão de maior densidade de empacotamento?

Dois empacotamentos de discos: (I) hexagonal e (II) quadrado

Resposta TEF: O empacotamento hexagonal (I): $\approx90\%$, contra $\approx79\%$ do quadrado.

Resolução comentada · Método TEF

Quadrado: cada disco de diâmetro $D$ ocupa um quadrado de lado $D$: $\dfrac{\pi D^2/4}{D^2}=\dfrac\pi4\approx0{,}79$.

Hexagonal: cada disco ocupa um hexágono regular circunscrito, de área $\dfrac{\sqrt3}{2}D^2$: $\dfrac{\pi D^2/4}{\sqrt3D^2/2}=\dfrac{\pi}{2\sqrt3}\approx0{,}91$ (com $\pi=3$ e $\sqrt3=1{,}7$: $\approx0{,}88$ contra $0{,}75$).

O arranjo hexagonal (I) é mais denso.

Q05

Física geral — Cristalografia — Preenchimento do plano por translações

Um cristal ideal é uma repetição de blocos idênticos no espaço. A simetria mais óbvia de um cristal é a simetria de translação. Imagine uma situação no plano. Qual(is) forma(s) geométrica(s) da figura — (a) triângulo, (b) quadrado, (c) pentágono, (d) hexágono regular, (e) paralelogramo — preenche(m) completamente o plano quando agrupadas apenas por translações em duas direções perpendiculares? Justifique com figura(s).

Cinco figuras planas: (a) triângulo, (b) quadrado, (c) pentágono, (d) hexágono, (e) paralelogramo

Resposta TEF: (b) o quadrado e (e) o paralelogramo (de lados horizontais).

Resolução comentada · Método TEF

Quadrado: translações horizontais e verticais de uma unidade de lado preenchem o plano sem falhas nem sobreposições.

Paralelogramo com dois lados horizontais: a translação horizontal de um lado encaixa os lados inclinados, e a translação vertical de uma altura encaixa as bases (retas e horizontais) — o plano é preenchido.

Triângulo (a): o triângulo equilátero só preenche o plano se metade deles estiver invertida (rotação de $180^\circ$), o que não é uma translação. Pentágono (c): não preenche o plano. Hexágono regular (d): preenche, mas as translações necessárias formam $60^\circ$ entre si (cada fileira fica deslocada de meio lado), não direções perpendiculares.

Esboço: grade quadrada de quadrados e grade de paralelogramos empilhados em fileiras alinhadas.

Q06

Ondas — Ondas sonoras — Velocidade do som e distâncias em um estádio

Dois torcedores estão num estádio quando veem o juiz levar o apito à boca para encerrar a partida. Após $0{,}250\ \text{s}$ o torcedor A ouve o apito; o torcedor B ouve após $0{,}155\ \text{s}$. As linhas de visão dos torcedores até o juiz formam entre si $90^\circ$. Calcule: a) as distâncias dos torcedores até o juiz; b) a distância entre os dois torcedores (em linha reta). (Velocidade do som: $340\ \text{m/s}$.)

Resposta TEF: a) $d_A=85\ \text{m}$ e $d_B\approx53\ \text{m}$; b) $\approx100\ \text{m}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) $d_A=v\,t_A=340\cdot0{,}250=85\ \text{m}$ e $d_B=340\cdot0{,}155=52{,}7\ \text{m}$.

b) Os segmentos juiz–A e juiz–B são perpendiculares; a distância A–B é a hipotenusa:

$$AB=\sqrt{85^2+52{,}7^2}=\sqrt{7225+2777}\approx100\ \text{m}$$

Q07

Mecânica — Trabalho e energia — Colisão com o piso: energia perdida e velocidade após o choque

Uma bola de futebol é deixada cair de uma altura de 2,4 m, colide com o piso rígido e retorna à altura de 1,8 m. Que fração da energia inicial é perdida na colisão e qual a velocidade da bola imediatamente após a colisão? Despreze a resistência do ar.

Resposta TEF: $25\%$ da energia; $v=6\ \text{m/s}$ (para cima).

Resolução comentada · Método TEF

Energia (potencial) antes: $m\,g\cdot2{,}4$; depois: $m\,g\cdot1{,}8$. Fração perdida: $\dfrac{2{,}4-1{,}8}{2{,}4}=0{,}25=25\%$.

Imediatamente após o choque, a energia cinética se converte em energia potencial até $1{,}8\ \text{m}$:

$$v=\sqrt{2\,g\,h}=\sqrt{2\cdot10\cdot1{,}8}=6\ \text{m/s}$$ (antes do choque: $\sqrt{48}\approx6{,}9\ \text{m/s}$).

Q08

Mecânica — Cinemática — Gotas de óleo: velocidade e aceleração médias

Um veículo, viajando em linha reta do ponto A ao ponto B, tem um vazamento de óleo: uma gota cai do motor a cada $3\ \text{s}$, e a figura mostra o padrão das marcas no asfalto (posições aproximadas, em m: $0$; $14$; $58$; $134$; $224$; $315$; $406$). a) Qual a velocidade média do carro entre $0$ e $18\ \text{s}$? b) Qual a aceleração média entre $0$ e $6\ \text{s}$? c) Qual a aceleração média entre $12$ e $18\ \text{s}$?

Régua de 0 a 420 m com as marcas das gotas de óleo entre A e B

Resposta TEF: a) $\approx23\ \text{m/s}$; b) $\approx3{,}3\ \text{m/s}^2$; c) $\approx0$.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: as posições foram lidas na figura (±2 m).

a) As 7 marcas correspondem a $t=0,3,\dots,18\ \text{s}$ e a distância total é $\approx406\ \text{m}$: $v_m=\dfrac{406}{18}\approx22{,}6\ \text{m/s}$.

Velocidades médias em cada intervalo de $3\ \text{s}$: $\dfrac{14}{3}=4{,}7$; $\dfrac{44}{3}=14{,}7$; $\dfrac{76}{3}=25{,}3$; $\dfrac{90}{3}=30$; $\dfrac{91}{3}=30{,}3$; $\dfrac{91}{3}=30{,}3\ \text{m/s}$.

b) Entre $0$ e $6\ \text{s}$ a variação das velocidades médias consecutivas é $\dfrac{14{,}7-4{,}7}{3}\approx3{,}3\ \text{m/s}^2$ (e $\dfrac{25{,}3-14{,}7}{3}\approx3{,}5$): aceleração média $\approx3{,}3\ \text{m/s}^2$.

c) Entre $12$ e $18\ \text{s}$ os deslocamentos são iguais ($91\ \text{m}$ a cada $3\ \text{s}$): velocidade constante, $a\approx0$.

Dados da prova