OBF 2014 — 3ª fase · Nível III (3ª série) | Física resolvida

Q01

Mecânica — Dinâmica — Atrito: pacote sobre o teto, com aceleração variável

Um motorista esquece um pequeno pacote de 250 g no teto do seu carro de 2500 kg e parte com o carro com velocidade de acordo com o gráfico (de 0 a 7,5 m/s em 5 s; constante até 10 s; de 7,5 a 27,5 m/s entre 10 e 15 s). Os coeficientes de atrito cinético e estático entre o carro e o pacote são $0{,}2$ e $0{,}3$. Quanto tempo leva, aproximadamente, para o pacote cair do carro? (O pacote está na extremidade dianteira do teto, a $2\ \text{m}$ da traseira.)

Gráfico da velocidade do carro: reta de 0 a 7,5 m/s em 5 s, patamar até 10 s e reta até cerca de 27,5 m/s em 15 s

Resposta TEF: $t\approx11{,}4\ \text{s}$ (após $\approx1{,}4\ \text{s}$ de deslizamento, iniciado em $t=10\ \text{s}$).

Resolução comentada · Método TEF

Acelerações do carro (inclinações do gráfico): $a_1=\dfrac{7{,}5}{5}=1{,}5\ \text{m/s}^2$ (0–5 s), $a_2=0$ (5–10 s) e $a_3=\dfrac{27{,}5-7{,}5}{5}=4\ \text{m/s}^2$ (10–15 s).

O atrito estático máximo acelera o pacote a $\mu_e\,g=3\ \text{m/s}^2$. Em $0$–$10\ \text{s}$ ($a\le1{,}5<3$) o pacote acompanha o carro sem deslizar.

A partir de $t=10\ \text{s}$, $a_3=4>3$: o pacote desliza, com aceleração $\mu_c\,g=2\ \text{m/s}^2$; em relação ao carro, recua com $4-2=2\ \text{m/s}^2$. Para percorrer $2\ \text{m}$: $2=\tfrac12\cdot2\cdot\tau^2\Rightarrow\tau=\sqrt2\approx1{,}4\ \text{s}$.

$$t=10+1{,}4\approx11{,}4\ \text{s}$$

Q02

Eletricidade — Campo elétrico — Campo de um plano infinito e pêndulo elétrico

O campo elétrico sobre o eixo de um disco de raio $R$ uniformemente carregado com densidade $\sigma$, a uma distância $x$ do disco, é $E_x=2\pi k\sigma\left(1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)$ para $x>0$ (e o oposto para $x<0$), onde $k$ é a constante de Coulomb. (a) Usando essa expressão, determine o campo elétrico de um plano de carga. (b) Uma pequena esfera não condutora de carga $+Q$ e massa $m$ está suspensa por um fio isolante de comprimento $L$ preso em um ponto de um plano uniformemente carregado. A esfera está em equilíbrio e faz um ângulo $\theta$ com o plano. Qual é a densidade superficial de carga do plano em função de $Q$, $m$ e $\theta$?

Esfera de carga +Q presa por um fio de comprimento L a um plano vertical uniformemente carregado, formando um ângulo θ com o plano

Resposta TEF: a) $E=2\pi k\sigma=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (uniforme, perpendicular ao plano); b) $\sigma=\dfrac{m\,g\,\tan\theta}{2\pi\,k\,Q}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Um plano infinito é o disco com $R\to\infty$: $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\to0$, e

$$E=2\pi k\,\sigma=\frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0}$$ (para $x>0$; $-E$ para $x<0$), independente da distância.

b) A esfera está sujeita ao peso $m\,g$ (vertical), à força elétrica $Q\,E$ (horizontal, perpendicular ao plano) e à tração do fio, que faz $\theta$ com a vertical (plano vertical): $\tan\theta=\dfrac{Q\,E}{m\,g}$:

$$\sigma=\frac{E}{2\pi k}=\frac{m\,g\,\tan\theta}{2\pi\,k\,Q}$$

Q03

Ondas — Ondas sonoras — Batimento entre cordas com tensões ligeiramente diferentes

Para aumentar a intensidade sonora, os fabricantes de pianos instalam duas ou mais cordas para uma mesma tecla. Suponha que a nota de 440 Hz possua três cordas idênticas. Se a tensão de uma dessas cordas diminui em 0,45% e a de outra aumenta em 0,45%, qual é a frequência de batimento quando a tecla é acionada? Desprezar a interação entre as cordas. Use $(1\pm x)^n\approx1\pm n\,x$ para $x\ll1$.

Resposta TEF: $f_b\approx2\ \text{Hz}$.

Resolução comentada · Método TEF

A frequência de uma corda é proporcional à raiz da tensão: $f\propto\sqrt T$. Com $T\to T\,(1\pm0{,}0045)$: $f_\pm=440\,(1\pm0{,}0045)^{1/2}\approx440\,(1\pm0{,}00225)$.

$f_+\approx440{,}99\ \text{Hz}$ e $f_-\approx439{,}01\ \text{Hz}$:

$$f_{bat}=f_+-f_-=440\cdot0{,}0045\approx2{,}0\ \text{Hz}$$ (a terceira corda, em 440 Hz, bate com cada uma a $\approx1\ \text{Hz}$).

Q04

Termologia — Termodinâmica — Método de Rüchardt para medir γ = Cp/Cv

Eduard Rüchardt propôs um método para medir $\gamma=C_P/C_V$ de um gás ideal. O recipiente contém um gás, inicialmente com volume $V_0$ e pressão $P_0$, em equilíbrio térmico. O êmbolo cilíndrico tem massa $m$, área da base $A$ e é livre para se mover no tubo; na posição de equilíbrio o peso do êmbolo equivale à força exercida pelo gás. O êmbolo é deslocado de um pequeno $y$, e o gás exerce uma força restauradora, fazendo-o oscilar com frequência característica que depende de $\gamma$. Supondo transformação adiabática e sem atrito: (a) encontre a variação de pressão $\Delta P$ (use $(1\pm\Delta V/V)^\gamma\approx1\pm\gamma\,\Delta V/V$); (b) encontre a força restauradora, mantendo apenas termos lineares em $y$; (c) determine $\gamma$ em função do período do movimento do êmbolo e dos dados fornecidos.

Recipiente com gás e tubo vertical fino com êmbolo cilíndrico, deslocamento y

Resposta TEF: a) $\Delta P\approx-\gamma P_0\dfrac{A\,y}{V_0}$; b) $F\approx-\dfrac{\gamma P_0A^{2}}{V_0}\,y$; c) $\gamma=\dfrac{4\pi^{2}\,m\,V_0}{P_0\,A^{2}\,T^{2}}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) Adiabática: $P\,V^\gamma=P_0V_0^\gamma$. Com $V=V_0+A\,y$: $P=P_0\left(1+\dfrac{A\,y}{V_0}\right)^{-\gamma}\approx P_0\left(1-\gamma\dfrac{A\,y}{V_0}\right)$, logo $$\Delta P=-\gamma\,P_0\,\frac{A\,y}{V_0}$$

b) A variação da força do gás sobre o êmbolo (o peso e a pressão externa permanecem iguais) é $F=A\,\Delta P=-\dfrac{\gamma\,P_0\,A^2}{V_0}\,y$: uma força restauradora linear, constante $k=\dfrac{\gamma P_0A^2}{V_0}$.

c) MHS: $T=2\pi\sqrt{\dfrac mk}=2\pi\sqrt{\dfrac{m\,V_0}{\gamma\,P_0\,A^2}}$. Isolando:

$$\gamma=\frac{4\pi^2\,m\,V_0}{P_0\,A^2\,T^2}$$

Q05

Óptica — Velocidade da luz — Experimento de Fizeau

A primeira medida da velocidade da luz a partir de dados não astronômicos foi feita por Armand Fizeau em 1849. A luz de uma fonte passa por um divisor de feixe e entre os dentes de um disco dentado, é refletida por um espelho plano a uma distância $L$ da engrenagem e retorna pelo mesmo caminho até o observador em O. O disco tem $N$ dentes. Para uma certa velocidade angular $\omega$, a luz refletida é completamente obstruída. (a) Determine a expressão para a velocidade da luz em termos das variáveis fornecidas. (b) No experimento de Fizeau a engrenagem tinha 720 dentes, $L=8600\ \text{m}$ e o efeito foi observado a 12,5 rotações por segundo. Qual a velocidade da luz encontrada por Fizeau?

Aparato de Fizeau: fonte de luz, divisor de feixe, disco dentado, espelho a uma distância L e observador em O

Resposta TEF: a) $c=\dfrac{2\,L\,N\,\omega}{\pi}$; b) $c\approx3{,}1\times10^{8}\ \text{m/s}$.

Resolução comentada · Método TEF

a) A luz vai e volta em $t=\dfrac{2L}{c}$. O primeiro bloqueio total ocorre quando, nesse intervalo, o disco gira o suficiente para que um dente ocupe o lugar da fresta por onde a luz passou: meio período dos dentes, ou seja, um ângulo $\dfrac{2\pi}{2N}=\dfrac\pi N$ ($2N$ aberturas e dentes alternados). Com $\omega\,t=\dfrac{\pi}{N}$:

$$\omega\,\frac{2L}{c}=\frac\pi N\ \Rightarrow\ c=\frac{2\,L\,N\,\omega}{\pi}$$

b) $\omega=2\pi\cdot12{,}5=25\pi\ \text{rad/s}$: $$c=\frac{2\cdot8600\cdot720\cdot25\pi}{\pi}=2\cdot8600\cdot720\cdot25\approx3{,}1\times10^{8}\ \text{m/s}$$

Q06

Óptica — Refração da luz — Retrorrefletor de esfera semi-espelhada

Em materiais refletivos (fitas e películas), microesferas de vidro eram aplicadas sobre um fundo prateado para devolver a luz à fonte. A figura mostra um raio de luz que se propaga no ar e incide, a uma altura $h$ do eixo, sobre uma esfera semi-espelhada de índice de refração $\sqrt3$. Qual deve ser a razão entre a distância $h$ ($h\neq0$) e o raio da esfera para que o raio foque no ponto $P$ (sobre o eixo, na superfície refletora) e retorne paralelamente ao raio incidente?

Raio de luz incidindo a uma altura h do eixo em uma esfera cuja metade posterior é espelhada, convergindo ao ponto P e voltando paralelo

Resposta TEF: $\dfrac hR=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}87$.

Resolução comentada · Método TEF

Seja $i$ o ângulo de incidência (com a normal radial) e $r$ o de refração: $\text{sen}\,i=\dfrac hR=n\,\text{sen}\,r$. O raio refratado vai do ponto de entrada $E$ até $P$ (extremidade do diâmetro paralelo ao raio incidente).

No triângulo isósceles $OEP$ ($OE=OP=R$), os ângulos de base valem $r$ e o ângulo no vértice $O$ é $180^\circ-2r$. Pela geometria do raio incidente, o ângulo $\widehat{EOP}$ também vale $180^\circ-i$. Portanto $i=2r$.

Então $\text{sen}\,2r=n\,\text{sen}\,r\Rightarrow2\cos r=n=\sqrt3\Rightarrow r=30^\circ$ e $i=60^\circ$:

$$\frac hR=\text{sen}\,60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

Em $P$ o raio é refletido simetricamente em relação ao eixo e, ao sair, volta paralelo ao incidente (à altura $-h$).

Q07

Mecânica — Trabalho e energia — Pêndulo com colisões parciais contra uma parede

Um pêndulo simples de comprimento $L$ é posto a oscilar com abertura angular de $60^\circ$. A massa pendular colide com uma parede (a $0{,}6L$ da vertical do ponto de suspensão), onde perde $10{,}0\%$ de sua energia em cada colisão. Quantas colisões o pêndulo realiza com a parede? Dados: $\log(0{,}4)=-0{,}40$ e $\log(0{,}90)=-0{,}046$.

Pêndulo de comprimento L com abertura de 60° e uma parede a 0,6 L da vertical do ponto de suspensão

Resposta TEF: 9 colisões.

Resolução comentada · Método TEF

Ressalva: considerou-se que, em cada colisão, a energia mecânica total do pêndulo cai 10%.

A parede está a $0{,}6L$ da vertical: o pêndulo a atinge quando $\text{sen}\,\varphi=0{,}6$ ($\varphi=37^\circ$), a uma altura $h_p=L\,(1-\cos\varphi)=L\,(1-0{,}8)=0{,}2\,L$ acima do ponto mais baixo.

A energia inicial corresponde à altura $h_0=L\,(1-\cos60^\circ)=0{,}5\,L$. Após $n$ colisões, a energia vale $E_n=E_0\,0{,}9^{\,n}$, ou seja, altura máxima $h_n=0{,}5\,L\cdot0{,}9^{\,n}$.

O pêndulo ainda atinge a parede enquanto $h_n\ge0{,}2\,L$: $0{,}9^{\,n}\ge0{,}4\Rightarrow n\le\dfrac{\log0{,}4}{\log0{,}9}=\dfrac{-0{,}40}{-0{,}046}\approx8{,}7$.

A colisão de número $k$ ocorre se $0{,}9^{\,k-1}\ge0{,}4$, isto é, $k-1\le8{,}7\Rightarrow k\le9$ (com $k-1=8$: $h=0{,}215L>0{,}2L$; após a 9ª, $h=0{,}194L<0{,}2L$):

$$N=9\ \text{colisões}$$

Q08

Física moderna — Física nuclear — Tempo de vida do Sol pela fusão de hidrogênio

O principal elemento do Sol é o hidrogênio. Quando a temperatura de um gás de hidrogênio atinge $1{,}5\times10^{7}\ ^\circ\text{C}$, iniciam-se reações nucleares que convertem hidrogênio em hélio ($4\text{H}\to\text{He}$), produzindo energia. Estima-se que apenas 10% da massa do Sol estejam na parte central, quente o bastante para essa reação. Aproxime o Sol por uma esfera de $2{,}0\times10^{30}\ \text{kg}$ de hidrogênio. A Terra está a $1{,}5\times10^{8}\ \text{km}$ do Sol e, a cada segundo, sua atmosfera recebe $1400\ \text{J/m}^2$ de energia solar. Estime o tempo de vida do Sol, em segundos. Massas atômicas: H $=1{,}008\ \text{u}$; He $=4{,}003\ \text{u}$; $1\ \text{u}=1{,}7\times10^{-27}\ \text{kg}$.

Resposta TEF: $t\approx3\times10^{17}\ \text{s}$ ($\approx10^{10}$ anos).

Resolução comentada · Método TEF

Potência do Sol: $P=1400\cdot4\pi d^2=1400\cdot12\cdot(1{,}5\times10^{11})^2\approx3{,}8\times10^{26}\ \text{W}$.

Energia disponível. Em cada reação $4\,\text{H}\to\text{He}$ a massa varia $\Delta m=4\cdot1{,}008-4{,}003=0{,}029\ \text{u}$, ou $\dfrac{0{,}029}{4{,}032}=0{,}72\%$ da massa dos 4 H. Massa de hidrogênio disponível: $0{,}10\cdot2\times10^{30}=2\times10^{29}\ \text{kg}$, e massa convertida em energia: $0{,}0072\cdot2\times10^{29}=1{,}44\times10^{27}\ \text{kg}$.

$E=\Delta m\,c^2=1{,}44\times10^{27}\cdot9\times10^{16}\approx1{,}3\times10^{44}\ \text{J}$.

$$t=\frac EP=\frac{1{,}3\times10^{44}}{3{,}8\times10^{26}}\approx3\times10^{17}\ \text{s}$$

Dados da prova