Prova Bahiana Medicina 2015.1 Discursiva — Física com Gabarito e Resolução

Mecânica — Estática — Máquinas Simples: Associação de Polias

Associação de três polias móveis (M1, M2 e M3) e uma polia fixa, com um bloco R pendurado e um dinamômetro na extremidade livre da corda

Na construção de grandes obras da arquitetura da Antiguidade, como o pórtico megalítico, o arco romano, o arco gótico, dentre outros, maravilhosos resultados estéticos de equilibradas composições de forças físicas foram obtidos, utilizando máquinas simples da mecânica: plano inclinado, alavanca e polia.

Considerando que a figura representa um esquema de associação de polias, com três polias móveis e uma fixa, determine o módulo da força que um operador deve exercer na extremidade do dinamômetro para manter o bloco, de massa igual a $80{,}0\text{ kg}$, em equilíbrio, sendo o módulo da aceleração da gravidade local igual a $10\text{ m/s}^2$.

$F=100\text{ N}$.

Resolução

O peso do bloco é $P=mg=80{,}0\cdot10=800\text{ N}$.

Em equilíbrio, cada polia móvel é sustentada por dois trechos de corda de mesma tração, de modo que a força aplicada para sustentar a carga é reduzida à metade a cada polia móvel: $\dfrac{800}{2}=400\text{ N}$ em $M_3$, $\dfrac{400}{2}=200\text{ N}$ em $M_2$ e $\dfrac{200}{2}=100\text{ N}$ em $M_1$.

Portanto $F=\dfrac{P}{2^3}=\dfrac{800}{8}=100\text{ N}$. A polia fixa apenas muda a direção da força e não altera o seu módulo.

Mecânica — Quantidade de Movimento e Energia — Pêndulo Balístico

Leonardo da Vinci, um polímata italiano, uma das figuras mais importantes do Alto Renascimento, se destacou como cientista, matemático, engenheiro, inventor, anatomista, pintor, escultor, arquiteto, botânico, poeta e músico. É ainda conhecido como o precursor da aviação e da balística.

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci>. Acesso em: 8 out. 2014. Adaptado.

Pêndulo balístico: em 1, projétil de massa m com velocidade v prestes a atingir o bloco de massa M em repouso; em 2, o conjunto bloco e projétil, de massa M + m, atinge a altura máxima h

O pêndulo balístico, representado na figura, utilizado para medir a velocidade de balas de arma de fogo, consiste em um bloco de madeira, com massa $M$ igual a $2{,}0\text{ kg}$, suspenso por fios, de forma que possa oscilar como um pêndulo, conforme a figura 1. O projétil de massa $m$ igual a $10{,}0\text{ g}$ é disparado horizontalmente contra o bloco com velocidade $v$ de módulo igual a $240{,}0\text{ m/s}$.

Com base na informação, calcule a altura máxima $h$ atingida pelo sistema projétil-bloco após a colisão, conforme a figura 2, desprezando a resistência do ar, e sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local é igual a $10\text{ m/s}^2$.

$h\approx7{,}1\text{ cm}$ ($\approx7{,}1\cdot10^{-2}\text{ m}$).

Resolução

Colisão. Durante o choque, o sistema bloco + projétil é isolado na horizontal; a quantidade de movimento se conserva, com $m=10{,}0\text{ g}=1{,}0\cdot10^{-2}\text{ kg}$:

$m\,v=(M+m)\,v^{\prime}\Rightarrow v^{\prime}=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-2}\cdot240}{2{,}0+1{,}0\cdot10^{-2}}=\dfrac{2{,}4}{2{,}01}\approx1{,}19\text{ m/s}$.

Subida. Após o choque, a energia mecânica do conjunto se conserva (sem resistência do ar): a energia cinética se converte em potencial gravitacional,

$\dfrac12(M+m)\,v^{\prime2}=(M+m)\,g\,h\Rightarrow h=\dfrac{v^{\prime2}}{2g}=\dfrac{(1{,}19)^2}{2\cdot10}\approx7{,}1\cdot10^{-2}\text{ m}$.

Mecânica — Hidrodinâmica — Equação de Bernoulli e Sustentação de uma Asa

Perfil da asa de uma aeronave, com o escoamento do ar acima e abaixo da asa e as forças de pressão atuando na superfície inferior

A figura representa, de forma simplificada, o perfil da asa de uma aeronave que resultou do aperfeiçoamento de máquinas voadoras, inventadas por Santos Dumont.

Considere uma aeronave de peso $P$ e área total inferior das duas asas igual a $A$. Sabe-se que a forma aerodinâmica das asas permite que a velocidade de escoamento do ar em cima da asa seja o dobro da velocidade de escoamento do ar embaixo dela.

Desprezando a força de empuxo e a força de atrito, e sendo a densidade do ar igual a $d$, escreva a expressão que determina a velocidade mínima do escoamento do ar embaixo das asas para que a aeronave decole.

$v_{min}=\sqrt{\dfrac{2P}{3\,d\,A}}$.

Resolução

Seja $v$ a velocidade do ar embaixo da asa e $2v$ a velocidade acima. Como a altura entre as faces é desprezível, a equação de Bernoulli fornece:

$p_{inf}+\dfrac12 d\,v^2=p_{sup}+\dfrac12 d\,(2v)^2\Rightarrow p_{inf}-p_{sup}=\dfrac32\,d\,v^2$.

A força de sustentação resultante é $F=(p_{inf}-p_{sup})\,A=\dfrac32\,d\,v^2A$. Para a aeronave decolar, a sustentação deve ao menos igualar o peso ($F=P$), desprezados empuxo e atrito:

$\dfrac32\,d\,v_{min}^2A=P\Rightarrow v_{min}=\sqrt{\dfrac{2P}{3\,d\,A}}$.

Q11

Mecânica — Hidrostática — Empuxo e Flutuação

“O binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.” — Álvaro de Campos (Fernando Pessoa), “O vento lá fora”, 15/01/1928.

A figura, “O vento lá fora”, retrata cadeiras que repousam em equilíbrio sobre a superfície livre de uma lagoa.

Considere cinco cadeiras, cada uma com massa de $4{,}0\text{ kg}$, colocadas sobre uma estrutura retangular de madeira, seca e impermeabilizada, com largura igual a $0{,}6\text{ m}$ e comprimento igual a $4{,}5\text{ m}$, sendo a densidade da madeira, $0{,}8\text{ g/cm}^3$, a densidade da água igual a $1{,}0\text{ g/cm}^3$ e o módulo da aceleração da gravidade local igual a $10\text{ m/s}^2$.

Desprezando a viscosidade da água, determine a altura da estrutura de madeira que se encontra completamente imersa, flutuando nas proximidades da superfície da lagoa.

$h\approx3{,}7\text{ cm}$ ($=\dfrac{1}{27}\text{ m}$).

Resolução

Sejam $h$ a espessura da estrutura (totalmente imersa), $A=0{,}6\cdot4{,}5=2{,}7\text{ m}^2$ a área da base e $\rho_m=800\text{ kg/m}^3$, $\rho_a=1000\text{ kg/m}^3$.

Em equilíbrio, o empuxo equilibra o peso da madeira mais o peso das cadeiras ($5\cdot4{,}0=20\text{ kg}$):

$\rho_a\,A\,h\,g=\rho_m\,A\,h\,g+m_c\,g\Rightarrow(\rho_a-\rho_m)\,A\,h=m_c$.

$200\cdot2{,}7\cdot h=20\Rightarrow h=\dfrac{20}{540}=\dfrac{1}{27}\text{ m}\approx3{,}7\cdot10^{-2}\text{ m}$.