Um tubo em formato de U, com extremidades abertas e de seção reta uniforme, encontra-se parcialmente preenchido com um líquido de densidade $d$. Nesta situação, os níveis do líquido de densidade $d$ são iguais em ambos os ramos de U (nível primitivo). Derrama-se lentamente, no ramo da direita, um segundo líquido de densidade $d'\mathrel{<}d$, que não se mistura com o primeiro, e espera-se o equilíbrio. Nessa situação, observa-se que a superfície horizontal livre do segundo líquido de densidade $d'$ encontra-se a uma distância vertical $Y$ acima da superfície horizontal livre do líquido de densidade $d$ presente no ramo oposto. Sabendo que os líquidos são incompressíveis e que a superfície livre do líquido de densidade $d$ no ramo esquerdo elevou-se a uma altura $H$, em relação ao seu nível primitivo, a razão $d'/d$ é
Os ramos têm a mesma seção. Assim, quando o nível esquerdo sobe H, a interface no ramo direito desce H.
Tomamos a interface entre os líquidos como referência. A coluna do líquido de densidade d, no ramo esquerdo, tem altura:
\[h_e=H+H=2H\]
No ramo direito, a superfície do líquido de densidade d′ está Y acima da superfície esquerda. Sua coluna tem altura:
\[h_d=2H+Y\]
Pela lei de Stevin, as pressões no nível da interface são:
\[P_e=P_{atm}+dg(2H)\]
\[P_d=P_{atm}+d'g(2H+Y)\]
Os pontos pertencem ao mesmo líquido conectado e estão à mesma altura, portanto suas pressões são iguais:
\[P_e=P_d\]
Cancelando a pressão atmosférica e a gravidade:
\[d(2H)=d'(2H+Y)\]
Isolando a razão entre as densidades:
\[\frac{d'}{d}=\frac{2H}{2H+Y}\]
Uma partícula executa um MHS (movimento harmônico simples) de amplitude $A$ ao longo do eixo $Ox$, com o centro de oscilações situado em $O$. No instante em que a partícula passa pela posição $x$ igual a $A/2$, a razão entre sua energia cinética $K$ e energia potencial $U$ é dada por $R$. Desconsiderando a ação de forças resistivas, é correto afirmar que o valor de $R^2$ é
A energia mecânica total do MHS é constante:
\[E=\frac12kA^2\]
Na posição x = A/2, a energia potencial é:
\[U=\frac12kx^2\]
\[U=\frac12k\left(\frac A2\right)^2\]
\[U=\frac{kA^2}{8}=\frac E4\]
A energia cinética é a parcela restante:
\[K=E-U\]
\[K=E-\frac E4=\frac{3E}{4}\]
A razão pedida entre as energias é:
\[R=\frac KU\]
\[R=\frac{3E/4}{E/4}=3\]
O enunciado solicita o quadrado dessa razão:
\[R^2=9\]
Um entusiasta em eletrônica possui a sua disposição uma caixa com capacitores comerciais dos tipos A e B. Os capacitores do tipo A e do tipo B apresentam, respectivamente, em seus corpos as especificações $100\mu\text{F}/25\text{V}$ e $1000\mu\text{F}/25\text{V}$. Ao retirar da caixa $M$ capacitores do tipo A e $N$ capacitores do tipo B, o entusiasta desenvolve dois experimentos simples. No primeiro experimento, mede a capacitância equivalente de um circuito obtido a partir da associação, em paralelo, de todos os capacitores, resultando em $2300\mu\text{F}$. No segundo experimento, com todos os capacitores ligados em série, obtém, a partir do circuito montado, uma capacitância equivalente de $31{,}25\mu\text{F}$. Considere os valores dos capacitores como exatos e ideais (sem tolerância), todos em perfeito estado, e que todas as unidades foram efetivamente utilizadas nas associações. Com base nos resultados obtidos pelo entusiasta, a razão $M/N$ é dada por
Usamos todas as capacitâncias em microfarads. Em paralelo, elas se somam:
\[100M+1000N=2300\]
Dividindo por 100:
\[M+10N=23\qquad\text{(1)}\]
Em série, somam-se os inversos:
\[\frac1{31{,}25}=\frac M{100}+\frac N{1000}\]
Multiplicando por 1000:
\[10M+N=32\qquad\text{(2)}\]
Multiplicamos a equação (1) por dez:
\[10M+100N=230\]
Subtraindo a equação (2):
\[99N=198\]
\[N=2\]
Substituindo na equação (1):
\[M=23-10\cdot2=3\]
Logo, a razão entre as quantidades é:
\[\frac MN=\frac32\]
Em um experimento de óptica, um estudante observa um raio de luz monocromática que se propaga de um meio A (índice de refração $n_a$) para um meio B (índice de refração $n_b$), com $n_a\mathrel{>}n_b$, separados por uma superfície plana. Considerando que ambos os meios são transparentes, homogêneos e isotrópicos, sobre as propriedades da luz nessa situação, é correto afirmar que
A velocidade da luz é inversamente proporcional ao índice de refração:
\[v=\frac cn\]
O enunciado fornece:
\[n_a>n_b\]
Portanto:
\[v_a<v_b\]
A luz é mais lenta no meio A, de maior índice de refração.
Para conferir as demais afirmações, usamos que a frequência permanece constante na transmissão entre esses meios estacionários:
\[f_a=f_b\]
O comprimento de onda acompanha a velocidade:
\[\lambda=\frac vf\]
\[\lambda_a<\lambda_b\]
Assim, a afirmação A inverte a comparação dos comprimentos de onda.
Na passagem do meio mais refringente para o menos refringente, o raio transmitido se afasta da normal, contrariando B. A incidência normal não produz desvio.
A afirmação C também é falsa, pois a frequência não muda nessa passagem.
Duas partículas, A e B, partem simultaneamente da origem do plano $xy$ em Movimento Retilíneo Uniforme (MRU). A partícula A desloca-se, ao longo do eixo $x$ no sentido positivo, com velocidade constante de módulo $V_a$. A partícula B move-se no primeiro quadrante, com velocidade constante de módulo $V_b$, em uma direção que forma um ângulo $\theta$ (onde $0^\circ\mathrel{<}\theta\mathrel{<}90^\circ$) com o eixo $x$ positivo. A razão, $V_a/V_b$, após o início do movimento, de modo que o vetor $\overrightarrow{AB}$ que conecta as partículas A e B, com origem na partícula A e extremidade na partícula B permaneça sempre paralelo ao eixo $y$, ou seja, com componente horizontal nula, é
As partículas partem simultaneamente da origem. Suas posições horizontais são:
\[x_A(t)=V_at\]
\[x_B(t)=V_b\cos\theta\,t\]
Para o vetor que liga A a B permanecer paralelo ao eixo y, sua componente horizontal deve ser nula:
\[x_B(t)-x_A(t)=0\]
Substituindo as posições:
\[V_b\cos\theta\,t-V_at=0\]
Para qualquer instante após a partida, cancelamos o tempo:
\[V_a=V_b\cos\theta\]
Logo:
\[\frac{V_a}{V_b}=\cos\theta\]
Em um experimento didático de termodinâmica, um gás ideal monoatômico é submetido a um ciclo termodinâmico através de um processo quase estático e reversível composto por três etapas distintas: (i) uma expansão isobárica, na qual o volume do gás aumenta de $V_1$ para $V_2$ sob pressão constante $P_1$; (ii) um resfriamento isocórico, em que o volume é mantido em $V_2$ e a pressão é reduzida até um valor $P_2$ ($P_2\mathrel{<}P_1$) por meio da troca de calor com um reservatório térmico; (iii) uma compressão adiabática, que retorna o gás ao seu estado inicial, caracterizado pelo volume $V_1$ e pressão $P_1$. Considerando o comportamento do gás ideal e que todas as transformações são quase estáticas, assinale a opção que corresponde à afirmação verdadeira sobre o ciclo.
O ciclo retorna ao estado inicial. Por isso, a temperatura final e a energia interna final coincidem com seus valores iniciais:
\[T_f=T_i\]
\[\Delta U_{ciclo}=0\]
No diagrama pressão-volume, acompanhamos três etapas:
1. Expansão isobárica: o volume aumenta sob a pressão mais alta, P₁.
2. Resfriamento isocórico: a pressão diminui, sem mudança de volume.
3. Compressão adiabática: o gás retorna ao ponto inicial por uma curva abaixo da isobárica de expansão.
Esse percurso é horário. A área interna representa trabalho líquido positivo realizado pelo gás:
\[W_{ciclo}>0\]
Pela primeira lei da termodinâmica, adotando trabalho positivo quando realizado pelo gás:
\[\Delta U_{ciclo}=Q_{liq}-W_{ciclo}\]
\[Q_{liq}=W_{ciclo}>0\]
A conclusão corresponde à afirmação de trabalho total maior que zero.
Duas cargas pontuais $q_1$ e $q_2$ encontram-se no vácuo, localizadas no plano $xy$ nas coordenadas $(0,0)$ e $(0,d)$ respectivamente. Essas cargas se atraem com uma força elétrica de módulo $F$. Em seguida, desloca-se a carga $q_1$ para a coordenada $(X,0)$, com $X\mathrel{>}0$, de forma que a força elétrica entre as cargas $q_1$ e $q_2$ passa a ser $F/2$. Nesse contexto, pode-se afirmar corretamente que as cargas possuem
As cargas se atraem, portanto seus sinais são contrários.
Antes do deslocamento, a distância entre elas é d. Pela lei de Coulomb:
\[F=\frac{k|q_1q_2|}{d^2}\]
Após mover a primeira carga para (X,0), a nova distância é:
\[r'=\sqrt{X^2+d^2}\]
A força cai à metade:
\[\frac F2=\frac{k|q_1q_2|}{X^2+d^2}\]
Dividindo as expressões das forças, os fatores associados às cargas se cancelam:
\[\frac{F}{F/2}=\frac{X^2+d^2}{d^2}\]
\[2d^2=X^2+d^2\]
\[X^2=d^2\]
Como X é positivo:
\[X=d\]
Em um sistema coerente de unidades em que as unidades fundamentais são representadas por $L$ (comprimento), $M$ (massa) e $T$ (tempo), a unidade de trabalho é representada por $W$. Ao considerar um segundo sistema de unidades coerente no qual as novas unidades fundamentais correspondem a $2L$, $3M$ e $2T$ do sistema anterior, a nova unidade de trabalho é dada por $W'$. Sendo assim, a razão $W'/W$ é
Trabalho é força multiplicada por deslocamento. Sua dimensão é:
\[[W]=[M][L]^2[T]^{-2}\]
As novas unidades fundamentais valem:
\[L'=2L\]
\[M'=3M\]
\[T'=2T\]
A unidade de trabalho é construída pela mesma relação dimensional:
\[W'=\frac{M'(L')^2}{(T')^2}\]
Substituindo as novas unidades:
\[W'=\frac{(3M)(2L)^2}{(2T)^2}\]
Os fatores de comprimento e tempo entram ao quadrado:
\[W'=\frac{3\cdot4}{4}\frac{ML^2}{T^2}\]
\[W'=3W\]
Portanto:
\[\frac{W'}W=3\]