UFC 1994.2 · 2ª Etapa — Questões de Física comentadas — Método TEF

Os dois carros se movem pelo mesmo intervalo de tempo até o encontro. Como partem do repouso, os módulos dos deslocamentos são:

$$s_A=\frac12a_At^2$$

$$s_B=\frac12a_Bt^2$$

Dividimos as equações para eliminar o tempo desconhecido.

$$\frac{s_B}{s_A}=\frac{a_B}{a_A}$$

$$\frac{s_B}{s_A}=\frac1{0{,}5}=2$$

O encontro está a 1 km de A.

$$s_B=2\cdot1=2\text{ km}$$

Os deslocamentos ocorrem em sentidos opostos e cobrem, juntos, toda a separação inicial.

$$D=s_A+s_B$$

$$D=1+2=3\text{ km}$$

Na geometria indicada, o tirante de comprimento 2ℓ tem projeção vertical ℓ. O ângulo θ com a vertical satisfaz:

$$\cos\theta=\frac{\ell}{2\ell}=\frac12$$

A tração é F = P em cada tirante. As componentes horizontais se cancelam e cada componente vertical acrescenta P/2 para baixo.

$$P=mg=500\cdot10=5000\text{ N}$$

$$F_{vertical}=2P\cos\theta=P$$

A força total que comprime a mola na situação final é:

$$F_{mola}=P+F_{vertical}=2P$$

Interpretação adotada no comentário. Tomando 20 cm como compressão total x desde o comprimento natural:

$$kx=2P$$

$$k=\frac{2\cdot5000}{0{,}20}$$

$$k=5{,}0\times10^4\text{ N/m}$$

Ressalva sobre a referência. O enunciado diz “a partir da posição de equilíbrio”, sem explicitar se se refere à mola sem carga ou ao poste já apoiado. Se o ponto inicial é o equilíbrio sob o peso do poste, a compressão inicial x₀ já satisfaz:

$$kx_0=P$$

Após a aplicação das trações, a compressão final satisfaz kx = 2P. Subtraindo os equilíbrios:

$$k(x-x_0)=P$$

$$k\Delta x=P$$

$$k=\frac{5000}{0{,}20}=2{,}5\times10^4\text{ N/m}$$

As duas respostas usam a mesma geometria e o mesmo balanço de forças; diferem na referência dos 20 cm. A resolução identifica a convenção do comentário e preserva a ambiguidade documental.

A energia mecânica é a soma da energia cinética com a potencial. Portanto, a cinética é a diferença entre o nível de energia total e a curva de potencial.

$$E_c=E_m-U$$

Em A, o potencial indicado é negativo.

$$U_A=-15\text{ J}$$

$$E_{c,A}=17-(-15)=32\text{ J}$$

Em B, o potencial é positivo.

$$U_B=15\text{ J}$$

$$E_{c,B}=17-15=2\text{ J}$$

A razão pedida é:

$$\frac{E_{c,A}}{E_{c,B}}=\frac{32}{2}=16$$

Energia potencial negativa é permitida e depende da referência escolhida. Não se deve trocar seu sinal antes de calcular a energia cinética.

O trabalho líquido é a área orientada encerrada no gráfico p × V. O ciclo está no sentido horário: a expansão ocorre, em média, a pressões maiores que a compressão, e o trabalho realizado pelo gás é positivo.

Dividimos a região em dois triângulos com base horizontal de duas unidades de volume.

$$A_1=\frac{2(4000-2000)}2=2000$$

$$A_2=\frac{2(2000-1000)}2=1000$$

$$A_{ciclo}=2000+1000=3000$$

Ressalva de unidade. O gráfico identifica pressão em N/m², mas não informa a unidade de volume. O comentário trata a escala horizontal como litros. Nessa convenção:

$$W=3000\text{ Pa·L}$$

$$1\text{ L}=10^{-3}\text{ m}^3$$

$$W=3000\cdot10^{-3}\text{ Pa·m}^3$$

$$W=+3{,}0\text{ J}$$

Sem essa convenção, a área é apenas 3000 Pa vezes a unidade do eixo horizontal. Se a escala for em metros cúbicos, o resultado é +3000 J. O trabalho líquido não é zero só porque o gás retorna ao estado inicial; a energia interna é que volta ao mesmo valor.

a. Como os espelhos são iguais e seus centros de curvatura coincidem, a separação entre os vértices é o dobro do raio.

$$2R=1\text{ m}$$

$$R=50\text{ cm}$$

$$f=\frac R2=25\text{ cm}$$

Um objeto no centro de curvatura de um espelho côncavo tem sua imagem no próprio centro. Pela equação dos pontos conjugados, com p = R:

$$\frac1{p'}=\frac1f-\frac1p$$

$$\frac1{p'}=\frac2R-\frac1R$$

$$p'=R$$

O centro comum está a 50 cm de cada vértice e a 25 cm de cada foco.

$$x=R-f=25\text{ cm}$$

b. A primeira reflexão já forma imagem no centro comum. Cada nova reflexão recebe uma configuração conjugada ao mesmo centro, de modo que as ordens sucessivas voltam à mesma posição.

No modelo ideal com reflexões sucessivas, há infinitas ordens de formação. O comentário descreve duas vistas, uma associada a cada espelho, com as demais sobrepostas a elas. Isso não significa duas posições espaciais distintas: a localização das imagens é o centro comum.

A contagem de vistas é a convenção usada na fonte. A percepção efetiva depende da posição do observador, das aberturas e de obstruções; o enunciado não fornece esses dados nem considera perdas nas reflexões.

Seja f₀ a frequência emitida pela sirene. O observador está parado, enquanto a fonte se move com velocidade de módulo u ao longo da linha de visada, no modelo usual da questão.

$$f_{aprox}=f_0\frac{v_s}{v_s-u}$$

$$f_{afast}=f_0\frac{v_s}{v_s+u}$$

A razão entre as duas frequências percebidas elimina a frequência emitida.

$$\frac{f_{afast}}{f_{aprox}}=\frac{v_s-u}{v_s+u}$$

$$\frac89=\frac{340-u}{340+u}$$

Resolvemos a equação para u.

$$8(340+u)=9(340-u)$$

$$2720+8u=3060-9u$$

$$17u=340$$

$$u=20\text{ m/s}$$

$$u=72\text{ km/h}$$

A frequência f dada no enunciado já é a percebida durante a aproximação, não a emitida pela sirene. As expressões usam aproximação e afastamento ao longo da linha de visada; no instante exato de uma passagem lateral, a componente radial varia.

Ressalva editorial. O enunciado usa picofarad como unidade de carga. O próprio comentário identifica o problema e adota 50 picocoulombs. Calculamos sob essa hipótese explicitada.

$$Q=50\text{ pC}=50\times10^{-12}\text{ C}$$

$$R=5\text{ cm}=0{,}05\text{ m}$$

O ponto médio está a metade da distância entre os centros de cada esfera.

$$D=36R=1{,}80\text{ m}$$

$$r=\frac D2=18R=0{,}90\text{ m}$$

As duas contribuições de potencial se somam algebricamente. A simetria pode anular o campo, mas não anula o potencial de cargas de mesmo sinal.

$$V=\frac{kQ}{r}+\frac{kQ}{r}$$

$$V=\frac{2\cdot9\times10^9\cdot50\times10^{-12}}{0{,}90}$$

$$V=1{,}0\text{ V}$$

Sem a correção para pC, uma capacitância isolada não determina a carga: faltaria uma tensão ou outra informação equivalente. Mantivemos a redação original e identificamos a interpretação empregada.

No modelo magnetostático usado no comentário, o campo de um fio retilíneo infinito é:

$$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}$$

A velocidade é paralela ao fio e perpendicular ao campo magnético circular ao seu redor. Assim, a força magnética tem módulo qvB.

$$ma=|q|vB$$

$$ma=|q|v\frac{\mu_0I}{2\pi d}$$

Isolamos a distância.

$$d=\frac{|q|v\mu_0I}{2\pi ma}$$

$$d=\frac{0{,}5\times10^{-3}\cdot10^3\cdot4\pi\times10^{-7}\cdot10^2}{2\pi\cdot10^{-3}\cdot100}$$

$$d=1{,}0\times10^{-4}\text{ m}$$

$$d=0{,}10\text{ mm}$$

Ressalva editorial. O enunciado pede 100 m/s², mas o comentário lista e substitui 10 m/s², obtendo 1 mm. Com a aceleração solicitada, dez vezes maior, a distância deve ser dez vezes menor.

O resultado é a distância correspondente à aceleração magnética naquele instante. A força é perpendicular à velocidade e não realiza trabalho. A descrição ideal ignora o transitório de estabelecimento da corrente e outras forças, como no modelo do comentário.