Um carro percorre 40 km na direção norte e, a seguir, uma distância $D$, na direção oeste. Determine, em km, essa distância $D$, se, no final do processo, o carro está a 50 km do ponto de partida.
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
$D=30\text{ km}$.
Resolução
Os deslocamentos para norte e oeste são perpendiculares. A distância de 50 km ao ponto de partida é o módulo do deslocamento resultante, correspondente à hipotenusa.
$$50^2=40^2+D^2$$
$$D^2=2500-1600$$
$$D^2=900$$
$$D=30\text{ km}$$
A distância total percorrida pelo carro é 70 km. Ela é diferente dos 50 km que separam a posição final da inicial.
Q02
Mecânica e termologia — Energia — Dissipação e aquecimento de água
Uma bola de massa $m=8{,}4\text{ kg}$, que se encontrava em repouso à altura de 5 m, foi abandonada e, após chocar-se com o solo, retornou a uma altura de 4 m.
Determine a perda de energia mecânica.
Se essa perda fosse utilizada exclusivamente para variar de 4 °C a temperatura de $m$ gramas de água, qual seria o valor da massa?
Considere $c=1{,}0\text{ cal/(g·°C)}$, $1\text{ cal}=4{,}2\text{ J}$ e $g=10\text{ m/s}^2$.
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
a) Perda de $84\text{ J}$; $\Delta E_m=-84\text{ J}$.
b — correção TEF) $m_{água}=5\text{ g}$.
Resolução
a. A velocidade é nula no ponto inicial e no topo do ressalto. A diferença entre as energias potenciais corresponde à energia mecânica perdida.
$$E_{perdida}=m_bg(h_i-h_f)$$
$$E_{perdida}=8{,}4\cdot10\cdot(5-4)$$
$$E_{perdida}=84\text{ J}$$
A variação de energia mecânica é negativa; a perda é expressa pelo seu módulo positivo.
b. Convertemos a energia disponível para calorias.
$$Q=\frac{84}{4{,}2}=20\text{ cal}$$
Chamamos a massa de água de mₐ para distingui-la da massa da bola.
$$Q=m_ac\Delta T$$
$$20=m_a\cdot1\cdot4$$
$$m_a=5\text{ g}$$
Ressalva editorial. O comentário usa 2 °C na substituição e obtém 10 g. O enunciado fornece variação de 4 °C; com esse dado, o resultado correto é 5 g.
Q03
Eletricidade — Eletrostática — Equilíbrio entre cargas positivas
Duas cargas puntiformes $q_1=+4\,\mu\text{C}$ e $q_2=+9\,\mu\text{C}$ estão separadas por uma distância de 10 cm. Em que local, ao longo da reta que une as duas cargas, podemos colocar uma carga puntiforme $q_3=-1\,\mu\text{C}$ para que ela fique em equilíbrio?
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
Entre as cargas, a $4\text{ cm}$ de $q_1$ e a $6\text{ cm}$ de $q_2$.
Resolução
A carga negativa é atraída pelas duas positivas. As forças só podem se opor se ela estiver entre as cargas. Seja x sua distância a q₁, em centímetros.
$$r_1=x$$
$$r_2=10-x$$
No equilíbrio, igualamos os módulos das forças elétricas.
Como as duas distâncias são positivas, podemos extrair a raiz.
$$\frac2x=\frac3{10-x}$$
$$2(10-x)=3x$$
$$20=5x$$
$$x=4\text{ cm}$$
O ponto está mais perto da carga menor, compensando a diferença entre os módulos das cargas. Equilíbrio de força no ponto não implica estabilidade contra qualquer pequena perturbação.
Q04
Eletricidade — Eletrodinâmica — Energia dissipada em paralelo
Uma resistência de $5\,\Omega$ é associada, em paralelo, a outra resistência de $20\,\Omega$. Em seguida, tal associação é ligada a uma força eletromotriz de 6,0 V. Determine, em joules, a energia dissipada pelo sistema durante 1 minuto.
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
$E=540\text{ J}$.
Resolução
As duas resistências estão submetidas à mesma tensão. Sua resistência equivalente é:
$$R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$
$$R_{eq}=\frac{5\cdot20}{5+20}=4\,\Omega$$
Considerando a fonte ideal, a potência total dissipada vale:
$$P=\frac{U^2}{R_{eq}}$$
$$P=\frac{6^2}{4}=9\text{ W}$$
Convertemos o intervalo para segundos antes de calcular a energia.
$$\Delta t=60\text{ s}$$
$$E=P\Delta t$$
$$E=9\cdot60=540\text{ J}$$
O arquivo apresenta a unidade das resistências como W em parte do texto, mas o diagrama e a resolução indicam ohms. A transcrição usa Ω para preservar a grandeza física correta.
Q05
Mecânica — Oscilações — Período e velocidade no MHS
Uma partícula executa um movimento harmônico simples descrito pela função $x(t)=2\sin(0{,}1t)$, onde $x$ é dado em centímetros e $t$, em segundos. Determine o período, em segundos, do movimento da partícula e o módulo da velocidade máxima, em centímetros por segundo.
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
$T=20\pi\text{ s}\approx62{,}8\text{ s}$.
Unidade corrigida: $v_{máx}=0{,}20\text{ cm/s}$.
Resolução
Comparando a função dada com a expressão geral do movimento harmônico, identificamos:
$$A=2\text{ cm}$$
$$\omega=0{,}1\text{ rad/s}$$
O período é:
$$T=\frac{2\pi}{\omega}$$
$$T=\frac{2\pi}{0{,}1}=20\pi\text{ s}$$
A velocidade é a derivada da posição.
$$v(t)=A\omega\cos(\omega t)$$
Seu módulo máximo ocorre quando o módulo do cosseno vale um.
$$v_{max}=A\omega$$
$$v_{max}=2\cdot0{,}1=0{,}20\text{ cm/s}$$
Ressalva editorial. O comentário troca a unidade da amplitude para metros e apresenta a velocidade em m/s. O enunciado define x em centímetros e pede cm/s. O valor numérico 0,20 permanece, com a unidade correta de centímetros por segundo.
Q06
Óptica — Lentes — Distância entre filme e tela
A distância focal da objetiva de um projetor cinematográfico é 20 cm e a distância do filme ao centro óptico da objetiva é 20,4 cm. Determine a distância do filme à tela para que a imagem fique focada.
O filme é o objeto real, a 20,4 cm da lente convergente. Aplicamos a equação dos pontos conjugados em centímetros.
$$\frac1f=\frac1p+\frac1{p'}$$
$$\frac1{p'}=\frac1{20}-\frac1{20{,}4}$$
$$\frac1{p'}=\frac{0{,}4}{408}$$
$$p'=1020\text{ cm}$$
Esse valor mede a distância da lente à tela. O enunciado pede do filme à tela, que ficam em lados opostos da lente.
$$D=p+p'$$
$$D=20{,}4+1020$$
$$D=1040{,}4\text{ cm}$$
$$D=10{,}404\text{ m}$$
A tela recebe uma imagem real e invertida. A proximidade do filme com o plano focal explica a grande distância de projeção; os valores intermediários são mantidos antes do arredondamento final.
Q07
Mecânica — Hidrostática — Peso, empuxo e força elástica
Um corpo suspenso por uma mola é totalmente imerso na água e fica em equilíbrio, sem tocar o fundo ou os lados do recipiente. Determine, em newtons, a tensão na mola, sabendo que o volume do corpo é $30\text{ cm}^3$, sua densidade é $4\times10^3\text{ kg/m}^3$, a densidade da água é $10^3\text{ kg/m}^3$ e $g=10\text{ m/s}^2$.
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
$F_{mola}=0{,}90\text{ N}$.
Resolução
O peso aponta para baixo; o empuxo e a força da mola apontam para cima. No equilíbrio:
$$F_{mola}+E=P$$
Como o corpo está totalmente imerso, o volume de água deslocado é o próprio volume do corpo.
A mola sustenta o peso aparente, menor que o peso total devido ao empuxo. Não é necessário conhecer a constante elástica para determinar a força de equilíbrio.
Q08
Mecânica — Colisões — Variação vetorial do momento linear
Uma partícula de massa $m=1{,}5$ penetra, com uma velocidade $v$ de módulo igual a 20 m/s, por um orifício de um cilindro oco, de raio $R=8\text{ cm}$, que repousa fixo sobre uma mesa horizontal, perfeitamente lisa. A partícula choca-se elasticamente com a parede interna do cilindro, saindo pelo mesmo orifício depois de cinco sucessivos choques, descrevendo a trajetória pontilhada mostrada na figura abaixo. Determine o módulo da variação da quantidade de movimento da partícula depois do quinto choque.
Resposta comentada TEF · UFC 1995.2 · 2ª Etapa
Adotando $m=1{,}5\text{ g}$, como no comentário: $|\Delta\vec p|=0{,}030\text{ kg·m/s}=0{,}030\text{ N·s}$.
A unidade da massa está ausente no enunciado do arquivo e é explicitada apenas na solução fornecida.
Resolução
Ressalva sobre os dados. A massa aparece sem unidade no enunciado. O comentário adota 1,5 g; usamos essa interpretação identificada, sem tratá-la como unidade impressa no pedido.
$$m=1{,}5\text{ g}=1{,}5\times10^{-3}\text{ kg}$$
As colisões são elásticas com uma parede fixa: o módulo da velocidade permanece 20 m/s, mas sua direção muda. As seis cordas da trajetória formam o hexágono inscrito indicado. A direção muda 60° em cada reflexão.
Entre a entrada e a saída, após cinco reflexões, a rotação acumulada de direção é 300°, equivalente a um ângulo menor de 60° entre as velocidades inicial e final. A variação vetorial tem módulo:
Calculamos a variação da quantidade de movimento, não a soma dos módulos dos cinco impulsos.
$$|\Delta\vec p|=m|\Delta\vec v|$$
$$|\Delta\vec p|=1{,}5\times10^{-3}\cdot20$$
$$|\Delta\vec p|=0{,}030\text{ kg·m/s}$$
O módulo da variação em um único choque também tem esse valor, pois o ângulo entre as velocidades imediatamente antes e depois de cada impacto é 60°. Isso não significa que os cinco vetores de impulso sejam iguais.
Correção de unidades. O comentário troca 20 m/s por 20 cm/s e termina em 30 g·cm/s. Com a velocidade do enunciado, o resultado equivalente correto é 30 g·m/s ou 3000 g·cm/s. O raio não é necessário ao cálculo do módulo do impulso após definida a geometria da trajetória.
