Provas Anteriores | UFC 1996 · 2ª Etapa

Q01

Mecânica — Centro de massa — Centro de massa de placa com simetria

Numa placa retangular de 100 cm × 200 cm, são cortados setores circulares, todos de mesmo raio, resultando na peça mostrada na figura. A placa tem espessura uniforme e é constituída de um material homogêneo. Determine, em centímetros, as coordenadas $x$ e $y$, do centro de massa da peça.

Peça sombreada em um gráfico y (cm) por x (cm): placa de 200 cm de largura e 100 cm de altura, com recortes circulares nos cantos superiores e um recorte semicircular de raio 50 cm na base, entre x = 50 cm e x = 150 cm

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

$(X,\,Y)=(100,\,50)$ cm

Resolução

Quando a distribuição de massa tem simetria, o centro de massa fica sobre o eixo de simetria.

Em $x$: a peça é claramente simétrica em relação à reta $x=100$ cm, então $X=100$ cm.

Em $y$: a quantidade de massa acima da reta $y=50$ cm é igual à que está abaixo dela. Cada metade equivale a uma placa retangular de $50\ \text{cm}\times200\ \text{cm}$ da qual foram extraídos dois setores circulares iguais, cada um com $1/4$ de círculo de raio 50 cm. Então $Y=50$ cm.

O centro de massa fica no ponto

$$(X,\,Y)=(100,\ 50)\ \text{cm}.$$

Q02

Mecânica — Grandezas e unidades — Escala de tempo do sistema solar

O sistema solar tem $4{,}5\times10^9$ anos de idade. Os primeiros hominídeos surgiram na Terra há cerca de 4,5 milhões de anos. Imagine uma escala em que o tempo transcorrido entre o surgimento do sistema solar e a época atual corresponda a um ano de 365 dias. De acordo com tal escala, há quantas horas os hominídeos surgiram na Terra? Aproxime sua resposta para um número inteiro apropriado.

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

Cerca de 9 horas

Resolução

Na escala adotada, o tempo é proporcional ao real. Seja $N$ a idade dos primeiros hominídeos nessa escala:

$$N=\dfrac{4{,}5\times10^6}{4{,}5\times10^9}\times365\ \text{dias}=365\times10^{-3}=0{,}365\ \text{dia}.$$

Em horas, $0{,}365\times24\approx8{,}8\approx9$ h. Os primeiros hominídeos surgiram há cerca de 9 horas na escala adotada, enquanto o sistema solar já existe há 365 dias.

Q03

Eletricidade — Geradores e receptores — Gerador com cargas em paralelo

No circuito abaixo, um gerador de f.e.m. $E=68$ V e resistência interna $r=0{,}5\ \Omega$ está alimentando a associação em paralelo, a qual é constituída por uma lâmpada L, que dissipa uma potência $P=126$ W, um ferro de solda F, consumindo uma potência $P_F=189$ W, e um refrigerador G, que consome a potência $P_G=315$ W. A potência total fornecida pelo gerador é $P=680$ W. Determine o valor, em ampéres, da maior corrente dentre as que circulam pelos aparelhos acima mencionados.

Gerador (E, r) ligado entre os pontos a e b, em paralelo com a lâmpada L, o ferro de solda F e o refrigerador G

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

$i_G=5\ \text{A}$

Resolução

Como os três aparelhos estão sob a mesma d.d.p. $V_{ab}$, a maior corrente é a do que consome mais potência, o refrigerador G.

A corrente total vem de $P=E\,i$:

$$i=\dfrac PE=\dfrac{680}{68}=10\ \text{A}.$$

A d.d.p. nos terminais do gerador é

$$V_{ab}=E-r\,i=68-0{,}5\times10=63\ \text{V}.$$

A corrente no refrigerador é

$$i_G=\dfrac{P_G}{V_{ab}}=\dfrac{315}{63}=5\ \text{A}.$$

Q04

Óptica e Ondulatória — Acústica — Ressonância em tubo fechado com êmbolo

Considere o arranjo mostrado na figura abaixo, onde vemos um tubo sonoro T, ao qual está ajustado o êmbolo E, que pode ser movido convenientemente, e uma fonte F, que emite som de freqüência constante $f$. Utilizando esse arranjo, um estudante verificou que deslocando o êmbolo para a direita, desde a posição em que $l$ é igual a zero, a primeira ressonância ocorreu na posição em que $l=l_1=18$ cm. Supondo que o estudante continue a deslocar o êmbolo para a direita, em qual valor subseqüente $l_2$ em centímetros, ocorrerá uma nova ressonância?

Tubo sonoro T com o êmbolo E em sua extremidade e o comprimento l indicado a partir da fonte

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

$l_2=54\ \text{cm}$

Resolução

O tubo é fechado pelo êmbolo e a freqüência da fonte é constante, então o comprimento de onda $\lambda$ é o mesmo em todas as ressonâncias. A primeira ocorre quando o comprimento do tubo é $l_1=\tfrac14\lambda$ e a seguinte quando $l_2=\tfrac34\lambda$.

Ondas estacionárias no tubo para l1 = λ/4 (um quarto de onda) e para l2 = 3λ/4 (três quartos de onda)

Logo, $l_2=3\,l_1$. Com $l_1=18$ cm:

$$l_2=3\times18=54\ \text{cm}.$$

Q05

Termologia — Gases ideais — Gás que escapa a pressão constante

Um recipiente contém uma dada quantidade de gás ideal à pressão atmosférica $p_0$ e à temperatura $t_0=27\ {}^\circ\text{C}$. O recipiente possui um dispositivo que permite a saída ou a entrada de gás de modo a manter a pressão interna sempre constante. O sistema é aquecido até atingir uma temperatura $t$, e, durante esse processo, $1/6$ da quantidade inicial de gás escapa do recipiente. Determine, em graus Celsius, a temperatura $t$. Use $t\,({}^\circ\text{C})=T-273$, onde $T$ é a temperatura absoluta. Despreze qualquer possível dilatação do recipiente.

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

$t=87\ {}^\circ\text{C}$

Resolução

Na situação inicial, com $n_0$ mols a $T_0$:

$$p_0V_0=n_0RT_0\qquad(1)$$

Depois do aquecimento escapa $n_0/6$, ficando $\tfrac56n_0$ mols, com a mesma pressão e o mesmo volume:

$$p_0V_0=\dfrac{5n_0}{6}\,RT\qquad(2)$$

Comparando (1) e (2): $\tfrac56T=T_0$, ou $T=\tfrac65T_0$. Com $T_0=27+273=300$ K:

$$T=\dfrac65\times300=360\ \text{K}\ \Rightarrow\ t=360-273=87\ {}^\circ\text{C}.$$

Q06

Eletricidade — Efeitos da corrente elétrica — Lâmina bimetálica e corrente periódica

No diagrama abaixo, temos uma bateria B, que acende a lâmpada L, quando fechamos a chave S. A corrente que passa pela lâmpada passa também pela lâmina bimetálica A. Após algum tempo, a dilatação da lâmina aquecida pela corrente faz com que sua extremidade livre se afaste do ponto 1 e se ligue, imediatamente, ao ponto 2. Com isso, a lâmpada L apaga, e o motor M começa a funcionar. Mas a corrente que passa pelo motor passa igualmente pela lâmina bimetálica C (idêntica à lâmina A), que aquece até interromper o circuito. Ambas as correntes, a do motor e a da lâmpada, são iguais. Faça um gráfico da corrente $I$, que passa pela lâmpada, como função do tempo $t$, no caso da chave S permanecer ligada.

Circuito com a bateria B e a chave S, a lâmpada L ligada ao ponto 1 e o motor M ligado ao ponto 2 pela lâmina bimetálica A, e a lâmina bimetálica C em série com o motor

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

Gráfico da corrente na lâmpada: pulsos retangulares periódicos, ora com corrente constante, ora com corrente nula.

Resolução

Fechada a chave S, começa um fenômeno periódico: ora existe corrente apenas na lâmpada, ora apenas no motor.

1. A corrente passa pela lâmpada e pela lâmina A, que se aquece e dilata. 2. A lâmina A se liga ao ponto 2: a lâmpada apaga e o motor passa a funcionar, com a mesma corrente, que passa pela lâmina C (idêntica a A) e a aquece. 3. A lâmina C dilata até interromper o circuito; a lâmina A esfria, volta ao ponto 1 e a lâmpada acende de novo.

A corrente na lâmpada (e também a do motor, no seu período) é um trem de pulsos retangulares, com o valor constante $I$ enquanto a lâmpada está ligada e valor nulo enquanto o motor funciona:

Gráfico da corrente I na lâmpada em função do tempo t: pulsos retangulares periódicos alternando entre um valor constante e zero

Q07

Mecânica — Impulso e quantidade de movimento — Força média em gráficos de colisão

Nas figuras 1 e 2 abaixo, são mostradas, como função do tempo, as quantidades de movimento lineares, $p_{Ai}$, $p_{Bi}$, $p_{Ci}$, $p_{Di}$, $p_{Af}$, $p_{Bf}$, $p_{Cf}$ e $p_{Df}$ (onde os índices $i$ e $f$ indicam, respectivamente, os valores iniciais e finais) relativas a duas colisões ocorridas, uma entre as partículas A e B e outra, entre C e D. Ambas as colisões são frontais, ao longo de uma reta horizontal. Ambos os gráficos estão numa mesma escala.

Gráficos p × t das duas colisões. Figura 1: as curvas de A e B se cruzam entre t0 e 2t0, com p_Af = 2 p_Ai. Figura 2: as curvas de C e D se cruzam entre t0 e 4t0, com p_Cf = 1,75 p_Ci

Calcule a razão $F_1/F_2$, onde $F_1$ e $F_2$ são, respectivamente, os valores médios da força de interação entre as partículas durante as colisões mostradas nas figuras 1 e 2.

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

$F_1/F_2=4$

Resolução

Pela segunda lei de Newton, a força média sobre uma partícula é a variação da sua quantidade de movimento dividida pelo intervalo de tempo da colisão: $F=\Delta p/\Delta t$.

Gráfico 1: a colisão vai de $t_0$ a $2t_0$ e a partícula A passa de $p_{Ai}$ a $p_{Af}=2p_{Ai}$:

$$F_1=\dfrac{p_{Af}-p_{Ai}}{2t_0-t_0}=\dfrac{2p_{Ai}-p_{Ai}}{t_0}=\dfrac{p_{Ai}}{t_0}.$$

Gráfico 2: a colisão vai de $t_0$ a $4t_0$ e a partícula C passa de $p_{Ci}$ a $p_{Cf}=1{,}75\,p_{Ci}$:

$$F_2=\dfrac{p_{Cf}-p_{Ci}}{4t_0-t_0}=\dfrac{1{,}75\,p_{Ci}-p_{Ci}}{3t_0}=\dfrac{p_{Ci}}{4t_0}.$$

Como $p_{Ai}=p_{Ci}$ (ver figuras):

$$\dfrac{F_1}{F_2}=\dfrac{p_{Ai}/t_0}{p_{Ai}/(4t_0)}=4.$$

Q08

Óptica e Ondulatória — Óptica geométrica — Altura mínima de espelho plano

A figura mostra uma estatueta de altura $H$, colocada a uma distância $D$ de uma parede P. Mostra também um observador situado a uma distância $d=\dfrac D3$ da mesma parede. Um espelho plano deve ser colocado na parede de modo que o observador, olhando para ele, veja a estatueta por inteiro. Determine a altura mínima $h$, que o espelho deve ter.

Parede P à esquerda, estatueta de altura H a uma distância D da parede, e o observador a uma distância d = D/3 da parede

Resposta — UFC 1996 · 2ª Etapa

$h=\dfrac H4$

Resolução

Usa-se o método das imagens. A imagem da estatueta, vista pelo observador O através do espelho, é $M'N'=H$, e o espelho, já no seu tamanho mínimo, é $ST=h$. Seja $Q$ o ponto da horizontal do observador que fica à altura de $T$, e $R$ o da altura de $M'$.

A semelhança dos triângulos $OQS$ e $ORN'$ dá, com a imagem a $D+D/3$ do observador e o espelho a $D/3$:

$$\dfrac{\overline{N'R}}{D+D/3}=\dfrac{\overline{SQ}}{D/3}\ \Rightarrow\ \overline{N'R}=4\,\overline{SQ}.$$

Como $\overline{N'R}=H+\overline{M'R}$, temos $H=4\,\overline{SQ}-\overline{M'R}$ (a).

Da semelhança dos triângulos $OQT$ e $ORM'$:

$$\dfrac{\overline{M'R}}{D+D/3}=\dfrac{\overline{TQ}}{D/3}\ \Rightarrow\ \overline{M'R}=4\,\overline{TQ}.$$

Substituindo em (a): $H=4\,\overline{SQ}-4\,\overline{TQ}$. Com $\overline{SQ}=\overline{ST}+\overline{TQ}$:

$$H=4\,\overline{ST}\ \Rightarrow\ h=\overline{ST}=\dfrac H4.$$

Nota: a resposta não depende da posição do observador em relação à linha $M'M$. Quem percebeu isso pode chegar ao resultado de modo mais direto, pondo o observador sobre aquela linha.