Provas Anteriores | UFC 2006.2 · 2ª Etapa

Q01

Mecânica — Cinemática — Velocidade a partir do gráfico de aceleração

Uma partícula parte do repouso, no instante $t=0$, na direção positiva do eixo $x$. O gráfico da aceleração da partícula ao longo eixo $x$, em função do tempo, é mostrado na figura abaixo.

Gráfico a × t: a = a1 de 0 a t2; a = 0 de t2 a t3; a = a2 de t3 a t5. Os instantes t1 (entre 0 e t2), t2, t3, t4 e t5 estão marcados no eixo

Determine a velocidade da partícula nos instantes de tempo $t_1$, $t_2$, $t_3$, $t_4$ e $t_5$.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

$v_1=a_1t_1$; $v_2=a_1t_2$; $v_3=a_1t_2$; $v_4=a_1t_2+a_2(t_4-t_3)$; $v_5=a_1t_2+a_2(t_5-t_3)$

Resolução

Nos intervalos $0\le t\le t_2$ e $t_3\lt t\le t_5$ o movimento é uniformemente acelerado, com acelerações $a_1$ e $a_2$, respectivamente. No intervalo $t_2\lt t\le t_3$ a aceleração é nula e o movimento é uniforme.

Partindo do repouso, $v=a_1t$ no primeiro trecho:

$$v_1=a_1t_1,\qquad v_2=a_1t_2.$$

Entre $t_2$ e $t_3$ a velocidade não muda:

$$v_3=a_1t_2.$$

A partir de $t_3$ a velocidade cresce com $a_2$:

$$v_4=a_1t_2+a_2(t_4-t_3),\qquad v_5=a_1t_2+a_2(t_5-t_3).$$

Q02

Mecânica — Dinâmica — Cunha em plano inclinado com força horizontal

Uma cunha de massa $m=2\text{ kg}$ é empurrada sobre um plano inclinado por uma força horizontal $F$, de intensidade igual a $20\text{ N}$, conforme figura abaixo.

Cunha sobre um plano inclinado de 30° com a horizontal, empurrada por uma força horizontal F para a direita

Dados: $g=10\text{ m/s}^2$, $\text{sen}\,30^\circ=1/2$, $\cos30^\circ=\sqrt3/2$, $\tan30^\circ=\sqrt3/3$.

Sabendo que a velocidade com que a cunha sobe o plano é constante, determine:

a intensidade da força exercida pelo plano inclinado sobre a cunha.
o coeficiente de atrito cinético entre a cunha e o plano inclinado.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

A) $F_{\text{plano}}=20\sqrt2\text{ N}$

B) $\mu_c=2-\sqrt3$

Resolução

Como a velocidade é constante, a resultante sobre a cunha é nula. Usando eixos $x$ (paralelo ao plano, para cima) e $y$ (perpendicular ao plano), atuam: o peso $P=mg=20\text{ N}$, a força horizontal $F$, a normal $F_N$ e o atrito cinético $f_c$ (descendo o plano).

Direção $y$:

$$F_N-P\cos30^\circ-F\,\text{sen}\,30^\circ=0\ \Rightarrow\ F_N=20\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+20\cdot\dfrac12=10(\sqrt3+1)\text{ N}.$$

Direção $x$:

$$F\cos30^\circ-P\,\text{sen}\,30^\circ-f_c=0\ \Rightarrow\ f_c=10\sqrt3-10=10(\sqrt3-1)\text{ N}.$$

A) A força do plano sobre a cunha é a resultante de $F_N$ e $f_c$, que são perpendiculares:

$$F_{\text{plano}}=\sqrt{f_c^2+F_N^2}=10\sqrt{(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2}=10\sqrt{8}=20\sqrt2\text{ N}.$$

(Como $\vec F_{\text{plano}}$ equilibra $\vec P+\vec F$, o mesmo resultado sai de $\sqrt{20^2+20^2}$.)

B) Como $f_c=\mu_cF_N$:

$$\mu_c=\dfrac{f_c}{F_N}=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3.$$

Q03

Mecânica — Oscilações — MHS vertical após corte do fio

Três corpos de massas $M$, $m$ e $m'$ encontram-se suspensos, verticalmente, através de uma mola ideal de constante elástica $k$, conforme figura abaixo. Os corpos $M$ e $m$ estão ligados por uma barra rígida e de massa desprezível. O sistema como um todo está em repouso. O fio que prende o corpo de massa $m'$ é cortado no ponto $P$, gerando assim uma oscilação no restante do sistema.

Mola de constante k presa ao teto, sustentando M; abaixo de M, o corpo m ligado por barra; abaixo de m, o ponto P do fio que prende o corpo m′

a amplitude $A$ e o período $T$ do movimento resultante do sistema formado pelos corpos $M$ e $m$.
o módulo da velocidade máxima atingida pelos corpos $M$ e $m$.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

A) $A=\dfrac{m'g}{k}$ e $T=2\pi\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}$

B) $v_{\max}=\dfrac{m'g}{\sqrt{k\,(M+m)}}$

Resolução

A) Antes do corte, a mola sustenta também $m'$. A elongação adicional causada por $m'$ é obtida de $k\,x=m'g$:

$$x=\dfrac{m'g}{k}.$$

Ao cortar o fio, o sistema $M+m$ passa a oscilar em MHS em torno da nova posição de equilíbrio (a mola relaxa $x$). Como o sistema parte do repouso na posição de maior elongação, a amplitude é igual a esse deslocamento:

$$A=\dfrac{m'g}{k}.$$

O período depende da massa oscilante $M+m$:

$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{M+m}{k}}.$$

B) A velocidade máxima ocorre na posição de equilíbrio, onde a energia potencial elástica associada ao deslocamento $A$ foi toda convertida em energia cinética:

$$\dfrac12(M+m)v^2=\dfrac12k\left(\dfrac{m'g}{k}\right)^2\ \Rightarrow\ v_{\max}=\dfrac{m'g}{\sqrt{k\,(M+m)}}.$$

Q04

Óptica e Ondulatória — Ondas — Equação de onda e efeito Doppler

Uma onda que se propaga ao longo do eixo $x$ pode ser descrita pela equação de onda $y=A\cos(px-qt)$, onde $p$ e $q$ são constantes. Determine:

o comprimento de onda.
o período.
a velocidade de propagação da onda.
Considere agora um carro que se move ao longo do eixo $x$, em sentido contrário à propagação da onda anteriormente descrita, com velocidade constante $V=2q/p$.
Determine a freqüência da onda observada pelo motorista do carro.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

A) $\lambda=\dfrac{2\pi}{p}$

B) $T=\dfrac{2\pi}{q}$

C) $v=\dfrac qp$

D) $f'=\dfrac{3q}{2\pi}$

Resolução

A forma geral de uma onda que se propaga no sentido $+x$ é

$$y=A\cos\left[\left(\dfrac{2\pi}{\lambda}\right)x-\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)t+\varphi_0\right].$$

Comparando com $y=A\cos(px-qt)$:

A) $p=\dfrac{2\pi}{\lambda}\ \Rightarrow\ \lambda=\dfrac{2\pi}{p}.$

B) $q=\dfrac{2\pi}{T}\ \Rightarrow\ T=\dfrac{2\pi}{q}$, e a frequência é $f=\dfrac1T=\dfrac{q}{2\pi}.$

C) $v=\lambda f=\dfrac{2\pi}{p}\cdot\dfrac{q}{2\pi}=\dfrac qp.$

D) O carro move-se contra a propagação, então a velocidade com que o motorista percebe a aproximação da onda é

$$v'=V+v=\dfrac{2q}{p}+\dfrac qp=\dfrac{3q}{p}.$$

O comprimento de onda não muda; logo

$$f'=\dfrac{v'}{\lambda}=\dfrac{3q/p}{2\pi/p}=\dfrac{3q}{2\pi}.$$

Q05

Mecânica — Colisões — Pêndulo, colisão e aquecimento do corpo B

Um corpo $A$ de massa $m$ encontra-se inicialmente em repouso, suspenso por fio de massa desprezível e comprimento $L$, que forma um ângulo de $60^\circ$ com a vertical, de acordo com a figura abaixo. Um outro corpo $B$, em repouso sobre uma superfície plana e sem atrito, é também mostrado na figura. O corpo $A$ é liberado do repouso e passa a movimentar-se de acordo com a trajetória indicada (linha tracejada) na figura.

Pêndulo de comprimento L com o corpo A, afastado de 60° da vertical; no ponto mais baixo da trajetória, sobre a superfície plana, está o corpo B

Considere que, no choque entre $A$ e $B$, toda a energia mecânica de $A$ é transferida para $B$, da seguinte forma: $50\%$ na forma de energia cinética e $50\%$ na forma de calor. Determine a variação de temperatura do corpo $B$, sabendo que seu calor específico vale $c$. Considere que a aceleração da gravidade é constante e de módulo $g$, e que nenhuma transformação de fase é observada no sistema.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

$\Delta T=\dfrac{gL}{8c}$

Resolução

Energia de A. Tomando o nível de B como altura zero, a altura inicial de A é $h=L(1-\cos60^\circ)=\dfrac L2$:

$$E_{mA}=mgh=\dfrac12mgL.$$

Calor em B. Metade dessa energia vira calor em B:

$$Q=\dfrac12E_{mA}=\dfrac14mgL=m_Bc\,\Delta T\ \Rightarrow\ \Delta T=\dfrac{mgL}{4m_Bc}.$$

Massa de B. No choque, toda a energia de A é transferida, então A para e seu momento passa a B: $m v_A=m_Bv_B$, com $v_A^2=2gh=gL$. A outra metade da energia vira energia cinética de B:

$$\dfrac12m_Bv_B^2=\dfrac14mgL\ \Rightarrow\ \dfrac12\dfrac{m^2v_A^2}{m_B}=\dfrac12\dfrac{m^2gL}{m_B}=\dfrac14mgL\ \Rightarrow\ m_B=2m.$$

Resultado.

$$\Delta T=\dfrac{mgL}{4(2m)c}=\dfrac{gL}{8c}.$$

Q06

Termologia — Termodinâmica — Gás monoatômico em processo adiabático

Considere um gás ideal monoatômico, encerrado num recipiente de volume $V$ e submetido a uma temperatura absoluta $T$. Se este gás for submetido a um processo adiabático qualquer (expansão ou compressão), mantendo seu número de moles constante, determine:

a razão entre os calores molares a pressão e volume constantes do gás.
a relação entre $T$ e $V$ ao longo deste processo, em termos do valor obtido em (A).

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

A) $\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac53$

B) $T\,V^{2/3}=\text{constante}$

Resolução

Para um gás ideal valem $pV=nRT$ e, em um processo adiabático, $pV^\gamma=\text{constante}$, com $\gamma=C_P/C_V$.

A) A energia interna do gás ideal monoatômico é $U=\dfrac32nRT$ (teorema da equipartição). Num processo a volume constante, $\Delta U=Q=nC_V\Delta T$:

$$\dfrac32nR\,\Delta T=nC_V\Delta T\ \Rightarrow\ C_V=\dfrac32R.$$

O calor molar a pressão constante é $C_P=C_V+R=\dfrac52R$. Portanto

$$\gamma=\dfrac{C_P}{C_V}=\dfrac53.$$

B) Substituindo $p=\dfrac{nRT}{V}$ em $pV^\gamma=\text{constante}$:

$$nRT\,V^{\gamma-1}=\text{constante}.$$

Como $n$ e $R$ são constantes, $T\,V^{\gamma-1}=\text{constante}$, isto é,

$$T\,V^{2/3}=\text{constante}.$$

Q07

Eletricidade — Eletrodinâmica — Circuito com duas baterias e chave

Considere o circuito mostrado na figura abaixo.

Circuito em malha única com os pontos a, b, c, d e a chave s: resistor de 6,0 Ω entre a e b; resistor de 0,5 Ω e bateria de 12,0 V entre b e c; resistor de 9,0 Ω entre c e a chave s; no ramo inferior, resistor de 8,0 Ω e resistor de 0,5 Ω com bateria de 36,0 V

Considere a chave $s$ aberta.

A) Determine a diferença de potencial entre os pontos $b$ e $c$.

Considere agora a chave $s$ fechada. Determine:

a corrente no circuito.
a diferença de potencial entre os pontos $a$ e $b$.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

A) $V_b-V_c=12\text{ V}$

B) $i=1\text{ A}$

C) $V_a-V_b=6{,}0\text{ V}$

Resolução

A) Com a chave aberta o circuito está interrompido e nenhuma corrente circula. Sem queda de tensão na resistência de $0{,}5\ \Omega$, a diferença de potencial entre $b$ e $c$ é igual à fem da bateria:

$$V_b-V_c=12\text{ V}.$$

B) Com a chave fechada, as baterias estão em oposição (fem líquida $36-12$) e as resistências estão em série. Pela lei das malhas:

$$i=\dfrac{36-12}{0{,}5+0{,}5+6{,}0+8{,}0+9{,}0}=\dfrac{24}{24}=1\text{ A}.$$

C) Entre $a$ e $b$ há apenas o resistor de $6{,}0\ \Omega$:

$$V_a-V_b=(6{,}0)(1{,}0)=6{,}0\text{ V}.$$

Q08

Física Moderna — Efeito fotoelétrico — Funções trabalho a partir do gráfico

Max Planck acreditava que a energia eletromagnética, como é o caso da luz, uma vez irradiada, se espalharia pelo espaço como uma onda produzida na água. Em 1905, Albert Einstein abandonou esta abordagem ondulatória, propondo que a energia radiante estaria quantizada em pacotes concentrados, ou fótons, de energia $hf$, onde $f$ é a freqüência da radiação e $h$ é a constante de Planck. Quando luz incide sobre uma superfície metálica, podemos ter o aparecimento de elétrons ejetados da superfície. Einstein explicou este fenômeno dizendo que, durante este processo, chamado de efeito fotoelétrico, um fóton é completamente absorvido por um elétron do metal. A energia cinética máxima $K_{\text{máx}}$ com que um elétron na superfície será ejetado depende da energia incidente do fóton e da energia mínima necessária para que o elétron vença as forças atrativas que o mantêm preso ao metal, chamadas de função trabalho $\phi$ do material.

Considere, então, duas superfícies metálicas $P_1$ e $P_2$, de materiais diferentes. Incidindo-se luz de freqüência $f$ sobre estas superfícies, o seguinte gráfico é produzido (em escala arbitrária).

Gráfico de K_máx em função de f: duas retas paralelas, P1 e P2, com interceptos negativos −φ1 e −φ2. Em f = f0 a reta P1 atinge K1 e em f = 3f0/2 a reta P2 atinge o mesmo valor K1

Calcule a diferença $\phi_2-\phi_1$ entre as funções trabalho das duas superfícies.

Resposta — UFC 2006.2 · 2ª Etapa

$\phi_2-\phi_1=\dfrac{hf_0}{2}$

Resolução

A energia cinética máxima dos elétrons ejetados é

$$K_{\text{máx}}=hf-\phi.$$

Pelo gráfico, quando a frequência é $f_0$ (em $P_1$) e $\dfrac{3f_0}{2}$ (em $P_2$), a energia cinética máxima é a mesma, $K_1$. Então:

$$P_1:\ K_1=hf_0-\phi_1,\qquad P_2:\ K_1=h\,\dfrac{3f_0}{2}-\phi_2.$$

Igualando e isolando a diferença:

$$\phi_2-\phi_1=\dfrac{3hf_0}{2}-hf_0=\dfrac{hf_0}{2}.$$