Provas Anteriores | UFC 2008.2 · 2ª Etapa

Q01

Mecânica — Cinemática — MRUV por gráfico de velocidade

O gráfico da figura abaixo representa a variação da velocidade com o tempo para dois carros, A e B, que viajam em uma estrada retilínea e no mesmo sentido. No instante $t=0\text{ s}$ o carro B ultrapassa o carro A. Nesse mesmo instante, os dois motoristas percebem um perigo à frente e acionam os freios simultaneamente. Tomando como base o gráfico, determine:

Gráfico da velocidade V (m/s) em função do tempo t (s): duas retas decrescentes, a do carro B partindo de 25 m/s e a do carro A partindo de 20 m/s, que se cruzam em t = 5 s com V = 5 m/s

a aceleração dos dois carros.
a equação horária da posição para os dois carros.
a equação horária da velocidade para os dois carros.
a distância entre os dois carros no instante em que suas velocidades são iguais.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

A) $a_A=-3\text{ m/s}^2$ e $a_B=-4\text{ m/s}^2$

B) $x_A=20t-1{,}5t^2$ e $x_B=25t-2t^2$ (SI)

C) $v_A=20-3t$ e $v_B=25-4t$ (SI)

D) $12{,}5\text{ m}$

Resolução

Pelo gráfico, o carro A parte de $20\text{ m/s}$ e o carro B, de $25\text{ m/s}$; as duas retas se cruzam em $t=5\text{ s}$, com $v=5\text{ m/s}$.

A) A aceleração é o coeficiente angular de cada reta, $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$:

$$a_A=\dfrac{5-20}{5-0}=-3\text{ m/s}^2,\qquad a_B=\dfrac{5-25}{5-0}=-4\text{ m/s}^2.$$

B) Os dois carros estão em $x=0$ em $t=0$ (B ultrapassa A nesse instante). Com $x=v_0t+\tfrac12at^2$:

$$x_A=20t-1{,}5t^2,\qquad x_B=25t-2t^2.$$

C) Em movimento uniformemente variado, $v=v_0+at$:

$$v_A=20-3t,\qquad v_B=25-4t.$$

D) As velocidades são iguais em $t=5\text{ s}$. Nesse instante:

$$x_B(5)-x_A(5)=(25\cdot5-2\cdot25)-(20\cdot5-1{,}5\cdot25)=75-62{,}5=12{,}5\text{ m}.$$

O mesmo valor sai da diferença entre as áreas dos trapézios sob as retas, de $0$ a $5\text{ s}$: $\dfrac{(25+5)\cdot5}{2}-\dfrac{(20+5)\cdot5}{2}=75-62{,}5=12{,}5\text{ m}$.

Pontuação oficial: três pontos para o item A, dois para o B, dois para o C e três para o D.

Q02

Eletricidade — Eletrostática — Tração em fio com campo elétrico uniforme

Uma bola de $20\text{ g}$ de massa com uma carga de $q=5\cdot10^{-7}\text{ C}$ está suspensa por um fio no interior de um campo elétrico constante de intensidade $E=2\cdot10^{5}\text{ N/C}$, o qual aponta perpendicularmente para o solo. Determine a tensão no fio nos seguintes casos:

quando a carga é positiva.
quando a carga é negativa.
quando a carga é neutra.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

A) $T=0{,}3\text{ N}$

B) $T=0{,}1\text{ N}$

C) $T=0{,}2\text{ N}$

Resolução

Atuam sobre a bola o peso $P=mg$ e a força elétrica $F_e=|q|E$. Com $g=10\text{ m/s}^2$:

$$P=20\cdot10^{-3}\cdot10=0{,}2\text{ N},\qquad F_e=5\cdot10^{-7}\cdot2\cdot10^{5}=0{,}1\text{ N}.$$

O campo e a gravidade apontam para o solo.

A) Com carga positiva, a força elétrica tem o sentido do campo, isto é, para baixo, o mesmo do peso. O fio sustenta os dois:

$$T=P+F_e=0{,}2+0{,}1=0{,}3\text{ N}.$$

B) Com carga negativa, a força elétrica aponta contra o campo, para cima, e alivia o fio:

$$T=P-F_e=0{,}2-0{,}1=0{,}1\text{ N}.$$

C) Com carga neutra não há força elétrica, e o fio sustenta só o peso:

$$T=P=0{,}2\text{ N}.$$

Pontuação oficial: quatro pontos para o item A, três para o B e três para o C.

Q03

Mecânica — Energia — Potência e teorema do trabalho-energia cinética

Qual a potência, em cv, que um ciclista deve imprimir à sua bicicleta para que esta atinja uma velocidade de $3{,}6\text{ km/h}$ em $10$ segundos, partindo do repouso em uma pista horizontal? Despreze a resistência do ar, considere que o sistema ciclista mais bicicleta tem uma massa de $70\text{ kg}$ e que $1\text{ cv}=735\text{ W}$.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

$P\approx0{,}0047\text{ cv}$ ($3{,}5\text{ W}$)

Resolução

A velocidade final é

$$v=3{,}6\text{ km/h}=\dfrac{3{,}6\cdot1000}{3600}=1\text{ m/s}.$$

Partindo do repouso e sem resistência do ar, o trabalho realizado é igual à variação da energia cinética:

$$W=\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{70\cdot1^2}{2}=35\text{ J}.$$

A potência média nos $10\text{ s}$ é

$$P=\dfrac{W}{\Delta t}=\dfrac{35}{10}=3{,}5\text{ W}.$$

Convertendo para cavalos-vapor, com $1\text{ cv}=735\text{ W}$:

$$P=\dfrac{3{,}5}{735}\approx0{,}0047\text{ cv}.$$

Pontuação oficial: a questão vale dez pontos.

Q04

Mecânica — Gravitação — Energia de satélite em órbita circular

Calcule a razão, em módulo, entre a energia cinética e a energia potencial de um satélite em órbita circular.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

$\dfrac{E_c}{|E_p|}=\dfrac12$

Resolução

Seja $m$ a massa do satélite, $M$ a massa do corpo que ele orbita e $d$ o raio da órbita. A força gravitacional faz o papel de força centrípeta:

$$\dfrac{GMm}{d^2}=\dfrac{mv^2}{d}\ \Rightarrow\ v^2=\dfrac{GM}{d}.$$

A energia cinética é

$$E_c=\dfrac12mv^2=\dfrac12\,\dfrac{GMm}{d}.$$

A energia potencial gravitacional é

$$E_p=-\dfrac{GMm}{d}.$$

Logo, o módulo da razão é

$$\dfrac{E_c}{|E_p|}=\dfrac{\tfrac12\,GMm/d}{GMm/d}=\dfrac12.$$

Pontuação oficial: a questão vale dez pontos.

Q05

Mecânica — Oscilações — Aceleração no MHS

“Nas oscilações descritas pelo movimento harmônico simples, os pontos da trajetória, em que a aceleração é máxima, são aqueles que coincidem com a posição de equilíbrio”. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

Falsa.

Resolução

A afirmação é falsa. No movimento harmônico simples, a aceleração é

$$a=-\omega^2x,$$

em que $\omega$ é a frequência angular e $x$ é o deslocamento em relação à posição de equilíbrio.

O módulo da aceleração é máximo quando $|x|$ é máximo, isto é, nos extremos da trajetória ($x=\pm A$, sendo $A$ a amplitude). Na posição de equilíbrio, $x=0$ e a aceleração é nula. Portanto, a aceleração máxima ocorre nos extremos, e não na posição de equilíbrio.

Pontuação oficial: a questão vale dez pontos.

Q06

Termologia — Mudanças de estado — Ponto triplo e diagrama de fases da água

Considere uma porção de água em forma de vapor, de sólido e de líquido, em equilíbrio a uma determinada temperatura. Aumentando-se essa temperatura e conservando-se a mesma pressão, qual composição terá o novo estado? Justifique.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

Vapor.

Resolução

Água em equilíbrio nas três fases (vapor, sólido e líquido) está no ponto triplo do diagrama de fases, o ponto T da figura.

Diagrama de fases pressão P por temperatura t, com as regiões S (sólido), L (líquido) e V (vapor), o ponto triplo T e as curvas M e N

Aumentar a temperatura mantendo a pressão constante corresponde a se deslocar do ponto T para a direita, ao longo de uma reta horizontal. Nessa trajetória, o sistema entra na região V do diagrama. Assim, o novo estado é composto apenas de vapor.

Pontuação oficial: a questão vale dez pontos.

Q07

Eletromagnetismo — Indução eletromagnética — Fluxo magnético em espiras quadrada e circular

Um circuito na forma de círculo está inscrito em um outro circuito na forma de um quadrado de lado $L$. Considere que os circuitos estão inicialmente perpendiculares a um campo magnético uniforme. Para qual ângulo, entre a reta perpendicular ao plano do quadrado e a direção do campo magnético, teremos o mesmo fluxo magnético para os dois circuitos? Justifique sua resposta.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

$\cos\theta=\dfrac{\pi}{4}$, isto é, $\theta\approx38^\circ$ (a solução oficial indica $45^\circ$)

Resolução

O círculo está inscrito no quadrado, então seu raio é $L/2$ e sua área é

$$A_C=\pi\left(\dfrac L2\right)^2=\dfrac{\pi L^2}{4}.$$

A área do quadrado é $A_Q=L^2$. O fluxo magnético é $\Phi=BA\cos\theta$, em que $\theta$ é o ângulo entre o campo e a normal ao plano do circuito.

O círculo permanece perpendicular ao campo, com $\theta=0^\circ$, de modo que $\Phi_C=B\,\dfrac{\pi L^2}{4}$. Para o quadrado girado de um ângulo $\theta$, $\Phi_Q=BL^2\cos\theta$. Igualando os fluxos:

$$BL^2\cos\theta=B\,\dfrac{\pi L^2}{4}\ \Rightarrow\ \cos\theta=\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}785\ \Rightarrow\ \theta\approx38^\circ.$$

A solução oficial divulgada pela banca chega a $\cos\theta=\pi/4$, mas indica $\theta=45^\circ$. Esse valor não corresponde a $\arccos(\pi/4)$, pois $\cos45^\circ\approx0{,}707$.

Pontuação oficial: a questão vale dez pontos.

Q08

Física Moderna — Física quântica — Comprimento de onda de De Broglie

Associamos a uma partícula material o que chamamos de comprimento de onda de De Broglie.

Dê a expressão que relaciona o comprimento de onda com o momentum da partícula.
Considere duas partículas com massas diferentes e mesma velocidade. Podemos associar a cada uma o mesmo comprimento de onda de De Broglie? Justifique.

Resposta — UFC 2008.2 · 2ª Etapa

A) $\lambda=\dfrac{h}{p}$

B) Não: os comprimentos de onda são diferentes.

Resolução

A) O comprimento de onda de De Broglie é

$$\lambda=\dfrac{h}{p},$$

em que $h$ é a constante de Planck e $p$ é o momentum (quantidade de movimento) da partícula.

B) Como $p=mv$, partículas de massas diferentes com a mesma velocidade têm momentos diferentes. Logo, não podem ter o mesmo comprimento de onda de De Broglie: a de maior massa tem o menor $\lambda$.

Pontuação oficial: cinco pontos para o item A e cinco para o B.