UFC 2009 — 2ª etapa: Física com respostas e resoluções

Q01

Mecânica — Sistemas de partículas — Trajetória do centro de massa

Duas partículas A e B, de massa $m$, executam movimentos circulares uniformes sobre o plano $xy$ ($x$ e $y$ representam eixos perpendiculares) com equações horárias dadas por:

$$x_A(t)=2a+a\cos(\omega t)$$

$$y_A(t)=a\sin(\omega t)$$

$$x_B(t)=-2a+a\cos(\omega t)$$

$$y_B(t)=a\sin(\omega t)$$

sendo $\omega$ e $a$ constantes positivas.

Determine as coordenadas das posições iniciais, em $t=0$, das partículas A e B.
Determine as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas partículas A e B no instante $t=0$.
Determine as coordenadas do centro de massa do sistema formado pelas partículas A e B em um instante qualquer $t$.
Mostre que a trajetória do centro de massa é uma circunferência de raio $a$, com centro no ponto $(x=0,y=0)$.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

A) $A_0=(3a,0)$ e $B_0=(-a,0)$.

B) $CM_0=(a,0)$.

C) $x_{CM}=a\cos(\omega t)$; $y_{CM}=a\sin(\omega t)$.

D) $x_{CM}^2+y_{CM}^2=a^2$.

Resolução

A. No instante inicial, cosseno e seno valem, respectivamente, um e zero.

$$x_A(0)=2a+a=3a$$

$$y_A(0)=0$$

$$x_B(0)=-2a+a=-a$$

$$y_B(0)=0$$

B. As massas são iguais; o centro de massa é a média das posições.

$$x_{CM}(0)=\frac{3a-a}{2}=a$$

$$y_{CM}(0)=0$$

C. A mesma média vale em qualquer instante.

$$x_{CM}(t)=\frac{x_A(t)+x_B(t)}2$$

$$x_{CM}(t)=a\cos(\omega t)$$

$$y_{CM}(t)=\frac{y_A(t)+y_B(t)}2$$

$$y_{CM}(t)=a\sin(\omega t)$$

D. Eliminamos o parâmetro t pela identidade trigonométrica.

$$x_{CM}^2+y_{CM}^2=a^2[\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)]$$

$$x_{CM}^2+y_{CM}^2=a^2$$

Essa é a equação de uma circunferência de raio a e centro na origem. O centro de massa não coincide com os centros das circunferências individuais.

Pontuação indicada na fonte: A, B e C: 2 pontos cada; D: 4 pontos.

Q02

Mecânica — Impulso — Força resultante e gráfico F × t

A única força horizontal (ao longo do eixo x) que atua em uma partícula de massa $m=2\text{ kg}$ é descrita, em um dado intervalo de tempo, pelo gráfico abaixo. A partícula está sujeita a um campo gravitacional uniforme cuja aceleração é constante, apontando para baixo ao longo da vertical, de módulo $g=10\text{ m/s}^2$. Despreze quaisquer efeitos de atrito.

Força horizontal F em função do tempo: constante em F1 de 1 a 3 s, cresce linearmente até 20 N em 7 s e permanece constante até 9 s.

Determine o módulo da força resultante sobre a partícula entre os instantes $t_1=1\text{ s}$ e $t_2=3\text{ s}$, sabendo que o impulso ao longo da direção horizontal foi de $30\text{ N·s}$ no referido intervalo de tempo.
Determine a variação da quantidade de movimento da partícula, na direção horizontal, entre os instantes $t_2=3\text{ s}$ e $t_3=7\text{ s}$.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

A) $F_R=25\text{ N}$.

B) $\Delta p_x=70\text{ N·s}$, no sentido positivo do eixo x.

Resolução

A. Entre 1 e 3 s, a força horizontal é constante. O impulso fornece seu valor.

$$I_x=F_1\Delta t$$

$$F_1=\frac{30}{3-1}=15\text{ N}$$

A partícula também sofre o peso vertical. Não há apoio indicado que o compense.

$$P=mg=2\cdot10=20\text{ N}$$

$$F_R=\sqrt{F_1^2+P^2}$$

$$F_R=\sqrt{15^2+20^2}=25\text{ N}$$

B. O impulso horizontal entre 3 e 7 s é a área do trapézio sob o gráfico.

$$\Delta p_x=I_x$$

$$\Delta p_x=\frac{15+20}{2}(7-3)$$

$$\Delta p_x=70\text{ N·s}$$

O peso não entra na variação da componente horizontal da quantidade de movimento, mas entra no módulo da resultante solicitado no primeiro item.

Pontuação indicada na fonte: A: 5 pontos; B: 5 pontos.

Q03

Termologia — Condução — Perfil de temperatura na barra

Uma barra cilíndrica reta metálica, homogênea, de comprimento $L$, com seção transversal $A$, isolada lateralmente a fim de evitar perda de calor para o ambiente, tem suas duas extremidades mantidas a temperaturas $T_1$ e $T_2$, $T_1>T_2$. Considere que o regime estacionário tenha sido atingido.

Escreva a expressão do fluxo de calor por condução, sabendo-se que esse fluxo é proporcional à área da seção transversal e à diferença de temperatura entre os extremos da região de interesse ao longo da direção do fluxo e inversamente proporcional à distância entre tais extremos.
Determine a temperatura de um ponto da barra localizado a uma distância $L/3$ da extremidade de maior temperatura em função de $T_1$ e $T_2$.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

A) $\Phi=KA(T_1-T_2)/L$.

B) $T=(2T_1+T_2)/3$.

Resolução

A. Introduzindo a condutividade térmica K, a taxa de transferência de calor é dada pela lei de Fourier para a barra homogênea.

$$\Phi=KA\frac{T_1-T_2}{L}$$

O fluxo é uma potência térmica, não a quantidade total de calor transferida.

B. No regime estacionário e sem perdas laterais, a mesma taxa atravessa qualquer seção. Comparamos a barra inteira com o trecho inicial de comprimento L/3.

$$KA\frac{T_1-T_2}{L}=KA\frac{T_1-T}{L/3}$$

$$T_1-T_2=3(T_1-T)$$

$$3T=2T_1+T_2$$

$$T=\frac{2T_1+T_2}{3}$$

A queda de temperatura corresponde a um terço da diferença total, pois a distância é medida a partir da extremidade quente.

Pontuação indicada na fonte: A: 4 pontos; B: 6 pontos.

Q04

Ondulatória — Efeito Doppler — Observador em movimento

Uma fonte fixa emite uma onda sonora de frequência $f$. Uma pessoa se move em direção à fonte sonora com velocidade $v_1$ e percebe a onda sonora com frequência $f_1$. Se essa mesma pessoa se afastasse da fonte com velocidade $v_2$, perceberia a onda sonora com frequência $f_2$. Considerando a velocidade do som no ar, $v_s=340\text{ m/s}$, e $v_1=v_2=20\text{ m/s}$, determine a razão $f_1/f_2$.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

$f_1/f_2=9/8=1{,}125$.

Resolução

A fonte está fixa em relação ao ar. O movimento da pessoa altera a taxa de encontro com as frentes de onda.

$$f_1=f\frac{v_s+v_1}{v_s}$$

$$f_2=f\frac{v_s-v_2}{v_s}$$

Dividimos as frequências percebidas para eliminar a frequência emitida.

$$\frac{f_1}{f_2}=\frac{v_s+v_1}{v_s-v_2}$$

$$\frac{f_1}{f_2}=\frac{340+20}{340-20}$$

$$\frac{f_1}{f_2}=\frac{360}{320}=\frac98$$

A razão maior que um é coerente com frequência mais alta na aproximação e mais baixa no afastamento.

Pontuação indicada na fonte: 10 pontos.

Q05

Eletricidade e mecânica — Lançamento — Limite do critério de 45°

Uma partícula de massa $m$ e carga positiva $q$, com velocidade horizontal $\vec v$ (módulo $v$), penetra numa região de comprimento $L$ (paralelo à velocidade inicial da partícula), na qual existe um campo elétrico vertical $\vec E$ (constante), conforme a figura abaixo. A aceleração da gravidade local é $\vec g$ (de módulo $g$, direção vertical e sentido para baixo). Na região onde o campo elétrico é não nulo (entre as linhas verticais tracejadas na figura abaixo), a força elétrica tem módulo maior que a força peso. Determine o módulo do campo elétrico para o qual a partícula apresenta o máximo alcance ao longo da linha horizontal localizada na altura em que ela deixa a região do campo elétrico. Despreze quaisquer efeitos de dissipação de energia (resistência do ar, atrito etc.).

Partícula positiva entra com velocidade horizontal v em uma região de largura L. O campo elétrico aponta para cima, a gravidade para baixo e o campo elétrico é nulo após a região.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

Análise TEF: com $v$, $L$, $m$ e $q$ fixos, não existe campo finito que maximize o alcance no modelo enunciado.

Resultado publicado no comentário: $E_{45}=\dfrac mq\left(g+\dfrac{v^2}{L}\right)$. Esse valor produz saída a 45°, mas não maximiza o alcance quando a velocidade horizontal é fixa.

Resolução

Ressalva editorial. O comentário fornecido usa o critério de 45°. Esse critério maximiza o alcance para um módulo fixo da velocidade de lançamento. Aqui, a componente horizontal é fixa, mas a vertical cresce com o campo.

O tempo dentro da região elétrica depende apenas do movimento horizontal.

$$t_E=\frac Lv$$

Com o campo para cima e qE maior que mg, a aceleração vertical é positiva.

$$a_y=\frac{qE}{m}-g$$

$$u_y=a_yt_E$$

$$u_y=\left(\frac{qE}{m}-g\right)\frac Lv$$

Após a saída, o tempo para voltar à altura de saída é:

$$t_{voo}=\frac{2u_y}{g}$$

O alcance horizontal, medido a partir da saída, fica:

$$R=vt_{voo}$$

$$R=\frac{2L}{g}\left(\frac{qE}{m}-g\right)$$

Logo, no modelo clássico apresentado, R cresce linearmente com E: não há máximo finito. Incluir o comprimento L no alcance total não muda essa conclusão.

Para reproduzir a condição de saída a 45° usada no comentário, impomos apenas a igualdade das componentes.

$$u_y=v$$

$$\left(\frac{qE_{45}}m-g\right)\frac Lv=v$$

$$E_{45}=\frac mq\left(g+\frac{v^2}{L}\right)$$

Esse é o valor publicado, com a ressalva de que a condição imposta não resolve a maximização pedida. O arquivo não informa anulação; a divergência é registrada como análise editorial TEF.

Pontuação indicada na fonte: 10 pontos no comentário da fonte; não há anulação informada.

Q06

Eletricidade — Capacitores — Comparação entre série e paralelo

Dois capacitores desconhecidos são ligados em série a uma bateria de força eletromotriz $\varepsilon$, de modo que a carga final de cada capacitor é $q$. Quando os mesmos capacitores são ligados em paralelo à mesma bateria, a carga total final da associação é $4q$. Determine as capacitâncias dos capacitores desconhecidos.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

$C_1=C_2=2q/\varepsilon$.

Resolução

Em série, os capacitores têm a mesma carga. A capacitância equivalente fornece:

$$\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac q\varepsilon$$

Em paralelo, a carga total é a soma das cargas dos dois capacitores.

$$C_1+C_2=\frac{4q}{\varepsilon}$$

Substituímos essa soma na relação da série.

$$C_1C_2=\frac{4q^2}{\varepsilon^2}$$

A diferença entre as capacitâncias pode ser obtida pela identidade algébrica:

$$ (C_1-C_2)^2=(C_1+C_2)^2-4C_1C_2$$

$$ (C_1-C_2)^2=0$$

Portanto, as capacitâncias são iguais. Usando a soma conhecida:

$$C_1=C_2=\frac{2q}{\varepsilon}$$

Em paralelo, cada capacitor recebe carga 2q; os 4q correspondem à associação inteira.

Pontuação indicada na fonte: 10 pontos.

Q07

Eletricidade e mecânica — Energia — Queda entre pontos simétricos

Na figura abaixo, é mostrada uma distribuição de três partículas carregadas (duas com carga positiva e uma com carga negativa) localizadas ao longo dos eixos perpendiculares de um dado sistema de referência. Todas as distâncias estão em unidades arbitrárias (u.a.). As cargas positivas, ambas iguais a $q$, estão fixas nas coordenadas $(x,y)$ iguais a $(4,0)$ e $(-4,0)$. A carga negativa, igual a $-q$, está localizada, inicialmente em repouso, no ponto A, cujas coordenadas são $(0,3)$. A aceleração da gravidade local é constante (módulo $g$) e aponta no sentido negativo do eixo y do sistema de referência, que está na vertical. Todas as partículas possuem a mesma massa $m$. A constante eletrostática no meio em que as partículas carregadas estão imersas é $K$.

Cargas positivas q em x = −4 e x = 4, y = 0. A carga negativa parte de A, em y = 3, e chega a P, em y = −3, no eixo vertical. Distâncias em unidades arbitrárias.

Determine o módulo da velocidade com que a partícula com carga negativa chega ao ponto P, localizado pelas coordenadas $(x,y)=(0,-3)$.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

$v=\sqrt{12g\ell}$, sendo $\ell$ o comprimento de uma unidade arbitrária. Na convenção numérica do comentário, $v=\sqrt{12g}$.

Resolução

Seja ℓ o comprimento correspondente a uma unidade arbitrária do desenho. Em A e P, a distância até cada carga fixa é a mesma.

$$r_A=r_P=\sqrt{4^2+3^2}\,\ell=5\ell$$

A energia potencial elétrica é igual nos dois extremos, embora varie durante o percurso.

$$U_e(A)=U_e(P)=-\frac{2Kq^2}{5\ell}$$

$$\Delta U_e=0$$

Por simetria, as componentes horizontais das forças elétricas se cancelam sobre o eixo y. A partícula desce de y = 3ℓ até y = −3ℓ.

$$\Delta h=6\ell$$

A conservação da energia mecânica permite cancelar as energias elétricas dos extremos.

$$\frac12mv^2=mg\cdot6\ell$$

$$v^2=12g\ell$$

$$v=\sqrt{12g\ell}$$

O comentário escreve √(12g), tomando implicitamente a unidade de comprimento do desenho. Explicitar ℓ mantém a expressão dimensionalmente consistente. Não é necessário afirmar que a força elétrica é nula: apenas seu trabalho líquido entre esses pontos é zero.

Pontuação indicada na fonte: 10 pontos.

Q08

Termologia — Calorimetria — Mistura e progressões geométricas

$N$ recipientes, $n_1,n_2,n_3,\ldots,n_N$, contêm, respectivamente, massas $m$ a uma temperatura $T$, $m/2$ a uma temperatura $T/2$, $m/4$ a uma temperatura $T/4$, ..., $m/2^{N-1}$ a uma temperatura $T/2^{N-1}$, de um mesmo líquido. Os líquidos dos $N$ recipientes são misturados, sem que haja perda de calor, atingindo uma temperatura final de equilíbrio $T_f$.

Determine $T_f$ em função do número de recipientes $N$.
Determine $T_f$ se o número de recipientes for infinito.

Resposta comentada TEF · UFC 2009 · 2ª Etapa

A — correção TEF da expressão finita) $T_f=\dfrac{2T}{3}(1+2^{-N})$.

B) $T_f\to2T/3$.

Resolução

A. No modelo de calor específico constante, a conservação de energia fornece uma média das temperaturas ponderada pelas massas.

$$\sum_{k=0}^{N-1}m_kc(T_f-T_k)=0$$

$$T_f=\frac{\sum_{k=0}^{N-1}m_kT_k}{\sum_{k=0}^{N-1}m_k}$$

Os produtos massa × temperatura formam uma PG de razão 1/4, enquanto as massas formam uma PG de razão 1/2.

$$T_f=T\frac{\sum_{k=0}^{N-1}4^{-k}}{\sum_{k=0}^{N-1}2^{-k}}$$

$$T_f=T\frac{(1-4^{-N})/(1-1/4)}{(1-2^{-N})/(1-1/2)}$$

$$T_f=\frac{2T}{3}\frac{1-4^{-N}}{1-2^{-N}}$$

Fatorando o numerador:

$$1-4^{-N}=(1-2^{-N})(1+2^{-N})$$

$$T_f=\frac{2T}{3}(1+2^{-N})$$

Ressalva editorial. O comentário impresso usa N−1 no expoente da fórmula de soma, o que omite um termo da PG. Para N termos iniciados em k = 0, a expressão correta usa N. O teste N = 1 retorna T, como deve ocorrer com um único recipiente.

B. No limite de infinitos recipientes, as duas séries convergem.

$$\lim_{N\to\infty}2^{-N}=0$$

$$\lim_{N\to\infty}T_f=\frac{2T}{3}$$

O limite coincide com o publicado. A hipótese de líquido sem mudança de fase e calor específico constante integra o modelo ideal da mistura, especialmente no limite formal de temperaturas sucessivamente menores.

Pontuação indicada na fonte: A: 5 pontos; B: 5 pontos.