UEMA PAES 2012 · 2ª etapa

Seja x a distância ao centro terrestre e d a separação dos astros:

$$\frac{81}{x^2}=\frac1{(d-x)^2}$$

$$x=9(d-x)$$

$$x=0{,}9d=3{,}42\times10^8\ \text{m}$$

$$d-x=3{,}8\times10^7\ \text{m}$$

O caderno chama essa condição de repouso relativo aos dois centros. O cálculo acima supõe centros fixos e somente o cancelamento dos campos. No sistema orbital real, o ponto de equilíbrio girante exige também o efeito do referencial; não coincide com esse ponto de campo nulo.

$$m_ag-T=m_aa$$

$$T-m_bg=m_ba$$

$$a=g\frac{m_a-m_b}{m_a+m_b}$$

Se o sistema parte do repouso e percorre a distância s em tempo t:

$$s=\frac12at^2$$

$$g=\frac{2s(m_a+m_b)}{t^2(m_a-m_b)}$$

A fórmula fica determinada ao fornecer s e as massas. Sem deslocamento ou outra informação cinemática não há expressão numérica de g apenas em função do tempo.

$$A=\pi\left(\frac{0{,}10}{\sqrt\pi}\right)^2=0{,}010\ \text{m}^2$$

$$\Delta V=0{,}010(0{,}25-0{,}20)=5\times10^{-4}\ \text{m}^3$$

$$W=p\Delta V=150\ \text{J}$$

$$\Delta U=Q-W=80000-150=79850\ \text{J}$$

$$\mu=\frac{0{,}80}{0{,}50}=1{,}6\ \text{kg/m}$$

$$v=\sqrt{T/\mu}=1\ \text{m/s}$$

$$\lambda=\frac15=0{,}20\ \text{m}$$

$$n=\frac{2L}{\lambda}=5$$

São cinco ventres e seis nós, contando os dois extremos fixos.

$$n=\frac cv$$

$$n=\frac{3{,}00\times10^8}{1{,}20\times10^8}=2{,}50$$

$$P=500+2\cdot25+80+3000+300=3930\ \text{W}$$

$$i=\frac{3930}{220}\approx17{,}86\ \text{A}$$

Esse é o valor nominal com todos os aparelhos em operação no modelo P=Ui. A escolha de proteção não se reduz a arredondar a corrente: depende dos condutores e das condições do circuito.

$$a=\frac emE=1{,}76\times10^{16}\ \text{m/s}^2$$

A aceleração aponta em sentido oposto ao campo elétrico, devido à carga negativa.

$$v=\sqrt{2a\Delta s}$$

$$v=\sqrt{2\cdot1{,}76\times10^{16}\cdot8{,}8\times10^{-3}}$$

$$v=1{,}76\times10^7\ \text{m/s}$$

$$r=\frac{v}{(e/m)B}=0{,}010\ \text{m}$$

No segundo campo, a trajetória é circular uniforme, de raio 1,0 cm, pois a velocidade de entrada é perpendicular ao campo magnético.

$$\rho_{agua}Vg=(M+60)g$$

$$V=\frac M{\rho_{prancha}}$$

$$\frac{1000}{400}M=M+60$$

$$M=40\ \text{kg}$$

Quarenta quilogramas é o limite ideal com a prancha inteiramente imersa até sua face superior. Para uma folga positiva acima da água, a massa deve ser um pouco maior.