1999.2CE — FMTM 1999.2 · CE — Física

(A) A rampa tem desnível de 6 m e base de 8 m, logo seu comprimento é √(6² + 8²) = 10 m. Como não há deslizamento, os cubos se movem com a esteira, e as distâncias entre eles, medidas ao longo dela, não mudam.

Observe o cubo 3. Inicialmente, está a 1 m do início da rampa. Após 4 s, está no trecho superior, a 5 m do cubo 2, que está no topo da rampa. Logo, ele percorreu:

\[\Delta s=1+10+5=16\,\mathrm{m}\]

\[v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{16}{4}=4\,\mathrm{m/s}\]

(B) A partir de t = 0, a esteira e os cubos têm velocidade constante, de modo que a energia cinética não varia. Sem perdas, o trabalho do motor nos 4 s é o ganho de energia potencial gravitacional dos cubos.

• Cubo 3: sobe 6 m, ΔE_p = 2 · 10 · 6 = 120 J.

• Cubo 2: também sobe 6 m, ΔE_p = 120 J.

• Cubo 1: está a 5 m do topo ao longo da rampa de 10 m (que sobe 6 m), ou seja, a 3 m de altura, ΔE_p = 2 · 10 · 3 = 60 J.

\[W=120+120+60=300\,\mathrm{J}\]

\[P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{300}{4}=75\,\mathrm{W}\]

(A) Sem perdas, a energia se conserva na descida:

\[mgh=\frac{mv_B^2}{2}\Rightarrow v_B=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\,\mathrm{m/s}\]

No trecho horizontal BC, a velocidade é constante:

\[t_{BC}=\frac{10}{10}=1{,}0\,\mathrm{s}\]

O tempo de descida de A até B depende do perfil da canaleta, que o enunciado não fornece. Pela figura, a canaleta parte da vertical em A e termina na horizontal em B, como um quarto de circunferência de raio 5 m. Nesse caso, o tempo de descida é um quarto do período de um pêndulo de 5 m com amplitude de 90°:

\[t_{AB}=\sqrt{\frac{R}{g}}\cdot K\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right)=\sqrt{0{,}5}\cdot1{,}854\approx1{,}3\,\mathrm{s}\]

\[t_{AC}=t_{AB}+t_{BC}\approx1{,}3+1{,}0=2{,}3\,\mathrm{s}\]

(B) Na compressão máxima, toda a energia cinética da bolinha (ou, o que é o mesmo, a energia potencial inicial) vira energia elástica:

\[mgh=\frac{k\,x^2}{2}\Rightarrow50=\frac{10^{4}\,x^2}{2}\Rightarrow x^2=10^{-2}\Rightarrow x=0{,}10\,\mathrm{m}=10\,\mathrm{cm}\]

(A) Sem água: o raio paralelo ao eixo se reflete e passa pelo foco F, a 2 m do vértice.

Com água: o raio incide perpendicularmente à superfície livre e não sofre desvio ao entrar na água. Reflete-se no espelho, e o raio refletido, dentro da água, caminha em direção a F. Ao emergir, passa da água para o ar (meio menos refringente), afastando-se da normal. O raio emergente é mais inclinado que o refletido e cruza o eixo mais perto do espelho que F, num ponto F′.

(B) Seja h a altura de incidência (raio próximo do eixo) e α o ângulo do raio refletido, dentro da água, com o eixo (a normal à superfície). Como a camada é muito fina, o raio refletido na água aponta para F:

\[\tan\alpha\approx\alpha=\frac{h}{f}\]

Na emergência, pela lei de Snell, com ângulos pequenos:

\[n_{\acute{a}gua}\,\alpha=n_{ar}\,\theta\Rightarrow\theta=\frac{4}{3}\,\alpha=\frac{4}{3}\,\frac{h}{f}\]

O raio emergente cruza o eixo a uma distância:

\[f'=\frac{h}{\theta}=\frac{3}{4}\,f=\frac{3}{4}\cdot2=1{,}5\,\mathrm{m}\]

(A) Para o resistor R₁, com 9 V e 27 W:

\[P=\frac{V^2}{R_1}\Rightarrow R_1=\frac{9^2}{27}=3\,\Omega\]

No triângulo, entre o vértice superior e o fio de retorno, há dois caminhos: o resistor de 2 Ω, e os resistores de 1 Ω e 1 Ω em série (2 Ω). Em paralelo, 2 Ω e 2 Ω resultam em 1 Ω. Esse 1 Ω fica em série com R, e o conjunto (R + 1) fica em paralelo com o resistor de 1 Ω:

\[R_p=\frac{1\cdot(R+1)}{1+(R+1)}=\frac{R+1}{R+2}\]

A relação U/i é a resistência equivalente do circuito todo, igual a 11/3 Ω, com R₁ em série com R_p:

\[3+\frac{R+1}{R+2}=\frac{11}{3}\Rightarrow\frac{R+1}{R+2}=\frac{2}{3}\Rightarrow3R+3=2R+4\Rightarrow R=1\,\Omega\]

(B) A potência fornecida pelo gerador é a dissipada na resistência equivalente:

\[P=R_{eq}\,i^2=\frac{11}{3}\cdot3^2=33\,\mathrm{W}\]

Conferindo: com i = 3 A, R₁ dissipa 3 · 3² = 27 W, de acordo com a característica de R₁.

(A) A placa de cima é positiva e a de baixo é negativa, então o campo elétrico aponta para baixo. Sobre a esfera, positiva, atuam o peso (para baixo), a força elétrica qE (também para baixo) e a tração (para cima). Com m = 2 g = 2 × 10⁻³ kg:

\[P=mg=2\times10^{-3}\cdot10=2\times10^{-2}\,\mathrm{N}\]

No equilíbrio:

\[T=P+qE\Rightarrow qE=4\times10^{-2}-2\times10^{-2}=2\times10^{-2}\,\mathrm{N}\]

\[E=\frac{2\times10^{-2}}{2\times10^{-6}}=1\times10^{4}\,\mathrm{N/C}\]

\[U=E\,d=10^{4}\cdot0{,}10=1{,}0\times10^{3}\,\mathrm{V}\]

(B) Com carga negativa, a força elétrica tem o mesmo módulo, 2 × 10⁻² N, mas aponta para cima. Então:

\[T+qE=P\Rightarrow T=2\times10^{-2}-2\times10^{-2}=0\]

A tração se anularia: a força elétrica equilibraria sozinha o peso, e o fio ficaria frouxo.