Vestibular UFV 2006 · Discursivas — Física com resolução

Ondulatória — Oscilações

Uma impressora de computador, do tipo matricial, desloca o formulário contínuo a uma velocidade constante. Concomitantemente ao movimento do formulário, uma caneta oscila, com freqüência constante, perpendicularmente à direção do movimento do papel. A figura 1 ilustra as direções dos movimentos do papel e da caneta, enquanto a figura 2 apresenta o registro feito pela ponta da caneta em uma das folhas do formulário, graduada em centímetros.

Figura 1: a folha desloca-se para a direita e a ponta da caneta oscila na vertical. Figura 2: registro senoidal na folha, graduada em cm, com dois ciclos completos entre 0 e 28 cm, com valores entre 0 e 20 cm.

Sabendo-se que a folha movimenta-se a uma velocidade de 7,0 cm/s, faça o que se pede:

a) Denomine o movimento descrito pela caneta.
b) Determine a amplitude e o período de oscilação da caneta.
c) Determine as freqüências linear e angular do movimento da caneta.

Resolução

a) A caneta descreve um movimento harmônico simples (MHS): o traçado é uma senóide em função da posição no papel, e a posição no papel é proporcional ao tempo.

b) A amplitude é a distância do centro do traçado ao extremo: o traçado vai de 0 a 20 cm e está centrado em 10 cm, e então $A=10$ cm. No papel, uma oscilação completa ocupa 14 cm (dois ciclos em 28 cm), e com a folha a $v=7{,}0$ cm/s, $T=\dfrac{14}{7{,}0}=2{,}0$ s.

c) A frequência linear é $f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2{,}0}=0{,}50$ Hz, e a frequência angular é $\omega=2\pi f=\pi\approx3{,}14$ rad/s.

Mecânica — Estática

A figura abaixo ilustra uma barra homogênea, de espessura constante, articulada em um eixo perpendicular ao plano do papel e que passa pelo ponto O. Essa barra é subdividida em oito partes iguais, cada uma de comprimento L.

Barra de oito partes iguais, de comprimento L cada, com eixo em O (a três partes da extremidade esquerda); m1 suspensa a duas partes à esquerda de O e m2 a duas partes à direita de O.

Sabendo-se que a localização das massas, m₁ = 10 M e m₂ = 4 M, como ilustrado, resulta numa situação de repouso rotacional da barra, faça o que se pede:

a) Represente e nomeie, em uma figura da barra, as forças que atuam sobre ela nesta situação de equilíbrio.
b) Tendo como referência o ponto O da figura, determine o módulo do torque exercido sobre a barra, decorrente da suspensão da massa m₁. Expresse o resultado em termos de M, L e da aceleração da gravidade g.
c) A partir da condição de equilíbrio de rotação, determine o módulo do peso da barra. Expresse o resultado em termos de M e g.

Resolução

a) Atuam na barra: o peso $\vec P$ da própria barra, aplicado no seu centro; as trações $\vec T_1$ e $\vec T_2$ dos fios que sustentam $m_1$ e $m_2$, para baixo, de módulos $10Mg$ e $4Mg$; e a reação $\vec N$ do eixo em O, para cima.

Barra dividida em oito partes, com o eixo em O. Setas: T1 = 10Mg para baixo à esquerda de O, P = 12Mg para baixo à direita de O, T2 = 4Mg para baixo mais à direita e N = 26Mg para cima em O.

b) Pela figura, O está a $3L$ da extremidade esquerda e $m_1$ está a $1L$ dela, de modo que a distância de $m_1$ até O é $2L$. A tração do fio é $10Mg$, e o torque de $m_1$ é $\tau_1=10Mg\cdot2L=20\,MgL$.

c) O centro da barra (a $4L$ da extremidade esquerda) está a $L$ à direita de O, e $m_2$ está a $2L$ à direita de O. Os torques de $m_2$ e do peso da barra, à direita, equilibram o de $m_1$, à esquerda: $20\,MgL=4Mg\cdot2L+P\cdot L$.

Então $P\,L=20\,MgL-8\,MgL=12\,MgL$, e o peso da barra vale $P=12\,Mg$. (Daí, a reação do eixo é $N=12Mg+10Mg+4Mg=26Mg$.)

Termologia — Calorimetria

Um calorímetro de capacidade térmica desprezível contém uma massa m₁ = 610 g de água à temperatura inicial T_i = 60 ºC. É, então, inserida no interior do calorímetro uma massa m₂ = 100 g de gelo a uma temperatura inferior à de fusão. Após algum tempo, durante o qual só ocorreram trocas de calor entre a água e o gelo, foi atingida a temperatura final de equilíbrio térmico T_e = 40 ºC. A tabela abaixo apresenta algumas propriedades da água e do gelo, bem como outros dados importantes.

Massa inicial de água (m₁)	610 g
Calor específico da água líquida (c_a)	1,0 cal/g ºC
Massa de gelo (m₂)	100 g
Temperatura inicial da água (T_i)	60 ºC
Calor específico do gelo (c_g)	0,5 cal/g ºC
Temperatura de fusão do gelo (T_fusão)	0 ºC
Calor latente de fusão do gelo (L_f)	80 cal/g
Temperatura de equilíbrio (T_e)	40 ºC

A partir dessas informações, faça o que se pede:

a) Esboce, em um gráfico, a variação da temperatura da massa m₂ (inicialmente 100 g de gelo) em função do tempo, até ser atingido o equilíbrio térmico.
b) Determine a quantidade de calor cedida pela massa m₁ (610 g de água) durante todo o processo.
c) Determine a temperatura inicial do gelo.

Resolução

a) A temperatura do gelo sobe de $T_g$ até 0 °C, fica constante em 0 °C durante a fusão e, depois, a água formada sobe de 0 °C até 40 °C, valor em que fica estável no equilíbrio. O esboço é mostrado abaixo (o valor de $T_g$ é calculado no item c).

Gráfico da temperatura de m2 em função do tempo: reta crescente de −4 °C até 0 °C, patamar em 0 °C, reta crescente até 40 °C e patamar em 40 °C.

b) A água cede calor ao esfriar de 60 °C a 40 °C: $Q_{cedido}=m_1\,c_a\,(T_i-T_e)=610\cdot1{,}0\cdot20=12\,200$ cal.

c) O calor recebido pela massa $m_2$ é a soma de três parcelas: $Q_1=m_2\,c_g\,(0-T_g)=100\cdot0{,}5\cdot(-T_g)=-50\,T_g$; $Q_2=m_2\,L_f=100\cdot80=8\,000$ cal; e $Q_3=m_2\,c_a\,(40-0)=100\cdot1{,}0\cdot40=4\,000$ cal.

Como só há trocas entre a água e o gelo, $Q_1+Q_2+Q_3=12\,200$, e então $-50\,T_g+12\,000=12\,200$, de modo que $T_g=-4$ °C.

Eletromagnetismo — Força magnética

Uma partícula de massa M e carga elétrica negativa – Q é lançada, no vácuo, com velocidade $\vec v$, paralela às placas de um capacitor plano como ilustrado na figura abaixo.

Capacitor plano com placa superior positiva e inferior negativa; a partícula −Q, M entra pela esquerda com velocidade v. Ao lado, os eixos: x para a direita, y para cima e z saindo da página.

Desprezando-se os efeitos de borda e a ação da força gravitacional, faça o que se pede:

a) Ilustre, na figura acima, a trajetória da partícula, após entrar na região entre as placas.
b) Complete qual deve ser a direção e o sentido de um campo magnético, aplicado na região entre as placas, para que a partícula siga uma trajetória retilínea. Utilize na sua resposta o sistema de eixos mostrado na figura.
c) Sabendo que o módulo do campo elétrico na região entre as duas placas é E, calcule o módulo do campo magnético necessário para que a trajetória seja retilínea.

Resolução

a) O campo elétrico entre as placas aponta da placa positiva (em cima) para a negativa (embaixo). Como a carga é negativa, a força elétrica tem sentido oposto ao do campo, para cima. A partícula é desviada para a placa positiva, com trajetória parabólica (aceleração vertical constante e velocidade horizontal constante).

Partícula −Q entra entre as placas, a placa de cima positiva e a de baixo negativa, e descreve uma curva para cima, em direção à placa positiva.

b) Para a trajetória ser retilínea, a força magnética precisa ser para baixo ($-y$). Para uma carga negativa que se move em $+x$, a regra da mão direita, aplicada a uma carga positiva e invertida, dá $\vec B$ no eixo $z$, com o sentido de $-z$, isto é, entrando na página. Direção do eixo: z; sentido: negativo (para dentro da página).

c) Em módulo, as forças se equilibram: $QE=QvB$, e então $B=\dfrac{E}{v}$.

Q10

Mecânica — Hidrostática

Uma sonda submarina com forma cilíndrica e massa M, presa a um cabo de aço, submerge com velocidade constante. Conforme mostra a figura abaixo, H, A e X são, respectivamente, a altura da sonda, a área da sua base e a distância entre a sua base e a superfície da água.

Sonda cilíndrica de altura H e área da base A, presa por um cabo, com a base a uma distância X abaixo da superfície da água.

a) Na figura acima, ilustre e nomeie as forças que atuam na sonda.
b) À medida que a sonda entra na água, a tensão no cabo T varia. Expresse T como função de X, da densidade da água ρ, da área da base da sonda A, da massa da sonda M e da aceleração da gravidade no local g, em cada uma das situações: X < H e X > H.
c) Esboce, em um gráfico, a dependência da tensão no cabo T com X, à medida que a sonda afunda.

Resolução

a) Atuam na sonda: o peso $\vec P$ (de módulo $Mg$), para baixo; a tração $\vec T$ do cabo, para cima; e o empuxo $\vec E$ da água, para cima.

Sonda cilíndrica parcialmente imersa, com a tração T para cima, o empuxo E para cima e o peso P para baixo.

b) A velocidade é constante, e a resultante é nula: $T+E=Mg$, ou seja, $T=Mg-E$. Para $XH$, a sonda está totalmente imersa, o volume imerso é $A\,H$, e $E=\rho\,g\,A\,H$, constante, de modo que $T=Mg-\rho\,g\,A\,H$.

c) A tração começa em $Mg$ (para $X=0$), diminui linearmente até $Mg-\rho gAH$ em $X=H$ e permanece constante depois disso.

Gráfico T × X: reta decrescente de Mg, em X = 0, até Mg − ρgAH, em X = H, e depois um trecho horizontal.