Provas Anteriores | UFF 2007 — 2ª etapa

Mecânica — Trabalho e energia — Teorema da energia cinética em fotografia estroboscópica

A figura abaixo exibe uma fotografia estroboscópica (de exposição múltipla) do movimento de um disco com \(2{,}0\,\mathrm{kg}\) de massa sendo puxado por uma força constante sobre uma mesa. O intervalo de tempo entre duas fotos consecutivas é \(1/10\,\mathrm{s}\). A régua é graduada em centímetros.

Fotografia estroboscópica do disco, com régua e intervalos numerados

a) Determine a velocidade média do disco nos intervalos 1 e 4 assinalados na figura.

b) A velocidade instantânea no ponto médio de cada intervalo pode ser estimada pela velocidade média no intervalo. Use esta aproximação para estimar a força resultante sobre o disco.

c) Calcule o trabalho realizado pela resultante entre os pontos médios dos intervalos 1 e 4 da figura e mostre que os resultados desta experiência são consistentes com o teorema do trabalho-energia.

a) \(1{,}3\) e \(1{,}9\,\mathrm{m/s}\). b) \(4{,}0\,\mathrm N\). c) \(W\approx\Delta E_c\approx1{,}9\,\mathrm J\).

Resolução comentada

a) Na régua, o disco vai de \(39{,}5\) a \(52{,}5\,\mathrm{cm}\) no intervalo 1 e de \(84\) a \(103\,\mathrm{cm}\) no intervalo 4. Dividindo os deslocamentos de \(0{,}13\) e \(0{,}19\,\mathrm m\) por \(0{,}10\,\mathrm s\), obtemos \(1{,}3\) e \(1{,}9\,\mathrm{m/s}\).

b) Entre os instantes centrais dos intervalos 1 e 4 decorrem \(3(0{,}10)=0{,}30\,\mathrm s\). Usando as velocidades médias como estimativas nesses instantes, \(a=(1{,}9-1{,}3)/0{,}30=2{,}0\,\mathrm{m/s^2}\). Pela segunda lei de Newton, \(F=ma=4{,}0\,\mathrm N\).

c) Os pontos médios ficam aproximadamente em \(46\) e \(94\,\mathrm{cm}\). A resultante atua na direção do deslocamento, então \(W=F\Delta x\approx4{,}0\cdot0{,}48=1{,}92\,\mathrm J\). A energia cinética varia de acordo com \(\Delta E_c=\frac{2{,}0}{2}(1{,}9^2-1{,}3^2)=1{,}92\,\mathrm J\), de acordo com o teorema.

Resposta: a) \(1{,}3\) e \(1{,}9\,\mathrm{m/s}\). b) \(4{,}0\,\mathrm N\). c) \(W\approx\Delta E_c\approx1{,}9\,\mathrm J\).

Termologia — Termodinâmica — Trabalho isobárico, potência e rendimento de um motor

O rendimento, ou eficiência térmica, de um motor a combustão é definido como a razão entre o trabalho realizado pelo motor e a energia fornecida pela queima de combustível. Em cada ciclo de operação do motor, o trabalho realizado pode ser calculado, com boa aproximação, como numa expansão isobárica de um gás no interior de um cilindro do motor.

Considere o motor a combustão de um automóvel no qual a expansão isobárica acima mencionada produza um aumento de \(1{,}6\,\mathrm L\) no volume do gás constituído pela mistura ar-gasolina.

Dados: \(1\,\mathrm{atm}=1{,}0\times10^5\,\mathrm{N/m^2}\) e \(1\,\mathrm{cal}=4{,}2\,\mathrm J\).

a) Calcule o trabalho realizado pelo motor em cada ciclo de operação, sabendo que a pressão média durante a expansão é de \(8\,\mathrm{atm}\).

b) Diz-se que um motor tem uma rotação de \(3500\,\mathrm{rpm}\), se realiza 3500 ciclos de operação por minuto. Calcule a potência do motor de \(1{,}6\,\mathrm L\) a esta rotação.

c) Nesta rotação, o motor consome \(6{,}0\,\mathrm{g/s}\) de gasolina. Sabendo-se que a energia gerada pela combustão da gasolina é de \(11{,}1\,\mathrm{kcal/g}\), determine o rendimento do motor. Exprima sua resposta em forma percentual.

a) \(1{,}28\,\mathrm{kJ}\). b) Aproximadamente \(75\,\mathrm{kW}\). c) Aproximadamente \(27\%\).

Resolução comentada

a) Como a pressão é constante, o trabalho do gás é \(W=p\Delta V\). Em unidades do SI, \(W=(8{,}0\times10^5)(1{,}6\times10^{-3})=1280\,\mathrm J\) por ciclo.

b) A taxa de ciclos é \(3500/60\,\mathrm{s^{-1}}\). Multiplicando pelo trabalho de cada ciclo, \(P=W(3500/60)\approx7{,}47\times10^4\,\mathrm W\). O gabarito arredonda o trabalho antes dessa multiplicação e obtém \(7{,}6\times10^4\,\mathrm W\).

c) A energia química entregue por segundo é \(P_{\rm comb}=6{,}0\cdot11{,}1\cdot4200\approx2{,}80\times10^5\,\mathrm W\). Na mesma unidade, a razão entre a potência útil e a fornecida é \(\eta=P/P_{\rm comb}\approx0{,}27\), ou \(27\%\).

Resposta: a) \(1{,}28\,\mathrm{kJ}\). b) Aproximadamente \(75\,\mathrm{kW}\). c) Aproximadamente \(27\%\).

Eletricidade — Eletrodinâmica — Força eletromotriz e resistência interna pela curva tensão–corrente

Um eletricista compra uma bateria usada e decide medir a resistência interna \(r\) da mesma através da curva \(V\times i\) — diferença de potencial nos terminais da bateria em função da corrente elétrica que a atravessa.

Para construir essa curva, ele conecta os terminais da bateria aos de um resistor de resistência variável. A tabela abaixo exibe os valores de \(V\) e \(i\), medidos com voltímetro e amperímetro, que podem ser considerados ideais, para diferentes valores de resistência do resistor.

Tensão em volts: 2,0; 4,0; 6,0; 8,0; 10,0; 12,0. Corrente em ampères: 6,0; 5,0; 3,8; 2,6; 1,6; 0,5.

Abaixo estão representados os elementos que fazem parte do circuito utilizado na obtenção da tabela.

Bateria, resistor variável, amperímetro e voltímetro

Mudando a posição do contato móvel é possível variar o comprimento do resistor e, conseqüentemente, da sua resistência desde 0 até \(R\).

a) Reproduza o circuito utilizado pelo eletricista, conectando os elementos que estão representados no espaço destinado à resposta.

b) Construa o gráfico \(V\times i\) com os valores da tabela, no reticulado fornecido no espaço destinado à resposta. Indique com clareza a escala utilizada em cada eixo coordenado.

c) Determine, através do gráfico do item (b), a resistência interna \(r\) da bateria.

d) Após desfazer o circuito utilizado na obtenção da tabela acima, o eletricista conecta apenas o voltímetro à bateria. Informe qual será a leitura do voltímetro.

a) Amperímetro em série e voltímetro em paralelo com a bateria. b) Reta decrescente no gráfico \(V\times i\). c) \(r\approx1{,}8\,\Omega\). d) Aproximadamente \(13\,\mathrm V\).

Resolução comentada

a) Ligue o amperímetro, a bateria e o trecho do resistor variável entre o cursor e um terminal em série. A corrente do ramo passa pelo amperímetro. Ligue o voltímetro diretamente aos terminais da bateria para medir sua tensão.

Ligação oficial, com o amperímetro em série e o voltímetro em paralelo com a bateria

b) Marque \(i\) em ampères no eixo horizontal e \(V\) em volts no eixo vertical. Os pontos ficam próximos de uma reta decrescente, como prevê o modelo \(V=\varepsilon-ri\).

Gráfico oficial da tensão em função da corrente, com reta de ajuste

c) Entre \(i=0{,}5\,\mathrm A\) e \(5{,}0\,\mathrm A\), a tensão cai de \(12{,}0\) para \(4{,}0\,\mathrm V\). O módulo da inclinação é \(r\approx8{,}0/4{,}5=1{,}8\,\Omega\).

d) O voltímetro ideal sozinho praticamente deixa o circuito aberto, com \(i=0\). A leitura é a ordenada na origem do gráfico, \(\varepsilon\approx13\,\mathrm V\).

Resposta: a) Amperímetro em série e voltímetro em paralelo com a bateria. b) Reta decrescente no gráfico \(V\times i\). c) \(r\approx1{,}8\,\Omega\). d) Aproximadamente \(13\,\mathrm V\).

Mecânica — Gravitação — Terceira lei de Kepler e massa de Júpiter

Em 1610 Galileu descobriu quatro luas de Júpiter, denominadas Io, Europa, Ganimedes e Calisto. Do seu ângulo de visão, ele observou que elas deslocavam-se, periodicamente, de um lado para outro em relação ao centro do planeta, e concluiu que as luas moviam-se, aproximadamente, em órbitas circulares ao redor de Júpiter. Conhecendo a distância da Terra a Júpiter é possível medir o deslocamento lateral \(x(t)\) de cada lua em função do tempo. O gráfico representa medidas feitas para a lua Ganimedes.

Posições projetadas de Io, Europa, Ganimedes e Calisto em relação a Júpiter

Deslocamento lateral de Ganimedes em quilômetros ao longo de dias terrestres

a) Determine a velocidade angular de rotação da lua Ganimedes ao redor de Júpiter.

b) Considere que cada lua de Júpiter se move em movimento circular em torno do planeta, sob ação exclusiva da atração gravitacional exercida por este. Demonstre, desta forma, que a razão \(R^3/T^2\) entre o cubo do raio \(R\) da órbita de uma lua de Júpiter e o quadrado de seu período \(T\) depende apenas da massa do planeta e de constantes universais. Essa razão é, portanto, a mesma para qualquer uma das luas, resultado conhecido como a 3ª lei de Kepler.

c) Medidas experimentais feitas pelo físico inglês Henry Cavendish em 1797 permitiram a primeira estimativa do valor da constante universal da gravitação \(G\). Use as informações do gráfico acima e o valor experimental de \(G\) para estimar a massa de Júpiter.

Dado: \(G=6{,}7\times10^{-11}\,\mathrm{N\,m^2/kg^2}\).

a) \(\omega\approx1{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}\). b) \(R^3/T^2=GM_J/(4\pi^2)\). c) \(M_J\approx2{,}1\times10^{27}\,\mathrm{kg}\).

Resolução comentada

a) O intervalo entre máximos consecutivos do deslocamento lateral é o período orbital, cerca de \(7{,}2\) dias, ou \(6{,}22\times10^5\,\mathrm s\). Uma volta corresponde a \(2\pi\) radianos, então \(\omega=2\pi/T\approx1{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}\).

b) A gravidade fornece a aceleração centrípeta. Igualando \(GM_Jm/R^2=m\omega^2R\) e substituindo \(\omega=2\pi/T\), obtemos \(R^3/T^2=GM_J/(4\pi^2)\). A massa da lua se cancela.

c) O maior afastamento lateral no gráfico estima o raio orbital, \(R\approx1{,}1\times10^6\,\mathrm{km}=1{,}1\times10^9\,\mathrm m\). Assim, \(M_J=\omega^2R^3/G\approx2{,}0\times10^{27}\,\mathrm{kg}\), compatível com a estimativa oficial de \(2{,}1\times10^{27}\,\mathrm{kg}\) dada a leitura do gráfico.

Resposta: a) \(\omega\approx1{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}\). b) \(R^3/T^2=GM_J/(4\pi^2)\). c) \(M_J\approx2{,}1\times10^{27}\,\mathrm{kg}\).

Óptica — Refração — Lei de Snell em bloco semicircular e lâmina de faces paralelas

As leis de reflexão e refração podem ser verificadas através do experimento indicado na figura abaixo, onde um feixe estreito de luz monocromática, proveniente do ar, incide sobre a face plana de um bloco de vidro cuja seção reta é um semicírculo. O semicírculo é concêntrico com o transferidor, e a normal à face plana do semicírculo passa pelo zero da escala do transferidor.

Feixe passando do ar para o vidro semicircular sobre transferidor

a) Fazendo uso da tabela abaixo faça uma estimativa do índice de refração do vidro.

Seno de 30 graus: 0,50. De 35: 0,57. De 55: 0,82. De 60: 0,87.

b) Observe que o feixe de luz incidente na face curva do bloco não desvia ao passar do vidro para o ar. Explique por que isso ocorre.

c) Suponha que o bloco do experimento fosse substituído por outro de faces paralelas, feito do mesmo material. Desenhe na figura que se encontra no espaço reservado para resposta, a trajetória do feixe nessa nova situação.

a) \(n\approx1{,}5\). b) Incidência normal na face curva. c) Raio emergente paralelo ao incidente, com deslocamento lateral.

Resolução comentada

a) Meça os ângulos em relação à normal: a incidência é de \(60^\circ\) e a refração de \(35^\circ\). Aplicando \(n_{\rm ar}\sin60^\circ=n_{\rm vidro}\sin35^\circ\), com \(n_{\rm ar}\approx1\), obtemos \(n_{\rm vidro}\approx0{,}87/0{,}57\approx1{,}5\).

b) O feixe no vidro segue do centro do semicírculo até a face curva, ao longo de um raio geométrico. Essa direção coincide com a normal à superfície no ponto de saída. Pela lei de Snell, ângulo de incidência nulo implica ângulo refratado nulo.

c) Ao entrar na lâmina, o raio aproxima-se da normal, formando \(35^\circ\). As duas normais são paralelas, então esse é também o ângulo de incidência na saída. De volta ao ar, o raio forma \(60^\circ\) com a normal. Os segmentos de entrada e saída são paralelos, com deslocamento lateral.

Traçado oficial da refração através do bloco de faces paralelas

Resposta: a) \(n\approx1{,}5\). b) Incidência normal na face curva. c) Raio emergente paralelo ao incidente, com deslocamento lateral.

UFF | 2007 · 2ª etapa

Dados da prova