Um estudo recente feito por pesquisadores do Caltech(1) mostrou que, desde o início do século XXI, o volume de gelo acumulado no oceano Ártico durante o inverno diminuiu em cerca de 6000 km³, redução em grande parte impulsionada pela mudança na espessura do gelo, passando de um padrão denominado "plurianual" para outro padrão conhecido como "gelo marinho sazonal".
Segundo os autores do estudo, o gelo mais antigo e plurianual tende a ser mais espesso e, portanto, seu derretimento é mais demorado. À medida que esse "reservatório" de gelo "antigo" marinho do Ártico se esgota e o gelo sazonal passa a predominar, espera-se que a espessura e o volume globais do gelo marinho do Ártico diminuam.
a) Estime, em kg, o acréscimo na massa de água no oceano devido ao degelo no Ártico desde o início do século XXI.
b) Sabendo que a área do oceano Ártico é de aproximadamente $1{,}5\times10^7\text{km}^2$, se todo esse gelo perdido formasse uma camada sobre a superfície desse oceano, qual seria a espessura dessa camada?
c) Estime a mínima quantidade de energia (em joules) para derreter completamente uma tonelada de gelo inicialmente a uma temperatura de −20°C.
(1) Sahra Kacimi et al., “Arctic snow depth, ice thickness and volume from ICESat-2 and CryoSat-2: 2018–2021”, Geophysical Research Letters (2022). DOI: 10.1029/2021GL097448.
a) $\Delta V=6000\text{km}^3=6000\times10^9\text{m}^3=6\times10^{18}\text{cm}^3$. Massa de gelo perdida (que vira água): $\Delta m=\rho\Delta V=0{,}92\times6\times10^{18}=5{,}52\times10^{18}\text{g}=5{,}52\times10^{15}\text{kg}$.
b) Espessura $=\dfrac{\Delta V}{A}=\dfrac{6000\text{km}^3}{1{,}5\times10^7\text{km}^2}=4\times10^{-4}\text{km}=0{,}4\text{m}=40\text{cm}$.
c) Para derreter 1 tonelada ($1000\text{kg}$) de gelo a $-20°\text{C}$: primeiro aquece até $0°\text{C}$, depois funde. $Q_1=mc\Delta T=1000\times2\times10^3\times20=4\times10^7\text{J}$. $Q_2=mL=1000\times3\times10^5=3\times10^8\text{J}$. Energia total mínima: $Q=Q_1+Q_2=4\times10^7+3\times10^8=3{,}4\times10^8\text{J}$.
(1) Sahra Kacimi et al., "Arctic snow depth, ice thickness and volume from ICESat-2 and CryoSat-2: 2018-2021", Geophysical Research Letters (2022).
No manual de instalação de um filtro de torneira, consta a seguinte mensagem:
Dica: Caso não saiba qual a pressão no ponto de uso do filtro, meça o tempo para encher com água um copo de 240 mL. Se o tempo for menor que 6 segundos, recomenda-se encaixar o redutor de vazão na base do filtro.
a) Calcule a força sobre um tampão de vedação colocado na ponta de um cano de 40 mm de diâmetro se a pressão da água no interior do cano neste local é de 100 kPa.
b) Considere que uma torneira esteja instalada no 4º andar de um prédio de 12 andares (ponto B) e esteja conectada a uma caixa d'água localizada na laje desse prédio (ponto A), conforme mostra a figura. Calcule a distância vertical $h$ e a diferença de pressão entre os pontos B e A.
c) Para um filtro instalado em um apartamento de outro andar (sem o redutor de vazão), verifica-se que o tempo para encher um copo de 240 mL é de 5 s. Dado que o diâmetro da saída do filtro é de 4 mm, calcule a velocidade da água na saída do filtro (em m/s).
Considere a água como um fluido ideal com densidade de $1000\text{kg/m}^3$.
A vazão de um fluido em regime de fluxo constante é dada pelo produto da velocidade do fluido pela área da seção reta do tubo de escoamento.
Aceleração da gravidade $(g)=10\text{m/s}^2$. $1\text{Pa}=1\text{N/m}^2$. Considere $\pi\approx3$.
a) Área do cano: $A=\pi r^2=3\times(0{,}02)^2=1{,}2\times10^{-3}\text{m}^2$. Força: $F=PA=10^5\times1{,}2\times10^{-3}=120\text{N}$.
b) Do 4º ao 12º andar são $12-4=8$ pavimentos de diferença, cada um com 3 m: $h=8\times3=24\text{m}$. A diferença de pressão (coluna de água entre A e B) é $\Delta P=\rho g h=1000\times10\times24=2{,}4\times10^5\text{Pa}=240\text{kPa}$, com B a uma pressão maior que A (B está mais baixo).
c) Vazão: $Q=\dfrac{\text{Volume}}{\text{tempo}}=\dfrac{240\times10^{-6}\text{m}^3}{5\text{s}}=4{,}8\times10^{-5}\text{m}^3/\text{s}$. Área de saída: $A=\pi r^2=3\times(0{,}002)^2=1{,}2\times10^{-5}\text{m}^2$. Velocidade: $v=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{4{,}8\times10^{-5}}{1{,}2\times10^{-5}}=4\text{m/s}$.
Considere uma mesma corda de violoncelo vibrando, em situações distintas, conforme os padrões de ondas estacionárias mostrados nos diagramas a seguir, em que a amplitude das vibrações, por clareza, está grandemente ampliada. No diagrama 1, a corda vibra no comprimento $L$ mostrado na figura. No diagrama 2, a corda está pinçada a 2/3 do comprimento $L$, de modo que não há vibração no terço restante.
a) Um aluno afirma que, por se tratar de padrões estacionários, a velocidade de propagação de uma onda qualquer na corda é nula. Essa afirmação é correta? Justifique a sua resposta.
b) Considere agora a situação mostrada no diagrama 1. Se o comprimento $L$ fosse de 60 cm, qual seria o comprimento de onda da vibração mostrada nesse diagrama?
c) Suponha agora que a frequência da vibração da corda no padrão mostrado no diagrama 1 seja de 220 Hz. Determine a frequência de vibração da corda no padrão mostrado no diagrama 2.
a) A afirmação é falsa. Uma onda estacionária resulta da superposição de duas ondas progressivas (incidente e refletida) que se propagam com velocidade não nula ao longo da corda, dada por $v=\sqrt{T/\mu}$ (tensão e densidade linear da corda). O que é nulo é a velocidade de deslocamento do padrão (os nós permanecem fixos), não a velocidade de propagação das ondas que compõem esse padrão.
b) O diagrama 1 mostra o modo fundamental ($n=1$): $L=\dfrac{\lambda_1}{2} \Rightarrow \lambda_1=2L=2\times60=120\text{cm}=1{,}2\text{m}$.
c) Como é a mesma corda (mesma tensão e densidade linear), a velocidade de propagação $v$ é a mesma nas duas situações: $v=f_1\lambda_1=220\times1{,}2=264\text{m/s}$. No diagrama 2, o trecho que vibra tem comprimento $\dfrac{2L}{3}=40\text{cm}$, também no modo fundamental: $\dfrac{2L}{3}=\dfrac{\lambda_2}{2} \Rightarrow \lambda_2=2\times0{,}40=0{,}80\text{m}$. Logo, $f_2=\dfrac{v}{\lambda_2}=\dfrac{264}{0{,}80}=330\text{Hz}$.
Considere uma amostra de 2 mols de um gás monoatômico, em que cada átomo possui uma massa de aproximadamente $7\times10^{-24}$ gramas. O gás pode ser tratado como ideal.
a) Determine a massa total do gás na amostra, em gramas.
b) A energia interna da amostra a uma temperatura de 300 K é de 7500 J. Quanta energia é preciso transferir para a amostra para que sua temperatura atinja 400 K?
c) A descoberta de Einstein sobre a equivalência entre massa e energia é válida mesmo em fenômenos mais familiares, como o aquecimento de um fluido, embora, nesse caso, o efeito seja muito pequeno para ser perceptível. Nesse contexto, calcule a variação na massa da amostra de gás do enunciado quando ela experimenta um processo de expansão ao longo do qual recebe 13500 J de calor do entorno e realiza um trabalho de 4500 J.
Relação de Einstein: $E=mc^2$.
Velocidade da luz no vácuo: $3\times10^8\text{m/s}$.
a) $m=n\cdot N_A\cdot m_{átomo}=2\times6\times10^{23}\times7\times10^{-24}=84\times10^{-1}=8{,}4\text{g}$.
b) Para um gás ideal, a energia interna é proporcional à temperatura absoluta ($U\propto T$): $\dfrac{U(400)}{U(300)}=\dfrac{400}{300} \Rightarrow U(400)=7500\times\dfrac{4}{3}=10000\text{J}$. A energia a transferir é $\Delta U=10000-7500=2500\text{J}$.
c) Pela 1ª lei da termodinâmica, a energia retida pelo gás é $\Delta U=Q-W=13500-4500=9000\text{J}$. Pela equivalência massa-energia: $\Delta m=\dfrac{\Delta U}{c^2}=\dfrac{9000}{(3\times10^8)^2}=\dfrac{9000}{9\times10^{16}}=1\times10^{-13}\text{kg}$ — um valor absolutamente imperceptível diante dos $8{,}4\text{g}$ da amostra.
Um período da vida do físico J. Robert Oppenheimer pouco retratado no recente filme Oppenheimer é o seu Doutorado na Alemanha sob a orientação de Max Born. Em 1927, eles publicaram um trabalho muito importante, que se tornaria uma das bases da física atômica e molecular. A chamada Aproximação de Born-Oppenheimer usa o fato de que a massa dos núcleos é muito maior que a massa dos elétrons para justificar um tratamento independente do movimento dos núcleos e o dos elétrons em átomos e moléculas.
Para ilustrar a validade da aproximação, considere um modelo clássico para o átomo de hidrogênio composto de um próton de massa $M$ e carga $+e$ e um elétron de massa $m$ e carga $-e$ separados por uma distância $D$, como mostra a figura.
a) Considerando o sistema inicialmente estático, desenhe, na folha de respostas, os vetores das forças elétricas que atuam sobre as duas partículas.
Considere agora que as velocidades das cargas estão sempre em sentidos opostos e perpendiculares à linha que une os seus centros, como mostra a figura. Considere também que a única força que atua sobre as partículas é a força elétrica entre elas, de modo que a quantidade de movimento total (ou momento linear total) do sistema é nula. Considere ainda que ambas as cargas estejam em movimento circular uniforme em torno do centro de massa do sistema, de modo que distância entre as duas partículas não se altere.
b) Sendo $M/m=1800$, calcule a razão $\Delta t_e/\Delta t_p$ entre os intervalos de tempo que o elétron e o pósitron, respectivamente, levam para percorrer um arco de circunferência de mesmo comprimento $\Delta s$.
c) Na aproximação de Born-Oppenheimer, pode ser feita a hipótese de que o próton permanece em repouso enquanto o elétron gira em torno dele. Utilizando essa hipótese e supondo ainda que a trajetória do elétron seja uma circunferência de raio $D$, calcule a energia cinética do elétron em termos de $e$, de $D$ e da constante eletrostática da Lei de Coulomb $k_0$.
a) Pela Lei de Coulomb, as duas cargas de sinais opostos se atraem: a força sobre o próton aponta na direção do elétron, e a força sobre o elétron aponta na direção do próton — vetores de mesmo módulo, mesma direção (a reta que une as cargas) e sentidos opostos (ação e reação, 3ª Lei de Newton).
b) Como o momento linear total é nulo, $Mv_p=mv_e$, e as duas partículas giram em torno do centro de massa com a mesma velocidade angular $\omega$ (mantendo $D$ fixo), a raios $r_p=\dfrac{mD}{M+m}$ e $r_e=\dfrac{MD}{M+m}$ (distâncias inversamente proporcionais às massas). Para arcos de mesmo comprimento $\Delta s=r\omega\Delta t$, o tempo é inversamente proporcional ao raio: $\dfrac{\Delta t_e}{\Delta t_p}=\dfrac{r_p}{r_e}=\dfrac{m}{M}=\dfrac{1}{1800}$.
c) Com o próton fixo, a força elétrica de Coulomb faz o papel de resultante centrípeta do elétron em órbita circular de raio $D$: $\dfrac{k_0e^2}{D^2}=\dfrac{mv_e^2}{D} \Rightarrow mv_e^2=\dfrac{k_0e^2}{D}$. A energia cinética é $E_c=\dfrac{1}{2}mv_e^2=\dfrac{k_0e^2}{2D}$.
Observação sobre o enunciado original: no item (b), a prova oficial menciona "o elétron e o pósitron" — uma aparente inconsistência de digitação, já que todo o enunciado descreve um sistema próton+elétron (carga $+e$ de massa $M$ e carga $-e$ de massa $m$), e a razão $M/m=1800$ só faz sentido física para o par próton-elétron. A redação “pósitron” foi preservada no item (b), como impressa no PDF; a resolução interpreta essa palavra como “próton”, em coerência com o sistema descrito.
O fenômeno da aurora polar, há muito tempo conhecido nos hemisférios norte e sul do planeta Terra, caracteriza-se por um brilho observado no céu em decorrência de colisões entre os átomos da atmosfera, predominantemente oxigênio e nitrogênio, e as partículas (prótons e elétrons) lançadas por erupções solares e canalizadas pelo campo magnético terrestre.
a) Determine a velocidade (em m/s) de um próton com energia cinética de $3{,}2\times10^{-13}\text{J}$.
b) Considerando agora elétrons com velocidade de $1{,}6\times10^6\text{m/s}$ e que descrevam órbitas circulares sob ação do campo magnético terrestre, cuja intensidade é de $10^{-4}\text{T}$, calcule o módulo da força magnética atuando sobre cada elétron.
As diferentes cores observadas na aurora devem-se à emissão de fótons em processos de desexcitação de átomos presentes nas diferentes camadas da atmosfera. As cores mais comuns da luz associada a esses fótons são a verde e a vermelha, devido à predominância de oxigênio e nitrogênio nas altitudes de 200 km e 100 km, respectivamente.
c) Calcule (em joules) a variação da energia de um átomo quando este emite um fóton da cor verde.
Comprimento de onda da luz verde: $\lambda=500\text{nm}$.
Energia de um fóton de frequência $f$: $E=hf$, onde $h=6\times10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$.
Velocidade da luz no vácuo: $3\times10^8\text{m/s}$.
Um processo de desexcitação atômica envolve a passagem de um elétron de um nível atômico de energia mais alta para outro de energia mais baixa.
a) $E_c=\dfrac{1}{2}mv^2 \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\times3{,}2\times10^{-13}}{1{,}6\times10^{-27}}}=\sqrt{4\times10^{14}}=2\times10^7\text{m/s}$.
b) Força magnética sobre carga em movimento: $F=qvB=1{,}6\times10^{-19}\times1{,}6\times10^6\times10^{-4}=2{,}56\times10^{-17}\text{N}$.
c) O módulo da variação da energia do átomo é igual à energia do fóton emitido. Como o átomo perde energia, $\Delta E_{\text{átomo}}=-E_{\text{fóton}}$. Calculando a energia emitida: $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6\times10^{-34}\times3\times10^8}{500\times10^{-9}}=\dfrac{18\times10^{-26}}{5\times10^{-7}}=3{,}6\times10^{-19}\text{J}$.